QCM : Lois discrètes et échantillonnage (16 questions)

Question 1

1. Une variable aléatoire réelle prend ses valeurs dans l’ensemble $\{0,2,5\}$ . Quelle propriété permet de la qualifier de discrète ?

Ses valeurs forment nécessairement une suite d’entiers consécutifs.

Ses valeurs appartiennent à un ensemble inclus dans

\mathbb{N}

.

Ses valeurs peuvent être n’importe quels nombres réels.

Ses valeurs correspondent aux issues de l’expérience aléatoire.

Explication

Une variable aléatoire discrète est réelle et prend ses valeurs dans un ensemble inclus dans $\mathbb{N}$ . Des valeurs réelles quelconques ou nécessairement consécutives ne sont pas requises.

Answer

Ses valeurs appartiennent à un ensemble inclus dans $$\mathbb{N}$$.

Question 2

2. Pour une variable discrète $X$ prenant ses valeurs dans $E$ , que désigne sa loi ?

L’ensemble des valeurs

k

que peut prendre

X

.

La somme des produits des valeurs par leurs probabilités.

La famille des probabilités

P(X=k)

pour les valeurs

k

de

E

.

La liste des probabilités attribuées à chaque issue de l’expérience.

Explication

La loi de $X$ est la famille des probabilités $p_k=P(X=k)$ associées aux valeurs de $E$ . L’ensemble des valeurs décrit les possibilités, tandis que leur somme pondérée donne l’espérance.

Answer

La famille des probabilités $$P(X=k)$$ pour les valeurs $$k$$ de $$E$$.

Question 3

3. Un indicateur $X$ vaut $1$ avec une probabilité de $0{,}3$ et $0$ sinon. Quelle loi suit-il ?

La loi de Bernoulli de paramètre

0{,}5

.

La loi de Bernoulli de paramètre

0{,}7

.

Une loi uniforme sur les valeurs

0

et

1

.

La loi de Bernoulli de paramètre

0{,}3

.

Explication

Une loi de Bernoulli de paramètre $p$ vérifie $P(X=1)=p$ et $P(X=0)=1-p$ ; ici, le paramètre vaut donc $0{,}3$ . Le paramètre complémentaire correspond à la probabilité de 0, et non à celle de 1.

Answer

La loi de Bernoulli de paramètre $$0{,}3$$.

Question 4

4. Une variable discrète prend les valeurs $0,1,2$ avec les probabilités $0{,}2,0{,}5,0{,}3$ . Quelle est son espérance ?

0{,}9

1{,}1

1

1{,}5

Explication

L’espérance est la somme des produits valeur-probabilité : $0\times0{,}2+1\times0{,}5+2\times0{,}3=1{,}1$ . Additionner les probabilités donne 1, mais ne calcule pas la moyenne pondérée.

Answer

Une loi binomiale de paramètres 7 et 0,4

Answer

$$\frac{\binom{4}{2}\binom{6}{1}}{\binom{10}{3}}$$

Answer

La variance sans remise est inférieure ou égale à celle avec remise, et s’en rapproche lorsque la population grandit.

Answer

$$\frac{\binom{5}{2}\binom{7}{1}}{\binom{12}{3}}$$

Answer

Le choix de $$n-k$$ échecs parmi les $$N-K$$ éléments sans succès

Answer

Elle peut calculer des probabilités binomiales sans connaître exactement $$N$$.

Answer

$$e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$$

Answer

$$E[X]=4,2$$ et $$\operatorname{Var}(X)=4,2$$

Answer

Une loi de Poisson de paramètre $$6,5$$

Answer

Une loi de Poisson de paramètre $$0,96$$

Question 5

5. Une variable discrète a pour espérance $2$ et pour second moment $\sum_{k\in E}k^2p_k=7$ . Quelle est sa variance ?

7

3

11

5

Explication

La variance vaut le second moment moins le carré de l’espérance : $7-2^2=3$ . Soustraire seulement l’espérance donnerait $5$ , car cela omettrait le carré requis.

Question 6

6. On additionne 7 variables indépendantes, chacune suivant une loi de Bernoulli de paramètre 0,4. Quelle loi suit leur somme ?

Une loi binomiale de paramètres 7 et 0,6

Une loi binomiale de paramètres 7 et 0,4

Une loi binomiale de paramètres 1 et 0,4

Une loi de Bernoulli de paramètre 0,4

Explication

La somme de 7 variables indépendantes de même loi $\operatorname{Ber}(0,4)$ suit une loi $B(7,0,4)$ . Le paramètre 0,6 correspond à l’échec, tandis qu’une somme de plusieurs variables ne reste pas une variable de Bernoulli.

Question 7

7. Le nombre de succès lors de 8 tirages avec remise suit $B(8,0,25)$ . Quelle est la variance de ce nombre ?

6

1,5

4,5

2

Explication

Pour une loi binomiale, $\operatorname{Var}(X)=np(1-p)$ ; ici, $8\times0,25\times0,75=1,5$ . L’espérance vaut 2, et l’expression qui omet le facteur d’échec donne cette espérance plutôt que la variance.

Question 8

8. Une population compte 10 individus, dont 4 possèdent une propriété. On en prélève 3 sans remise. Quelle expression donne la probabilité d’en obtenir exactement 2 qui possèdent cette propriété ?

\frac{\binom{6}{2}\binom{4}{1}}{\binom{10}{3}}

\binom{4}{2}\binom{6}{1}

\binom{3}{2}(0,4)^2(0,6)

\frac{\binom{4}{2}\binom{6}{1}}{\binom{10}{3}}

Explication

Sans remise, la loi hypergéométrique donne $P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$ ; avec $K=4$ , $N=10$ , $n=3$ et $k=2$ , on obtient l’expression indiquée. Le dénominateur manquant ne normalise pas les échantillons, l’inversion des effectifs échange succès et échecs, et la formule binomiale traite à tort les tirages comme indépendants.

Question 9

9. À taille d’échantillon et proportion de succès identiques, on compare un prélèvement sans remise dans une population finie à un prélèvement avec remise. Quelle comparaison des variances est correcte ?

La variance sans remise est inférieure ou égale à celle avec remise, et s’en rapproche lorsque la population grandit.

La variance sans remise dépasse celle avec remise, et s’en éloigne lorsque la population grandit.

Les deux variances sont égales puisque les espérances sont égales.

La variance sans remise reste inférieure, mais l’écart augmente lorsque la population grandit.

Explication

La variance hypergéométrique est celle de la loi binomiale multipliée par le facteur $\frac{N-n}{N-1}$ , inférieur ou égal à 1, et elle tend vers la variance binomiale lorsque $N$ augmente. L’affirmation sur des variances égales confond égalité des espérances et égalité des variances; celle qui prédit un écart croissant inverse la limite.

Question 10

10. Une population contient $N=12$ éléments, dont $K=5$ possèdent une propriété. On en prélève $n=3$ sans remise. Quelle expression donne la probabilité d’obtenir exactement $k=2$ éléments possédant cette propriété ?

\frac{\binom{12}{3}}{\binom{5}{2}\binom{7}{1}}

\frac{\binom{5}{2}\binom{12}{1}}{\binom{12}{3}}

\frac{\binom{5}{2}\binom{7}{2}}{\binom{12}{3}}

\frac{\binom{5}{2}\binom{7}{1}}{\binom{12}{3}}

Explication

La probabilité hypergéométrique compte les façons de choisir deux succès parmi cinq et un échec parmi sept, puis les rapporte au nombre total d’échantillons de taille trois. Inverser le rapport, choisir deux échecs ou utiliser douze dans le second coefficient ne correspond pas à ce dénombrement.

Question 11

11. Dans le dénombrement d’une probabilité hypergéométrique, que représente le facteur $\binom{N-K}{n-k}$ au numérateur ?

Le choix de

n-k

échecs parmi les

N

éléments de la population

Le choix de

n-k

échecs parmi les

N-K

éléments sans succès

Le nombre total d’échantillons de taille

n

prélevés dans la population

Le choix de

k

succès parmi les

K

éléments avec succès

Explication

Ce facteur dénombre les façons de sélectionner les $n-k$ échecs parmi les $N-K$ éléments qui n’ont pas la propriété. Le choix des succès relève de $\binom{K}{k}$ , le dénominateur compte tous les échantillons, et la population des échecs comprend $N-K$ éléments.

Question 12

12. Une analyste connaît la proportion $p$ d’éléments ayant une caractéristique et la taille $n$ de son prélèvement, mais pas la taille exacte $N$ d’une population très grande par rapport à $n$ . Quel avantage l’approximation binomiale lui apporte-t-elle ?

Elle obtient les probabilités exactes du tirage sans remise sans utiliser

N

.

Elle doit connaître exactement

N

pour établir les probabilités binomiales.

Elle peut calculer des probabilités binomiales sans connaître exactement

N

.

Elle remplace la proportion

p

par la taille inconnue

N

dans le calcul.

Explication

Quand $N$ est grand devant $n$ , les probabilités avec et sans remise sont approximativement les mêmes; la loi binomiale simplifie alors le calcul sans exiger la valeur exacte de $N$ . L’approximation ne rend pas le tirage sans remise exact, ne remplace pas $p$ par $N$ et ne nécessite pas de connaître précisément la taille de la population.

Question 13

13. Une variable aléatoire suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$ . Quelle expression donne sa probabilité de prendre la valeur entière $k\geq 0$ ?

e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}

\frac{\lambda^k}{k!}

e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{(k+1)!}

e^{-k}\frac{\lambda^k}{k!}

Explication

La loi de Poisson attribue à chaque entier $k\geq 0$ la probabilité $e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ . L’expression sans facteur exponentiel l’omet, celle avec $(k+1)!$ décale la factorielle, et $e^{-k}$ remplace incorrectement le paramètre dans l’exponentielle.

Question 14

14. Un comptage suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda=4,2$ . Quelles sont son espérance et sa variance ?

E[X]=17,64

et

\operatorname{Var}(X)=4,2

E[X]=4,2

et

\operatorname{Var}(X)=4,2

E[X]=4,2

et

\operatorname{Var}(X)=2,1

E[X]=4,2

et

\operatorname{Var}(X)=17,64

Explication

Pour une loi de Poisson de paramètre $\lambda$ , l’espérance et la variance valent toutes deux $\lambda$ . La valeur $17,64$ vient du carré du paramètre, tandis que $2,1$ correspond à sa racine carrée.

Question 15