Fiche de révision : Calcul littéral et triangles rectangles

📋 Plan du Cours

1. Réduction et développement littéral
2. Théorème de Pythagore
3. Réciproque et contraposée de Pythagore
4. Trigonométrie dans le triangle rectangle

📖 1. Réduction et développement littéral

🔑 Notions clés & Définitions

• Réduction d’une expression littérale : Rassembler les termes de même nature, c’est-à-dire ceux qui ont la même lettre et le même exposant.
• Développement d’une expression littérale : Transformer un produit en somme.

★ À maîtriser

📐 Formule - La distributivité simple s’écrit $k(a+b)=ka+kb$.

📐 Formule - Le double développement s’écrit $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

Compléments

• En réduisant $3x^2-5x+(2x-8x^2)$, on obtient $-5x^2-3x$.

• Le développement de $(5-2x)(x+2)$ se réduit à $-2x^2+x+10$.

📖 2. Théorème de Pythagore

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si le triangle ABC est rectangle en B, alors $AC^2=AB^2+BC^2$.

Compléments

• Pour calculer un côté d’un triangle rectangle avec le théorème de Pythagore, on écrit l’égalité entre le carré de l’hypoténuse et la somme des carrés des deux autres côtés, on remplace par les longueurs connues, puis on isole le carré du côté recherché et on en extrait la racine carrée.

• Dans un triangle rectangle dont les deux côtés de l’angle droit mesurent 6 cm et 3,2 cm, l’hypoténuse mesure 6,8 cm.

• Si l’hypoténuse mesure 5,8 cm et un côté de l’angle droit 4,2 cm, l’autre côté de l’angle droit mesure 4 cm.

📖 3. Réciproque et contraposée de Pythagore

🔑 Notions clés & Définitions

• Réciproque du théorème de Pythagore : Si le carré du plus long côté d’un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.

★ À maîtriser

• Pour tester si un triangle est rectangle avec la réciproque de Pythagore, on repère son plus long côté, on calcule son carré et la somme des carrés des deux autres côtés, puis on compare les résultats.

Compléments

• Dans le triangle EFN de côtés EF = 320 mm, FN = 464 mm et EN = 336 mm, on a $FN^2=EF^2+EN^2$, donc le triangle est rectangle en E.

💡 Astuce mémo

Égalité des carrés : triangle rectangle ; inégalité : triangle non rectangle.

📖 4. Trigonométrie dans le triangle rectangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Cosinus d’un angle : Dans un triangle rectangle, le rapport entre la longueur du côté adjacent à cet angle et celle de l’hypoténuse.
• Sinus d’un angle : Dans un triangle rectangle, le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et celle de l’hypoténuse.
• Tangente d’un angle : Dans un triangle rectangle, le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et celle du côté adjacent.

📝 Points essentiels

• Dans un triangle ABC rectangle en C, $\cos(ABC)=\frac{CB}{AB}$, $\sin(ABC)=\frac{AC}{AB}$ et $\tan(ABC)=\frac{AC}{CB}$.

• Pour calculer un côté avec un angle et un côté connus, on identifie les côtés adjacent, opposé et hypoténuse par rapport à l’angle, on choisit la relation trigonométrique correspondante, puis on isole la longueur recherchée.

• Dans un triangle rectangle, si l’hypoténuse mesure 75 m et l’angle considéré 5°, le côté adjacent à cet angle mesure environ 74,71 m.

• Dans un triangle rectangle, si le côté opposé à un angle de 29° mesure 4, le côté adjacent à cet angle mesure environ 7,22 m.

💡 Astuce mémo

CAH SON TOA : cosinus = adjacent/hypoténuse, sinus = opposé/hypoténuse, tangente = opposé/adjacent.