QCM : Calcul littéral et nombres (27 questions)

Question 1

1. Quelle transformation décrit le développement d’une expression ?

Réduire une somme en un produit de facteurs égaux

Remplacer une différence par un quotient de termes

Transformer un produit en une somme ou une différence

Transformer une somme en un produit de facteurs

Explication

Développer revient à transformer une expression écrite comme un produit en une somme ou une différence. Transformer une somme en produit correspond plutôt à la factorisation.

Answer

Transformer un produit en une somme ou une différence

Question 2

2. Une expression est écrite comme une somme de plusieurs termes ; quelle opération la transforme en produit ?

La distributivité, qui transforme tout produit en une somme de facteurs

La factorisation, qui réécrit la somme sous la forme d’un produit

La réduction, qui remplace la somme par une différence de produits

Le développement, qui réécrit la somme sous la forme d’un produit

Explication

Factoriser consiste à transformer une somme ou une différence en un produit. Le développement fait le trajet inverse, d’un produit vers une somme ou une différence.

Answer

La factorisation, qui réécrit la somme sous la forme d’un produit

Question 3

3. Quelle égalité traduit la distributivité simple de $a$ sur $b+c$ ?

a(b+c)=a+b+ac

a(b+c)=a+b+c

a(b+c)=ab+c

a(b+c)=ab+ac

Explication

La distributivité simple consiste à multiplier $a$ par chacun des termes de la parenthèse, ce qui donne $ab+ac$ . L’égalité $ab+c$ oublie la multiplication de $c$ par $a$ .

Answer

$$a(b+c)=ab+ac$$

Question 4

4. En appliquant la double distributivité à $(a+b)(c+d)$ , quelle somme obtient-on ?

a+b+c+d

ac+bd

ac+ad+bc+bd

ac+ad+bc

Explication

Chaque terme de la première parenthèse se multiplie par chacun des termes de la seconde, ce qui produit quatre termes. L’expression $ac+bd$ ne conserve que les produits des termes placés en première et en dernière position.

Answer

$$ac+ad+bc+bd$$

Question 5

5. Pour développer puis réduire le produit de deux sommes, quelle démarche faut-il suivre ?

Multiplier les termes de même rang, puis regrouper les facteurs différents

Multiplier chaque terme d’une parenthèse par chaque terme de l’autre, puis regrouper les termes semblables

Développer une seule parenthèse, puis conserver les termes sans les regrouper

Additionner les termes de chaque parenthèse, puis multiplier les deux sommes obtenues

Explication

La démarche consiste à former tous les produits entre les termes des deux parenthèses, puis à regrouper les termes semblables. Multiplier seulement les termes de même rang laisse de côté plusieurs produits nécessaires.

Answer

Multiplier chaque terme d’une parenthèse par chaque terme de l’autre, puis regrouper les termes semblables

Question 6

6. Quelle méthode permet de factoriser une expression en utilisant un facteur commun à tous ses termes ?

Placer la somme des termes devant une parenthèse et y inscrire leurs facteurs communs

Multiplier les termes entre eux puis inscrire leur somme dans une parenthèse

Placer le facteur commun devant une parenthèse et y inscrire les facteurs restants

Soustraire le facteur commun à chaque terme puis écrire les résultats en produit

Explication

On repère un facteur présent dans chaque terme, on le place devant une parenthèse et on écrit les facteurs restants à l’intérieur. Placer la somme des termes devant la parenthèse ne met pas en évidence le facteur commun recherché.

Answer

Placer le facteur commun devant une parenthèse et y inscrire les facteurs restants

Question 7

7. Quelle factorisation obtient-on en mettant $4$ en facteur commun dans $4x-4y+8$ ?

4(x-y+2)

4(x+y+2)

4(x-y+8)

4x(y-1)+8

Explication

En divisant chaque terme par $4$ , on obtient les termes restants $x$ , $-y$ et $2$ , d’où $4(x-y+2)$ . L’expression $4(x-y+8)$ donnerait un terme constant égal à $32$ , et non à $8$ .

Answer

$$4(x-y+2)$$

Question 8

8. En développant le carré d’une somme, quel terme apparaît entre les carrés des deux termes ?

Le terme

-2ab

, avec un signe négatif

Le terme

2ab

, avec un signe positif

Le terme

a+b

, sans produit croisé

Le terme

ab

, sans coefficient supplémentaire

Explication

Le développement de $(a+b)^2$ contient les carrés $a^2$ et $b^2$ ainsi que le terme croisé positif $2ab$ . Le terme $-2ab$ intervient dans le carré d’une différence, pas dans celui d’une somme.

Answer

Le terme $$2ab$$, avec un signe positif

Question 9

9. Quelle expression obtient-on en développant $(x-5)^2$ ?

x^2-25

x^2-10x+25

x^2-5x+25

x^2+10x+25

Explication

Le carré d’une différence suit la forme $a^2-2ab+b^2$ , d’où $x^2-10x+25$ . Le terme croisé positif correspondrait au carré de la somme $x+5$ .

Answer

$$x^2-10x+25$$

Question 10

10. Comment peut-on simplifier le produit $(y+7)(y-7)$ ?

y^2-14y+49

y^2-49

y^2+14y-49

y^2+49

Explication

Les deux facteurs sont des expressions conjuguées, dont le produit est la différence des carrés : $y^2-7^2=y^2-49$ . Le résultat $y^2+49$ omet le signe négatif qui accompagne le carré du second terme.

Answer

$$y^2-49$$

Question 11

11. Quelle règle permet de calculer $\frac{11}{13}-\frac{4}{13}$ ?

Soustraire les numérateurs et conserver le dénominateur, soit

\frac{7}{13}

Soustraire les dénominateurs et conserver le numérateur, soit

\frac{11}{9}

Soustraire les numérateurs et les dénominateurs, soit

\frac{7}{0}

Multiplier les numérateurs et conserver le dénominateur, soit

\frac{44}{13}

Explication

Pour deux fractions de même dénominateur, on soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur, ce qui donne $\frac{7}{13}$ . La soustraction des dénominateurs n’est pas la règle applicable à cette opération.

Answer

Soustraire les numérateurs et conserver le dénominateur, soit $$\frac{7}{13}$$

Question 12

12. En appliquant la règle du produit de fractions, que vaut $\frac{3}{8}\times\frac{4}{7}$ ?

\frac{12}{15}

\frac{12}{56}

\frac{21}{32}

\frac{7}{6}

Explication

On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $\frac{3\times4}{8\times7}=\frac{12}{56}$ . Le résultat $\frac{21}{32}$ provient d’un mélange des facteurs plutôt que de la multiplication numérateur par numérateur.

Answer

$$\frac{12}{56}$$

Question 13

13. Pour calculer $\frac{5}{6}:\frac{2}{9}$ , quelle opération équivalente faut-il effectuer ?

\frac{6}{5}\times\frac{2}{9}

\frac{5}{6}\times\frac{2}{9}

\frac{5}{6}+\frac{9}{2}

\frac{5}{6}\times\frac{9}{2}

Explication

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse, donc l’opération équivalente est $\frac{5}{6}\times\frac{9}{2}$ . Multiplier directement par $\frac{2}{9}$ correspondrait au produit des deux fractions, et non à leur division.

Answer

$$\frac{5}{6}\times\frac{9}{2}$$

Question 14

14. Quelle fraction équivaut à $\frac{2}{5}+\frac{1}{3}$ après mise au même dénominateur ?

\frac{11}{15}

\frac{7}{15}

\frac{3}{15}

\frac{3}{8}

Explication

La règle de réduction au dénominateur commun donne $\frac{2\times3+1\times5}{5\times3}=\frac{11}{15}$ . La fraction $\frac{3}{8}$ résulte de l’addition séparée des numérateurs et des dénominateurs, ce qui n’est pas une règle valide.

Answer

$$\frac{11}{15}$$

Question 15

15. Pour un entier positif $n$ , que signifie $a^n$ ?

Le produit de

a

facteurs égaux à

n

La somme de

a

termes égaux à

n

La somme de

n

termes égaux à

a

Le produit de

n

facteurs égaux à

a

Explication

Pour un exposant entier positif, $a^n$ représente $a$ multiplié par lui-même $n$ fois. La somme répétée de $a$ décrit plutôt une multiplication, pas la définition d’une puissance.

Answer

Le produit de $$n$$ facteurs égaux à $$a$$

Question 16

16. Pour une base non nulle $a$ , quelles valeurs donnent $a^0$ et $a^1$ ?

a^0=0

et

a^1=a

a^0=1

et

a^1=1

a^0=a

et

a^1=0

a^0=1

et

a^1=a

Explication

Pour toute base non nulle, l’exposant zéro donne $1$ et l’exposant un laisse la base inchangée. La valeur zéro pour l’exposant nul confond cette règle avec le cas $0^n$ lorsque l’exposant est positif.

Answer

$$a^0=1$$ et $$a^1=a$$

Question 17

17. Une même base non nulle est élevée aux puissances $4$ et $3$ : quelle puissance représente leur produit ?

a^7

a^1

a^{12}

a^{\frac{4}{3}}

Explication

Lorsqu’on multiplie des puissances de même base, on additionne les exposants : $a^4\times a^3=a^{4+3}=a^7$ . L’exposant $12$ proviendrait de la multiplication des exposants, règle qui concerne une puissance de puissance.

Answer

Le nombre positif dont le carré vaut 25

Answer

Elle n’existe pas dans les nombres réels

Answer

$$\sqrt{ab}$$

Answer

En général, $$\sqrt{a}+\sqrt{b}$$ n’est pas égal à $$\sqrt{a+b}$$

Answer

Écrire le radicande comme le produit d’un carré parfait et d’un autre facteur, puis extraire la racine du carré parfait

Answer

Il ne contient aucun facteur carré parfait autre que 1

Answer

Les deux termes en $$\sqrt{2}$$, car ils ont la même partie radicale

Answer

Appliquer une identité remarquable en traitant la racine comme un terme algébrique, puis simplifier ses carrés

Question 18

18. Pour $a\ne0$ , comment simplifier le quotient $\frac{a^8}{a^3}$ ?

a^{24}

a^{11}

a^{-5}

a^5

Explication

Dans un quotient de puissances de même base, on soustrait les exposants : $\frac{a^8}{a^3}=a^{8-3}=a^5$ . L’exposant $11$ correspondrait à l’addition des exposants, utilisée pour un produit.

Question 19

19. Quelle est la racine carrée de 25 selon sa définition dans les nombres réels ?

Les deux nombres dont le carré vaut 25

La moitié du nombre 25

Le nombre négatif dont le carré vaut 25

Le nombre positif dont le carré vaut 25

Explication

La racine carrée désigne le nombre positif dont le carré est égal au nombre donné. Les deux solutions de l’équation $x^2=25$ sont opposées, mais elles ne sont pas toutes deux des racines carrées de 25.

Question 20

20. Que peut-on dire de $\sqrt{-9}$ dans l’ensemble des nombres réels ?

Elle n’existe pas dans les nombres réels

Elle possède deux valeurs réelles opposées

Elle vaut le nombre réel

3

Elle vaut le nombre réel

-3

Explication

Aucun nombre réel élevé au carré ne donne un résultat négatif, donc $\sqrt{-9}$ n’existe pas dans les réels. En revanche, $-3$ et $3$ sont les solutions réelles de $x^2=9$ , pas des racines carrées de $-9$ .

Question 21

21. Pour des nombres positifs $a$ et $b$ , quelle expression est égale à $\sqrt{a}\times\sqrt{b}$ ?

\sqrt{a+b}

\sqrt{a}-\sqrt{b}

\sqrt{ab}

ab

Explication

Pour deux nombres positifs, le produit de leurs racines carrées est la racine carrée de leur produit. La racine carrée de la somme ne représente généralement pas le produit des deux racines.

Question 22

22. Quelle affirmation décrit correctement l’addition de deux racines carrées ?

La somme de deux racines carrées est toujours égale à leur produit

En général,

\sqrt{a}+\sqrt{b}

n’est pas égal à

\sqrt{a+b}

On peut additionner les radicandes et conserver leur racine carrée

Pour tous nombres positifs,

\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}

Explication

L’addition des racines carrées ne se distribue généralement pas sur l’addition des nombres sous les radicaux. Par exemple, $\sqrt{1}+\sqrt{9}=4$ , tandis que $\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$ .

Question 23

23. Pour simplifier une racine en extrayant un carré parfait, quelle démarche faut-il suivre ?

Séparer le radicande en une somme et prendre la racine de chaque terme

Remplacer le radicande par le carré parfait inférieur le plus proche

Additionner les facteurs du radicande, puis prendre la racine de leur somme

Écrire le radicande comme le produit d’un carré parfait et d’un autre facteur, puis extraire la racine du carré parfait

Explication

On décompose le radicande en un produit contenant un carré parfait, puis on sort la racine de ce carré parfait. Remplacer le radicande par un carré parfait voisin modifierait la valeur de l’expression.

Question 24

24. Quelle condition doit satisfaire le radicande dans une écriture simplifiée $a\sqrt{b}$ ?

Il est inférieur au coefficient placé devant la racine

Il est égal au produit du coefficient par lui-même

Il ne contient aucun facteur carré parfait autre que 1

Il est nécessairement égal à un carré parfait

Explication

Une racine est simplifiée lorsque son radicande ne renferme plus de facteur carré parfait autre que 1. Si le radicande contient encore un tel facteur, celui-ci peut être extrait de la racine.

Question 25

25. Dans l’expression $3\sqrt{2}+4\sqrt{2}-\sqrt{5}$ , quels termes peuvent être réduits entre eux ?

Aucun terme, car des racines carrées ne peuvent pas être additionnées

Les termes en

\sqrt{2}

et en

\sqrt{5}

, car ils sont tous sous une racine

Les deux termes en

\sqrt{2}

, car ils ont la même partie radicale

Le terme en

\sqrt{5}

avec le coefficient 4, car leurs coefficients diffèrent

Explication

Les termes qui ont la même partie radicale peuvent être réduits en additionnant ou en soustrayant leurs coefficients. Le terme en $\sqrt{5}$ ne se combine pas avec ceux en $\sqrt{2}$ , car leurs parties radicales diffèrent.

Question 26

26. Quelle démarche permet de développer un carré contenant une racine carrée ?

Élever séparément chaque terme au carré en supprimant le terme croisé

Appliquer une identité remarquable en traitant la racine comme un terme algébrique, puis simplifier ses carrés

Distribuer la racine carrée sur chaque terme de l’expression avant le développement

Remplacer la racine par son radicande, puis appliquer l’identité remarquable

Explication

On développe le carré avec les identités remarquables comme pour des termes algébriques, puis on simplifie les carrés des racines. Supprimer le terme croisé ne respecte pas le développement d’un carré d’une somme ou d’une différence.

Question 27

27. Quel est le produit de deux expressions conjuguées $\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)$ lorsque les racines existent ?

a-b

\sqrt{a}+\sqrt{b}

\sqrt{a-b}

a+b

Explication

Le produit des expressions conjuguées se simplifie par l’identité de la différence de deux carrés, ce qui donne $a-b$ . La somme $a+b$ correspondrait à l’addition des carrés et non à leur différence.

QCM : Calcul littéral et nombres (27 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle transformation décrit le développement d’une expression ?

2. Une expression est écrite comme une somme de plusieurs termes ; quelle opération la transforme en produit ?

3. Quelle égalité traduit la distributivité simple de $a$ sur $b+c$ ?

4. En appliquant la double distributivité à $(a+b)(c+d)$ , quelle somme obtient-on ?

5. Pour développer puis réduire le produit de deux sommes, quelle démarche faut-il suivre ?

6. Quelle méthode permet de factoriser une expression en utilisant un facteur commun à tous ses termes ?

7. Quelle factorisation obtient-on en mettant $4$ en facteur commun dans $4x-4y+8$ ?

8. En développant le carré d’une somme, quel terme apparaît entre les carrés des deux termes ?

9. Quelle expression obtient-on en développant $(x-5)^2$ ?

10. Comment peut-on simplifier le produit $(y+7)(y-7)$ ?

11. Quelle règle permet de calculer $\frac{11}{13}-\frac{4}{13}$ ?

12. En appliquant la règle du produit de fractions, que vaut $\frac{3}{8}\times\frac{4}{7}$ ?

13. Pour calculer $\frac{5}{6}:\frac{2}{9}$ , quelle opération équivalente faut-il effectuer ?

14. Quelle fraction équivaut à $\frac{2}{5}+\frac{1}{3}$ après mise au même dénominateur ?

15. Pour un entier positif $n$ , que signifie $a^n$ ?

16. Pour une base non nulle $a$ , quelles valeurs donnent $a^0$ et $a^1$ ?

17. Une même base non nulle est élevée aux puissances $4$ et $3$ : quelle puissance représente leur produit ?

18. Pour $a\ne0$ , comment simplifier le quotient $\frac{a^8}{a^3}$ ?

19. Quelle est la racine carrée de 25 selon sa définition dans les nombres réels ?

20. Que peut-on dire de $\sqrt{-9}$ dans l’ensemble des nombres réels ?

21. Pour des nombres positifs $a$ et $b$ , quelle expression est égale à $\sqrt{a}\times\sqrt{b}$ ?

22. Quelle affirmation décrit correctement l’addition de deux racines carrées ?

23. Pour simplifier une racine en extrayant un carré parfait, quelle démarche faut-il suivre ?

24. Quelle condition doit satisfaire le radicande dans une écriture simplifiée $a\sqrt{b}$ ?

25. Dans l’expression $3\sqrt{2}+4\sqrt{2}-\sqrt{5}$ , quels termes peuvent être réduits entre eux ?

26. Quelle démarche permet de développer un carré contenant une racine carrée ?

27. Quel est le produit de deux expressions conjuguées $\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)$ lorsque les racines existent ?

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QCM : Calcul littéral et nombres (27 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle transformation décrit le développement d’une expression ?

2. Une expression est écrite comme une somme de plusieurs termes ; quelle opération la transforme en produit ?

3. Quelle égalité traduit la distributivité simple de aaa sur b+cb+cb+c ?

4. En appliquant la double distributivité à (a+b)(c+d) (a+b)(c+d) (a+b)(c+d), quelle somme obtient-on ?

5. Pour développer puis réduire le produit de deux sommes, quelle démarche faut-il suivre ?

6. Quelle méthode permet de factoriser une expression en utilisant un facteur commun à tous ses termes ?

7. Quelle factorisation obtient-on en mettant 444 en facteur commun dans 4x−4y+84x-4y+84x−4y+8 ?

8. En développant le carré d’une somme, quel terme apparaît entre les carrés des deux termes ?

9. Quelle expression obtient-on en développant (x−5)2(x-5)^2(x−5)2 ?

10. Comment peut-on simplifier le produit (y+7)(y−7)(y+7)(y-7)(y+7)(y−7) ?

11. Quelle règle permet de calculer 1113−413\frac{11}{13}-\frac{4}{13}1311​−134​ ?

12. En appliquant la règle du produit de fractions, que vaut 38×47\frac{3}{8}\times\frac{4}{7}83​×74​ ?

13. Pour calculer 56:29\frac{5}{6}:\frac{2}{9}65​:92​, quelle opération équivalente faut-il effectuer ?

14. Quelle fraction équivaut à 25+13\frac{2}{5}+\frac{1}{3}52​+31​ après mise au même dénominateur ?

15. Pour un entier positif nnn, que signifie ana^nan ?

16. Pour une base non nulle aaa, quelles valeurs donnent a0a^0a0 et a1a^1a1 ?

17. Une même base non nulle est élevée aux puissances 444 et 333 : quelle puissance représente leur produit ?

18. Pour a≠0a\ne0a=0, comment simplifier le quotient a8a3\frac{a^8}{a^3}a3a8​ ?

19. Quelle est la racine carrée de 25 selon sa définition dans les nombres réels ?

20. Que peut-on dire de −9\sqrt{-9}−9​ dans l’ensemble des nombres réels ?

21. Pour des nombres positifs aaa et bbb, quelle expression est égale à a×b\sqrt{a}\times\sqrt{b}a​×b​ ?

22. Quelle affirmation décrit correctement l’addition de deux racines carrées ?

23. Pour simplifier une racine en extrayant un carré parfait, quelle démarche faut-il suivre ?

24. Quelle condition doit satisfaire le radicande dans une écriture simplifiée aba\sqrt{b}ab​ ?

25. Dans l’expression 32+42−53\sqrt{2}+4\sqrt{2}-\sqrt{5}32​+42​−5​, quels termes peuvent être réduits entre eux ?

26. Quelle démarche permet de développer un carré contenant une racine carrée ?

27. Quel est le produit de deux expressions conjuguées (a−b)(a+b)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)(a​−b​)(a​+b​) lorsque les racines existent ?

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3. Quelle égalité traduit la distributivité simple de $a$ sur $b+c$ ?

4. En appliquant la double distributivité à $(a+b)(c+d)$ , quelle somme obtient-on ?

7. Quelle factorisation obtient-on en mettant $4$ en facteur commun dans $4x-4y+8$ ?

9. Quelle expression obtient-on en développant $(x-5)^2$ ?

10. Comment peut-on simplifier le produit $(y+7)(y-7)$ ?

11. Quelle règle permet de calculer $\frac{11}{13}-\frac{4}{13}$ ?

12. En appliquant la règle du produit de fractions, que vaut $\frac{3}{8}\times\frac{4}{7}$ ?

13. Pour calculer $\frac{5}{6}:\frac{2}{9}$ , quelle opération équivalente faut-il effectuer ?

14. Quelle fraction équivaut à $\frac{2}{5}+\frac{1}{3}$ après mise au même dénominateur ?

15. Pour un entier positif $n$ , que signifie $a^n$ ?

16. Pour une base non nulle $a$ , quelles valeurs donnent $a^0$ et $a^1$ ?

17. Une même base non nulle est élevée aux puissances $4$ et $3$ : quelle puissance représente leur produit ?

18. Pour $a\ne0$ , comment simplifier le quotient $\frac{a^8}{a^3}$ ?

20. Que peut-on dire de $\sqrt{-9}$ dans l’ensemble des nombres réels ?

21. Pour des nombres positifs $a$ et $b$ , quelle expression est égale à $\sqrt{a}\times\sqrt{b}$ ?

24. Quelle condition doit satisfaire le radicande dans une écriture simplifiée $a\sqrt{b}$ ?

25. Dans l’expression $3\sqrt{2}+4\sqrt{2}-\sqrt{5}$ , quels termes peuvent être réduits entre eux ?

27. Quel est le produit de deux expressions conjuguées $\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)$ lorsque les racines existent ?