Fiche de révision : Calcul littéral et problèmes

📋 Plan du Cours

1. Développement et réduction d’expressions
2. Signes et puissances algébriques
3. Factorisation par facteur commun
4. Programmes de calcul et conjectures
5. Aires et périmètres algébriques
6. Égalités et démonstrations algébriques
7. Expressions de prix et calculs

📖 1. Développement et réduction d’expressions

🔑 Notions clés & Définitions

• Développer : Consiste à transformer un produit en somme en distribuant le facteur à chaque terme de la parenthèse.
• Réduire : Réduire une expression consiste à regrouper les termes de même nature, comme les termes en $x^2$, les termes en $x$ et les nombres.

★ À maîtriser

📐 Formule - La distributivité s’écrit $k(a+b)=ka+kb$ et $k(a-b)=ka-kb$.

Compléments

• En réduisant $3x^2+5x-x^2+2x$, on obtient $2x^2+7x$.

📌 Les termes en $x^2$ et les termes en $x$ ne sont pas de même nature et ne peuvent pas être additionnés entre eux.

💡 Astuce mémo

Développer transforme un produit en somme ; réduire rassemble les termes de même nature.

📖 2. Signes et puissances algébriques

★ À maîtriser

• Les produits de deux nombres de même signe sont positifs, tandis que les produits de deux nombres de signes différents sont négatifs.

📌 Un signe moins placé devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes, ainsi $-(a-b)=-a+b$.

Compléments

📐 Formule - Le produit de deux facteurs $x$ vaut $x^2$, et $4x\times5x=20x^2$.

📌 Dans $3x(2x+1)$, le produit $3x\times2x$ vaut $6x^2$ et ne peut pas être additionné au terme en $x$, ce qui donne $6x^2+3x$.

📖 3. Factorisation par facteur commun

🔑 Notions clés & Définitions

• Factoriser : Consiste à transformer une somme en produit en mettant en évidence un facteur commun.

★ À maîtriser

📐 Formule - La mise en facteur commune s’écrit $ka+kb=k(a+b)$.

Compléments

• La factorisation de $6x^2+9x$ est $3x(2x+3)$.

• Pour vérifier une factorisation, on redéveloppe le produit obtenu et on contrôle qu’on retrouve l’expression de départ.

📌 Quand une expression comporte trois termes, le facteur commun doit être recherché dans les trois termes.

💡 Astuce mémo

Développer va du produit vers la somme ; factoriser remonte de la somme vers le produit.

📖 4. Programmes de calcul et conjectures

★ À maîtriser

• 🔄 Le programme de calcul suit ces étapes :
  1. Choisir un nombre.
  2. Le multiplier par 4.
  3. Soustraire 3.
  4. Multiplier le résultat par le nombre initial.
  5. Ajouter le triple du nombre initial.

📐 Formule - Pour un nombre initial $x$, le résultat du programme est $(4x-3)x+3x=4x^2$.

Compléments

• Avec le nombre initial 2, le programme de calcul donne 16.

💡 Astuce mémo

Choisir, multiplier, soustraire, remultiplier par le nombre initial, puis ajouter son triple.

📖 5. Aires et périmètres algébriques

★ À maîtriser

📐 Formule - L’aire d’un rectangle de longueur $2x+5$ et de largeur $x$ est $x(2x+5)=2x^2+5x$.

📐 Formule - Après avoir retiré un carré de côté $x$, l’aire restante est $2x^2+5x-x^2=x^2+5x=x(x+5)$.

📐 Formule - Le périmètre du rectangle de départ est $2(2x+5+x)=2(3x+5)=6x+10$.

Compléments

• Pour $x=4\,\text{cm}$, l’aire restante vaut $36\,\text{cm}^2$.

📖 6. Égalités et démonstrations algébriques

★ À maîtriser

• Les expressions $2x(x+3)-x^2$ et $x(x+6)$ sont égales pour tout $x$, car elles se réduisent toutes deux à $x^2+6x$.

📐 Formule - La somme de trois entiers consécutifs à partir de l’entier $n$ est $n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)$.

📌 La somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3, car elle s’écrit $3(n+1)$ et $n+1$ est un entier.

Compléments

📐 Formule - Pour tout nombre $x$, $3(x+4)-2(x+6)=x$.

📖 7. Expressions de prix et calculs

★ À maîtriser

• Si une place coûte $x$ euros et qu’un menu coûte 4 euros de moins, le prix du menu est $x-4$ euros.

📐 Formule - Pour trois places et trois menus, le prix total est $3(x+x-4)=6x-12=6(x-2)$ euros.

Compléments

• Pour une place à 11 euros, trois places et trois menus coûtent 54 euros.

📐 Formule - Pour cinq places et deux menus, le prix total est $5x+2(x-4)=7x-8$ euros.

• Pour une place à 11 euros, cinq places et deux menus coûtent 69 euros.