Fiche de révision : Calcul littéral et identités remarquables

📋 Plan du Cours

1. Réduire et évaluer des expressions
2. Développer des produits
3. Utiliser les identités remarquables
4. Factoriser une expression
5. Prouver une égalité ou une inégalité

📖 1. Réduire et évaluer des expressions

★ À maîtriser

📌 Le signe « × » peut être supprimé lorsqu’il est placé devant une lettre ou devant une parenthèse.

• Pour réduire un produit, on réordonne les facteurs puis on effectue les multiplications numériques et littérales.

• Pour réduire une somme ou une différence, on regroupe les termes par famille de puissances et de nombres constants.

• Pour utiliser une expression littérale, on attribue une valeur à chaque lettre puis on effectue le calcul.

Compléments

• L’expression 5x - 6x² + 7 + 3x - 12 - 2x² - 2x se réduit en -8x² + 6x - 5.

💡 Astuce mémo

Réduire regroupe les familles ; évaluer remplace les lettres par des nombres.

📖 2. Développer des produits

★ À maîtriser

📐 Formule — La distributivité vérifie $k(a+b)=ka+kb$ et $k(a-b)=ka-kb$.

• Pour développer un produit de deux sommes, chaque terme de la première parenthèse est multiplié par chaque terme de la seconde.

📐 Formule — La double distributivité vérifie $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

Compléments

• Le développement de (2x + 5)(5x + 3) donne 10x² + 31x + 15 après réduction et classement des puissances décroissantes.

💡 Astuce mémo

Distribuer, développer, réduire, ordonner.

📖 3. Utiliser les identités remarquables

★ À maîtriser

📐 Formule — Le carré d’une somme vérifie $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, où 2ab est le double produit.

📐 Formule — Le carré d’une différence vérifie $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

📐 Formule — La troisième identité remarquable vérifie $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Compléments

• Le développement de (3x + 2)² donne 9x² + 12x + 4.

• Le produit (10 - 3x)(10 + 3x) se réduit en 100 - 9x² grâce à la troisième identité remarquable.

💡 Astuce mémo

CSD : carré d’une somme, carré d’une différence, différence de deux carrés.

📖 4. Factoriser une expression

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation : Consiste à transformer une somme ou une différence en produit, notamment en trouvant un facteur commun ou une identité remarquable.

★ À maîtriser

• Pour factoriser par facteur commun, on repère le facteur présent dans chaque terme, on le place devant une parenthèse et on regroupe les facteurs restants.

Compléments

• L’expression 5x + 5y se factorise en 5(x + y).

💡 Astuce mémo

Développer transforme un produit en somme ; factoriser transforme une somme en produit.

📖 5. Prouver une égalité ou une inégalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Égalité d’expressions littérales : Donnent le même résultat pour toutes les valeurs attribuées aux lettres.

★ À maîtriser

• Pour prouver que deux expressions littérales sont égales, on développe et on réduit chacune d’elles, puis on vérifie qu’elles ont la même forme réduite.

📌 Pour prouver que deux expressions ne sont pas égales, il suffit de trouver une valeur des lettres pour laquelle elles donnent des résultats différents ; cette valeur est un contre-exemple.

Compléments

• Pour a = 2 et b = 3, (a + b)² vaut 25 tandis que a² + b² vaut 13 ; cette différence constitue un contre-exemple.

💡 Astuce mémo

Développement identique → égalité pour toute valeur ; une valeur différente → contre-exemple.

📊 Tableaux de synthèse

Développement et factorisation