Calcul des probabilités

📋 Plan du Cours

1. Espaces probabilisés et variables aléatoires
2. Espérance et dépendance
3. Probabilités et espérances conditionnelles
4. Espérance conditionnelle de fonctions indépendantes
5. Calcul stochastique en temps discret

📖 1. Espaces probabilisés et variables aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace probabilisé : Un espace probabilisé est un triplet $(\Omega,\mathcal F,P)$ où $\Omega$ est un ensemble, $\mathcal F$ un champ d’événements et $P:\mathcal F\to[0{,}1]$ une mesure de probabilité.
• Partition : Une partition d’événements est une famille finie d’événements deux à deux disjoints dont la réunion est $\Omega$.
• Variable aléatoire : Une variable aléatoire réelle est une application mesurable de $\Omega$ dans $\mathbb R$.
• Fonction de répartition : La fonction de répartition de $\xi$ est définie par $F_\xi(x)=P(\xi\le x).$

📝 Points essentiels

• La tribu engendrée par une partition est l’ensemble des réunions de ses éléments.

• La tribu engendrée par une variable aléatoire réelle $\xi$ est formée des préimages $\xi^{-1}(\Gamma)$ des boréliens $\Gamma$ de $\mathbb R$.