Fiche de révision : Fonctions et outils mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Résolution graphique d’équations et inéquations
2. Nombres réels et intervalles
3. Fonctions et courbes représentatives
4. Repérage dans le plan
5. Distance entre deux points
6. Proportions et proportions imbriquées
7. Variations et taux d’évolution

📖 1. Résolution graphique d’équations et inéquations

★ À maîtriser

• Pour résoudre graphiquement une équation ou une inéquation portant sur f(x), on trace la droite horizontale correspondant à la valeur indiquée, repère les points de la courbe qui vérifient la condition d’ordonnée, puis lit leurs abscisses.

Compléments

• Graphiquement, les solutions de f(x)=1 sont −2,5 et −0,5, soit S={−2,5 ; −0,5}.

• Graphiquement, les solutions de f(x)≤−1 sont les abscisses comprises entre 0,5 et 2,5, soit S=[0,5 ; 2,5].

💡 Astuce mémo

Ordonnée égale pour une équation, ordonnée sous ou au-dessus pour une inéquation

📖 2. Nombres réels et intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble des réels : L’ensemble des abscisses de tous les points d’une droite graduée, appelée droite des réels.
• Intervalle [a ; b] : L’ensemble des réels x tels que a≤x≤b.

★ À maîtriser

• Les crochets indiquent si une borne appartient à l’intervalle : [a ; b] correspond à a≤x≤b, ]a ; b[ à a<x<b, [a ; b[ à a≤x<b et ]a ; b] à a<x≤b.

Compléments

• Les intervalles non bornés correspondent aux inégalités suivantes :

  • [a ; +∞[ : x≥a
  • ]a ; +∞[ : x>a
  • ]−∞ ; b] : x≤b
  • ]−∞ ; b[ : x<b

• L’intervalle ]25 ; 30[ exclut ses bornes 25 et 30, tandis que [10 ; 20] inclut ses deux bornes.

📖 3. Fonctions et courbes représentatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Une fonction définie sur un intervalle D de ℝ associe à chaque réel x de D un unique nombre réel f(x).
• Courbe représentative : L’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)).

★ À maîtriser

📌 f(x) est l’image de x, tandis que x est un antécédent de f(x).

Compléments

• Pour f(x)=x²−4, les images de 8, 2 et −2 sont respectivement 60, 0 et 0.

• Pour f(x)=x²−4, −2 et 2 sont des antécédents de 0.

📖 4. Repérage dans le plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées d’un point : Dans un repère, tout point M est repéré par un unique couple de nombres (xM ; yM), où xM est son abscisse et yM son ordonnée.

★ À maîtriser

• Un repère du plan est formé de trois points distincts O, I et J qui ne sont pas alignés.

• Dans le repère (O, I, J), O est l’origine, (OI) est l’axe des abscisses et OI fixe l’unité, tandis que (OJ) est l’axe des ordonnées.

Compléments

📌 Un repère est orthogonal si ses axes sont perpendiculaires, et il est orthonormé si ses axes sont perpendiculaires et si OI=OJ.

📖 5. Distance entre deux points

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un repère orthonormé, pour A(xA ; yA) et B(xB ; yB), la distance AB vaut $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.

Compléments

• La formule de distance découle du théorème de Pythagore : dans le triangle rectangle ABH, $AB^2=AH^2+BH^2$, avec les écarts de coordonnées comme longueurs des côtés.

• La distance AB est une valeur positive.

📖 6. Proportions et proportions imbriquées

★ À maîtriser

• Une proportion peut s’écrire sous forme de pourcentage, de fraction ou de nombre décimal ; par exemple, 50 % = 1/2 = 0,5 = 0,50 = 50/100.

📐 Formule - Pour deux ensembles imbriqués, si p est la proportion de B dans A et p’ celle de C dans B, la proportion de C dans A vaut $p\times p'$.

Compléments

• Si 53 % des Français jouent régulièrement aux jeux vidéo et que 37 % de ces joueurs sont des femmes, la proportion de femmes jouant régulièrement aux jeux vidéo parmi tous les Français est 37/100×53/100=0,1961, soit 19,61 %.

• Dans une classe de 36 élèves dont la moitié sont des filles, le nombre de filles se calcule par 36×1/2=36×0,5.

📖 7. Variations et taux d’évolution

★ À maîtriser

• La variation absolue d’une quantité entre sa valeur initiale VI et sa valeur finale VF vaut $V_F-V_I$.

📐 Formule - La variation relative d’une quantité entre sa valeur initiale VI et sa valeur finale VF vaut $\frac{V_F-V_I}{V_I}$.

Compléments

• Le taux associé à la variation relative est appelé taux de variation ou taux d’évolution.

• Le prix d’un timbre passé de 80 centimes à 88 centimes le 1er janvier 2019 a augmenté de 8 centimes, soit 10 % du prix initial.