Fiche de révision : Puissances et calcul mental

📋 Plan du Cours

1. Décomposition des produits
2. Puissances et règles de calcul
3. Puissances de dix
4. Préfixes métriques et conversions

📖 1. Décomposition des produits

📝 Points essentiels

• Pour calculer mentalement $3\times81$, on décompose 81 en 80 + 1, puis on distribue la multiplication : $3\times(80+1)=3\times80+3\times1=243$.

📖 2. Puissances et règles de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance d’exposant entier positif : Pour un entier positif $n$, $3^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à 3.

★ À maîtriser

📌 Pour une base non nulle, une puissance d’exposant négatif vérifie $x^{-m}=\frac{1}{x^m}$ ; ainsi, $3^{-2}=\frac{1}{9}\approx0{,}111$.

📐 Formule - Pour une même base, le produit de puissances vérifie $x^m\times x^p=x^{m+p}$.

📐 Formule - Pour une même base non nulle, le quotient de puissances vérifie $\frac{x^m}{x^p}=x^{m-p}$.

Compléments

• Les exemples de puissances de 3 sont $3^3=3\times3\times3=27$ et $3^4=3\times3\times3\times3=81$.

📐 Formule - Pour une base non nulle, $m^1=m$ et $m^0=1$.

📖 3. Puissances de dix

★ À maîtriser

📐 Formule - Les puissances négatives de dix vérifient $10^{-n}=\frac{1}{10^n}$ ; par exemple, $10^{-1}=\frac{1}{10}=0{,}1$.

Compléments

• Les puissances de dix de $10^{-3}$ à $10^3$ valent respectivement $0{,}001$, $0{,}01$, $0{,}1$, $1$, $10$, $100$ et $1000$.

• Multiplier par $10^2$ revient à multiplier par 100 : $2\times10^2=200$ et $(-3)\times10^2=-300$.

• Multiplier par $10^{-2}$ revient à multiplier par 0,01 : $4\times10^{-2}=0{,}04$ et $(-5)\times10^{-2}=-0{,}05$.

📖 4. Préfixes métriques et conversions

★ À maîtriser

• Les préfixes métriques associés aux mètres sont, dans l’ordre :

  • millimètre (mm)
  • centimètre (cm)
  • décimètre (dm)
  • mètre (m)
  • décamètre (dam)
  • hectomètre (hm)
  • kilomètre (km)

• Les conversions en mètres sont $1\,\mathrm{mm}=10^{-3}\,\mathrm{m}$, $1\,\mathrm{cm}=10^{-2}\,\mathrm{m}$, $1\,\mathrm{dm}=10^{-1}\,\mathrm{m}$, $1\,\mathrm{dam}=10^1\,\mathrm{m}$, $1\,\mathrm{hm}=10^2\,\mathrm{m}$ et $1\,\mathrm{km}=10^3\,\mathrm{m}$.

Compléments

• Un micromètre vaut $1\,\mu\mathrm{m}=10^{-6}\,\mathrm{m}$.