Fiche de révision : Calcul littéral et transformations

📋 Plan du Cours

1. Expressions littérales et calculs
2. Écriture et réduction des expressions
3. Développement par distributivité
4. Suppression des parenthèses
5. Factorisation par facteur commun

📖 1. Expressions littérales et calculs

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression littérale : Un calcul contenant une ou plusieurs lettres qui représentent des nombres.

★ À maîtriser

• Pour un nombre de départ x, le programme « ajouter 5, multiplier par 3, puis soustraire le double du nombre de départ » donne l’expression $(x+5)\times 3-2\times x$.

Compléments

• Avec le programme « ajouter 5, multiplier par 3, puis soustraire le double du nombre de départ », le résultat est 16 pour un départ de 1 et 18 pour un départ de 3.

• Une expression littérale peut servir à écrire une formule ou à étudier le cas général d’un problème.

📖 2. Écriture et réduction des expressions

★ À maîtriser

• Pour réduire un produit de facteurs numériques et littéraux, on multiplie les facteurs numériques et on regroupe les lettres identiques : $7\times x\times3=21x$, $5\times4x=20x$ et $4x\times6x=24x^2$.

• Le signe de multiplication peut être omis entre un nombre et une lettre, entre deux lettres, avant une parenthèse et entre deux parenthèses.

• Le produit d’une lettre par elle-même s’écrit au carré, et le produit de trois facteurs identiques s’écrit au cube : $x\times x=x^2$ et $x\times x\times x=x^3$.

• Seuls les termes de même partie littérale peuvent être regroupés dans une somme ; ainsi, $5x+4$ ne peut pas être réduit davantage.

Compléments

📌 Dans un produit entre un nombre et une lettre, le nombre s’écrit avant la lettre : $a\times7=7a$, et non $a7$.

• Les écritures $3\times a$, $a\times b$, $7\times(x+5)$ et $(2\times x-4)\times(x+8)$ se simplifient respectivement en $3a$, $ab$, $7(x+5)$ et $(2x-4)(x+8)$.

• Les produits $-8x\times5$ et $-3x\times(-10x)$ se réduisent respectivement en $-40x$ et $30x^2$.

• La somme $5x+4x$ se réduit en $9x$ en mettant $x$ en facteur commun.

• La réduction de $8x-3+2x^2+1-5x+6x^2$ donne $8x^2+3x-2$.

📐 Formule - La distributivité à l’envers permet de mettre un facteur commun en évidence : $k\times a+k\times b=k\times(a+b).$

📖 3. Développement par distributivité

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement : Transformer un produit en une somme en utilisant la distributivité.

★ À maîtriser

📐 Formule - La distributivité simple vérifie $a(b+c)=ab+ac.$

📐 Formule - La distributivité double vérifie $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.$

Compléments

• Le développement de $2(x+3)$ donne $2x+6$.

• Le développement de $5x(3+7x)$ donne $15x+35x^2$.

• Le développement de $-4y^2(-3+10y)$ donne $12y^2-40y^3$.

• Après développement et réduction, $(3x+2)(4x+8)$ devient $12x^2+32x+16$.

• Après développement et réduction, $(-4x+3)(5-10x)$ devient $40x^2-50x+15$.

📖 4. Suppression des parenthèses

★ À maîtriser

📌 La suppression de parenthèses précédées d’un signe + conserve les signes des termes à l’intérieur.

📌 La suppression de parenthèses précédées d’un signe − change le signe de chaque terme à l’intérieur.

Compléments

• La suppression des parenthèses et la réduction de $-(4x-3)+(7x+1)$ donnent $3x+4$.

📖 5. Factorisation par facteur commun

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation : Transformer une somme en un produit.

★ À maîtriser

• Pour factoriser $(2x-3)(4x+7)-(2x-3)(5x-4)$, on met en facteur commun $2x-3$, puis on simplifie la parenthèse restante pour obtenir $(2x-3)(-x+11)$.

Compléments

📌 Pour factoriser une différence de deux produits ayant un même facteur, on conserve ce facteur et on le multiplie par la différence des autres facteurs.

💡 Astuce mémo

Développer transforme un produit en somme ; factoriser transforme une somme en produit.