Fiche de révision : Calcul littéral et nombres

📋 Plan du Cours

1. Développer et factoriser
2. Distributivité et développements
3. Factorisation par facteur commun
4. Identités remarquables
5. Calculs avec les fractions
6. Puissances et règles de calcul
7. Définition et propriétés des racines
8. Simplification des racines carrées
9. Développements avec des racines

📖 1. Développer et factoriser

📝 Points essentiels

📌 Développer consiste à transformer un produit en une somme ou une différence.

📌 Factoriser consiste à transformer une somme ou une différence en un produit.

💡 Astuce mémo

Développer : produit vers somme ; factoriser : somme vers produit

📖 2. Distributivité et développements

📝 Points essentiels

📐 Formule - La distributivité simple s’écrit $a(b+c)=ab+ac$.

📐 Formule - La double distributivité s’écrit $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

• Pour développer puis réduire un produit de deux sommes, on multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde, puis on regroupe les termes semblables.

📖 3. Factorisation par facteur commun

★ À maîtriser

• Pour factoriser par facteur commun, on repère un facteur présent dans chaque terme, on le place devant une parenthèse, puis on écrit dans celle-ci les facteurs restants.

Compléments

• L’expression $4x-4y+8$ se factorise en $4(x-y+2)$ en mettant 4 en facteur commun.

• Une écriture peut être modifiée pour faire apparaître un facteur commun, comme remplacer $2x-1$ par $-(1-2x)$.

📖 4. Identités remarquables

★ À maîtriser

📐 Formule - Le carré d’une somme vérifie $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

📐 Formule - Le carré d’une différence vérifie $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

📐 Formule - Le produit de deux expressions conjuguées vérifie $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Compléments

• Pour factoriser avec une identité remarquable, on reconnaît un carré parfait ou une différence de deux carrés, puis on réécrit l’expression sous la forme produit correspondante.

💡 Astuce mémo

Carré d’une somme : trois termes ; produit conjugué : une différence de carrés

📖 5. Calculs avec les fractions

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour des fractions de même dénominateur, $\frac{a}{D}+\frac{b}{D}=\frac{a+b}{D}$ et $\frac{a}{D}-\frac{b}{D}=\frac{a-b}{D}$.

📐 Formule - Le produit de fractions vérifie $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$.

📐 Formule - La division de fractions vérifie $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$.

📐 Formule - La somme de deux fractions se réduit selon $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$.

📖 6. Puissances et règles de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Une puissance $a^n$ désigne le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ lorsque n est un entier positif.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une base non nulle, $a^0=1$ et $a^1=a$.

📐 Formule - Pour des exposants entiers, $a^n\times a^p=a^{n+p}$.

📐 Formule - Pour des exposants entiers, $\frac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$ lorsque le quotient est défini.

📐 Formule - Pour une base non nulle, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

Compléments

📐 Formule - Pour des exposants entiers, $(a^n)^p=a^{np}$.

💡 Astuce mémo

Parenthèses : le signe appartient à la puissance ; sans parenthèses, le signe reste extérieur

📖 7. Définition et propriétés des racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : La racine carrée d’un nombre positif est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre.

★ À maîtriser

• La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas dans les nombres réels.

📐 Formule - Pour des nombres positifs $a$ et $b$, $\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$.

📐 Formule - Pour $a\geq 0$, $(\sqrt{a})^2=a$ et $\sqrt{a^2}=a$.

📌 En général, $\sqrt{a}+\sqrt{b}\neq\sqrt{a+b}$.

Compléments

📐 Formule - Pour $a\geq 0$ et $b>0$, $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$.

💡 Astuce mémo

Le produit des racines se regroupe ; leur somme ne se regroupe pas sous une racine

📖 8. Simplification des racines carrées

★ À maîtriser

• Pour extraire un carré parfait de $\sqrt{n}$, on écrit n comme le produit d’un carré parfait et d’un autre facteur, puis on extrait la racine du carré parfait.

📌 Dans une écriture simplifiée $a\sqrt{b}$, le radicand b ne doit pas contenir de facteur carré parfait autre que 1.

📌 On ne peut réduire des termes contenant des racines carrées que lorsqu’ils ont la même partie radicale.

Compléments

• La simplification de $\sqrt{72}$ donne $6\sqrt{2}$, car $72=36\times2$.

💡 Astuce mémo

Extraire un carré parfait, puis réunir les racines semblables

📖 9. Développements avec des racines

📝 Points essentiels

• Pour développer un carré contenant une racine carrée, on applique les identités remarquables en traitant la racine comme un terme algébrique, puis on simplifie ses carrés.

📐 Formule - Le produit de deux expressions conjuguées contenant des racines suit $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b$ lorsque les racines existent.