Fiche de révision : Calcul et géométrie dans le plan

📋 Plan du Cours

1. Opérations et comparaison des fractions
2. Définition et propriétés des racines carrées
3. Résolution des équations
4. Repères et coordonnées des points
5. Milieu et distance entre deux points
6. Propriétés des quadrilatères usuels

📖 1. Opérations et comparaison des fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction simple : Une fraction simple s’écrit $\frac{a}{b}$ avec a et b entiers et $b\ne 0$.

★ À maîtriser

• Pour additionner ou soustraire des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne ou soustrait les numérateurs.

📐 Formule - La division de fractions vérifie $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$, avec $c,d\ne0$.

📌 Deux fractions peuvent être comparées en les mettant au même dénominateur ou en comparant leurs produits en croix lorsque leurs dénominateurs sont positifs.

Compléments

📐 Formule - Le produit de deux fractions non nulles au dénominateur vérifie $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$, avec $b,d\ne0$.

📖 2. Définition et propriétés des racines carrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : La racine carrée d’un nombre réel positif a est le nombre réel positif dont le carré vaut a ; ainsi $\sqrt a\ge0$ et $(\sqrt a)^2=a$.

★ À maîtriser

📌 La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas dans les réels, car le carré de tout nombre réel est positif ou nul.

📐 Formule - Pour a ≥ 0 et b ≥ 0, $\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b$.

Compléments

• Le symbole √ se nomme radical, et √0 = 0 tandis que √1 = 1.

📐 Formule - Pour a ≥ 0 et b > 0, $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$.

📌 Une racine carrée ne peut être simplifiée en un entier que si son radicande est un carré parfait, comme 25 dans √25 = 5.

📌 Si a > b ≥ 0, alors $\sqrt a>\sqrt b$.

📖 3. Résolution des équations

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour ax + b = 0 avec a ≠ 0, la solution est $x=-\frac{b}{a}$.

• Pour résoudre une équation de la forme ax + b = cx + d, on regroupe les termes en x d’un côté et les constantes de l’autre, puis on isole x.

📐 Formule - Pour ax² + bx + c = 0, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

📐 Formule - Si Δ ≥ 0 et a ≠ 0, les solutions de ax² + bx + c = 0 sont $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

• Pour résoudre une équation avec parenthèses, on développe ou on distribue d’abord, puis on résout l’équation obtenue.

💡 Astuce mémo

Développer si nécessaire, regrouper les inconnues, puis isoler x.

📖 4. Repères et coordonnées des points

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère du plan : Un repère du plan est défini par trois points non alignés O, I et J ; (OI) est l’axe des abscisses, (OJ) l’axe des ordonnées et O l’origine.
• Coordonnées d’un point : Les coordonnées d’un point M sont son abscisse x et son ordonnée y, notées dans cet ordre M(x ; y).
• Repère orthogonal : Un repère est orthogonal lorsque ses deux axes sont perpendiculaires.
• Repère orthonormé : Un repère orthonormé est un repère orthogonal dont les deux axes ont la même unité.

📝 Points essentiels

• Dans le repère (O ; I, J), les coordonnées de O sont (0 ; 0), celles de I sont (1 ; 0) et celles de J sont (0 ; 1).

📖 5. Milieu et distance entre deux points

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans tout repère, si A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), le milieu M de [AB] a pour coordonnées $x_M=\frac{x_A+x_B}{2},\quad y_M=\frac{y_A+y_B}{2}$.

📐 Formule - Dans un repère orthonormé, la distance entre A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) est $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.

Compléments

• La formule de distance s’obtient en appliquant le théorème de Pythagore aux écarts horizontal x_B − x_A et vertical y_B − y_A.

📖 6. Propriétés des quadrilatères usuels

🔑 Notions clés & Définitions

• Parallélogramme : Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
• Carré : Un carré est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur et quatre angles droits ; il est à la fois un losange et un rectangle.
• Losange : Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur.

📝 Points essentiels

• Un quadrilatère non croisé dont les côtés opposés sont deux à deux de même longueur est un parallélogramme.

• Si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

• Un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un losange, et un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est aussi un losange.

• Un parallélogramme ayant un angle droit est un rectangle, et un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est aussi un rectangle.

• Un losange ayant un angle droit est un carré, et un rectangle ayant deux côtés consécutifs de même longueur est aussi un carré.

💡 Astuce mémo

Parallélogramme → rectangle ou losange → carré.