Fiche de révision : Statistique descriptive élémentaire

📋 Plan du Cours

1. Terminologie statistique fondamentale
2. Types de caractères et variables
3. Classes des variables continues
4. Fréquences et cumulées discrètes
5. Représentations graphiques des distributions
6. Le mode des distributions
7. Médiane et quantiles
8. Autres types de moyennes
9. Mesures simples de dispersion
10. Variance écart-type et coefficient
11. Décomposition de la variance et forme
12. Asymétrie et aplatissement des distributions
13. Mesure de la concentration statistique

📖 1. Terminologie statistique fondamentale

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistique : Ensemble de méthodes permettant de décrire et d’analyser de façon quantifiée des phénomènes repérés par de nombreux éléments de même nature, dénombrables et classables.
• Population : Ensemble des individus étudiés par la statistique.
• Caractère : Caractéristique observée par le statisticien sur les individus d’une population.
• Effectif de la population : Nombre d’individus qui constituent la population, noté n ou N.

📝 Points essentiels

• Les méthodes statistiques sont des outils mathématiques adaptés à la description de certaines dimensions d’un phénomène, comme sa moyenne.

📌 La statistique est un outil fondé sur des propriétés mathématiques et neutre, tandis que l’interprétation des statistiques peut être orientée ou non neutre.

• Un individu statistique peut être un être humain, un objet ou un événement, comme une personne de Bordeaux, un bien immobilier ou un crédit accordé par une banque pendant une année.

📌 Les modalités d’un caractère doivent être observées sans ambiguïté, de sorte que chaque individu soit associé à une seule modalité.

📖 2. Types de caractères et variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Caractère qualitatif : Un caractère qualitatif possède des modalités qui ne sont pas mesurables, généralement parce qu’elles ne sont pas numériques.
• Caractère quantitatif : Un caractère quantitatif possède des modalités mesurables, exprimées par des nombres ordonnables.
• Variable discrète : Une variable statistique discrète est mesurée par un nombre fini de valeurs isolées, généralement des nombres entiers.
• Variable statistique : Une variable statistique est un caractère quantitatif et l’ensemble de ses modalités observées dans la population étudiée.

📝 Points essentiels

• Le nombre de pièces d’un logement est une variable discrète, car il est entier et ne peut pas comporter une moitié de pièce.

💡 Astuce mémo

Qualitatif : modalités non mesurables ; quantitatif : modalités mesurables et ordonnables.

📖 3. Classes des variables continues

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable continue : Une variable statistique continue peut être mesurée par un nombre infini de valeurs, avec une précision pouvant aller jusqu’aux décimales.
• Classe de modalités : Une classe de modalités est un intervalle de valeurs utilisé pour présenter une variable continue et, avec les autres classes, couvrir les modalités observées dans la population.

📝 Points essentiels

• Le revenu fiscal des ménages français est un exemple de variable statistique continue.

📌 Sauf pour la dernière classe, les intervalles sont conventionnellement fermés à gauche et ouverts à droite, sous la forme $[a,b[$.

• Le regroupement des données continues en classes résume la distribution réelle et produit des résultats moins précis qu’une analyse exhaustive des données brutes.

• Pour une classe d’extrémités a et b, le cours identifie son amplitude et son centre comme deux informations utiles, et souligne le rôle important du centre dans les calculs.

📌 Les classes de modalités sont ordonnées par valeur croissante et chacune est repérée par son rang, noté $x_i$.

📖 4. Fréquences et cumulées discrètes

🔑 Notions clés & Définitions

• Fréquence : La fréquence d’une modalité est le rapport de son effectif $n_i$ à l’effectif total $n$ : $f_i=\frac{n_i}{n}$.
• Fréquence cumulée croissante : La fréquence cumulée croissante associée à une modalité mesure la proportion d’individus dont la valeur est strictement inférieure à cette modalité.

★ À maîtriser

• Pour une distribution organisée en k modalités, la somme des fréquences relatives vaut 1 et la somme des fréquences exprimées en pourcentage vaut 100 %.

• Pour une variable continue, la fréquence cumulée croissante d’une classe mesure la proportion d’individus dont la valeur est strictement inférieure à la borne inférieure de cette classe.

• Pour une variable continue, la fréquence cumulée décroissante d’une classe mesure la proportion d’individus dont la valeur est strictement supérieure à la borne supérieure de cette classe.

Compléments

📐 Formule - La fréquence en pourcentage est $f_i\times 100$.

• Le symbole sigma majuscule $\Sigma$ peut représenter la somme des termes successifs d’une suite.

• Pour la première modalité d’une variable discrète, la fréquence cumulée croissante est égale à 0.

📐 Formule - Pour la modalité de rang h, la fréquence cumulée croissante est $F_h=\sum_{i=1}^{h-1}f_i$.

• Les fréquences cumulées peuvent être croissantes ou décroissantes, et les fréquences cumulées croissantes correspondent à la fonction de répartition de la variable statistique.

• Les fréquences cumulées croissantes d’une variable continue se calculent comme celles d’une variable discrète, mais leur lecture dépend de la borne de classe choisie.

• Les effectifs cumulés croissants et décroissants se calculent comme les fréquences cumulées en utilisant les effectifs simples à la place des fréquences relatives.

📌 Les fréquences cumulées expriment une proportion de la population, tandis que les effectifs cumulés expriment un nombre d’individus et décrivent donc des quantités absolues.

📖 5. Représentations graphiques des distributions

★ À maîtriser

📌 Les diagrammes différentiels représentent les effectifs ou fréquences simples, tandis que les diagrammes intégraux représentent les effectifs ou fréquences cumulés.

• La courbe cumulative d’une variable discrète se construit en plaçant les modalités en abscisses et les valeurs cumulées en ordonnées, puis en traçant les marches horizontales jusqu’à la modalité suivante.

📐 Formule - La densité d’une classe est son effectif ou sa fréquence divisé par l’amplitude de la classe : $d_i=\frac{n_i}{a_i}$ ou $d_i=\frac{f_i}{a_i}$.

📌 Dans un histogramme, la base de chaque rectangle correspond à l’amplitude de la classe et sa hauteur à la densité de cette classe, de sorte que son aire représente l’effectif ou la fréquence.

• 🔄 La courbe cumulative croissante continue se construit ainsi :
  1. Placer les points du tableau aux bornes inférieures des classes.
  2. Ajouter le point de coordonnées (borne supérieure de la dernière classe, 1).
  3. Relier les points successifs par des segments.
  4. Prolonger la courbe par des demi-droites aux deux extrémités.

Compléments

• Pour un caractère qualitatif, les diagrammes en tuyaux d’orgue représentent chaque modalité par un tuyau dont la hauteur correspond à son effectif ou à sa fréquence.

• Dans un diagramme à secteurs, l’angle de chaque secteur est proportionnel à l’effectif ou à la fréquence de la modalité, selon la relation $\alpha_i=f_i\times 360^\circ$.

• Pour une variable discrète, le diagramme différentiel est un diagramme en bâtons dont la hauteur de chaque bâton représente l’effectif ou la fréquence de la modalité.

📌 Pour une variable discrète, la lecture des fréquences cumulées sur la courbe en marches se fait uniquement aux points, car les portions entre deux points sont une convention graphique et ne représentent pas une continuité.

📌 Reporter directement les effectifs en ordonnée dans un histogramme est incorrect lorsque les amplitudes des classes diffèrent ; cela ne convient que si toutes les amplitudes sont égales.

• La surface totale d’un histogramme est égale à l’effectif total n ou à 1 lorsque les fréquences relatives sont représentées.

📌 La courbe cumulative continue ne se construit pas à partir des centres de classes.

• La courbe des fréquences cumulées décroissantes d’une variable continue se construit en plaçant les bornes supérieures des classes en abscisses et les fréquences décroissantes en ordonnées, puis en reliant les points successifs et en ajoutant un point d’ordonnée 0 à la borne supérieure de la dernière classe.

💡 Astuce mémo

Le différentiel montre les valeurs simples ; l’intégral, leur cumul.

📖 6. Le mode des distributions

🔑 Notions clés & Définitions

• Mode : La modalité dont l’effectif ou la fréquence est le plus élevé dans une population.

★ À maîtriser

📌 Pour une variable discrète, le mode est la modalité dont l’effectif ou la fréquence est le plus élevé.

📌 Lorsque les classes continues ont des amplitudes égales, la classe modale est celle dont l’effectif ou la fréquence est le plus élevé.

• Pour estimer le mode d’une distribution continue à classes d’amplitudes égales, on peut prendre le centre de la classe modale ou appliquer la méthode graphique des diagonales.

📐 Formule - Pour des classes continues d’amplitudes inégales, la densité de la classe i est $d_i=\frac{n_i}{a_i}=\frac{f_i}{a_i}$ et la classe modale est celle dont la densité est maximale.

Compléments

📌 Si deux modalités consécutives partagent l’effectif ou la fréquence maximal, elles définissent un intervalle modal ; si deux modalités non consécutives partagent ce maximum, la distribution est bimodale.

• Sur un diagramme en bâtons, le mode est la modalité représentée par le bâton le plus long.

• La méthode des diagonales relie les extrémités gauches, puis les extrémités droites, du sommet du rectangle de la classe modale et du sommet du rectangle de la classe suivante ; le mode est l’abscisse de leur intersection.

📖 7. Médiane et quantiles

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiane : Valeur du caractère qui partage une distribution ordonnée en deux sous-ensembles d’effectifs égaux.
• Quartiles : Les quartiles sont les valeurs qui partagent la distribution en quatre sous-ensembles d’effectifs égaux : Q1 sépare 25 % des observations des 75 % restantes, Q2 partage la distribution en deux moitiés et correspond à la médiane, et Q3 sépare 75 % des observations des 25 % restantes.
• Déciles : Les déciles D1 à D9 partagent la population en dix segments de 10 % chacun ; par exemple, D1 sépare 10 % de la population des 90 % restants.
• Centiles : Les centiles P1 à P99 partagent la population en cent sous-ensembles contenant chacun 1 % de l’effectif ; par exemple, P37 sépare 37 % de la population des 63 % restants.

★ À maîtriser

• Dans une série discrète, on repère 0,5 dans les fréquences cumulées, ou n/2 dans les effectifs cumulés, puis on retient la plus petite des deux modalités qui encadrent cette valeur.

📐 Formule - Pour une distribution continue, si la classe médiane est [a ; b[, sa fréquence cumulée passe de F(a) à F(b) et sa fréquence relative est f, alors l’interpolation linéaire donne $Me=a+(b-a)\times\frac{0{,}5-F(a)}{f}$.

Compléments

• Dans l’exemple des entreprises, la médiane interpolée vaut 7,5 millions d’euros ; la moitié des entreprises a un profit annuel strictement inférieur à cette valeur et l’autre moitié un profit supérieur ou égal.

• Dans l’exemple des entreprises, le premier quartile vaut 2,6 millions d’euros : un quart des entreprises a réalisé un profit inférieur à cette valeur et les trois quarts restants un profit au moins égal.

• Dans l’exemple des entreprises, D7 vaut 16,7 millions d’euros : 70 % des entreprises réalisent un profit inférieur à cette valeur et les 30 % restantes un profit au moins égal.

• Dans l’exemple des entreprises, le centile P99 vaut environ 98 millions d’euros ; le top 1 % regroupe les entreprises réalisant au moins ce montant.

• La médiane et les autres quantiles peuvent être repérés graphiquement à partir de la fonction de répartition ; la médiane est le point d’intersection des courbes cumulatives croissante et décroissante.

📖 8. Autres types de moyennes

★ À maîtriser

📐 Formule - La moyenne géométrique de valeurs positives est $G=\left(\prod_{i=1}^{k}x_i^{n_i}\right)^{1/n}$, où $n=\sum_{i=1}^{k}n_i$ ; elle sert notamment à calculer une moyenne de taux de croissance.

📐 Formule - La moyenne harmonique pondérée de valeurs $x_i$ d’effectifs $n_i$ est $H=\frac{n}{\sum_{i=1}^{k}\frac{n_i}{x_i}}$, où $n=\sum_{i=1}^{k}n_i$ ; elle sert à calculer la moyenne de ratios ou de quotients.

Compléments

• Pour les taux de croissance du PIB observés sur 40 années, l’exemple donne une moyenne géométrique de 2,7 %, inférieure à la moyenne arithmétique de 3,3 %.

• Pour un trajet de 100 kilomètres effectué à 30 km/h pendant 15 kilomètres, à 50 km/h pendant 25 kilomètres et à 100 km/h pendant 60 kilomètres, la moyenne harmonique est de 62,5 km/h, contre une moyenne arithmétique de 77 km/h.

📐 Formule - La moyenne quadratique est la racine carrée de la moyenne arithmétique des carrés des modalités : $Q=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_i x_i^2}$.

📌 Pour des modalités strictement positives, les moyennes sont ordonnées ainsi : $H\leq G\leq \bar{x}\leq Q$.

📖 9. Mesures simples de dispersion

🔑 Notions clés & Définitions

• Étendue : Différence entre la valeur maximale et la valeur minimale d’une série.
• Intervalle interquartile : Différence entre le troisième quartile et le premier quartile, $Q_3-Q_1$ ; 50 % des observations se situent dans cet intervalle.
• Intervalle interdécile : Différence entre le neuvième décile et le premier décile, $D_9-D_1$ ; 80 % des observations se situent dans cet intervalle.
• Intervalle intercentile : Différence entre le centile 99 et le centile 1, $C_{99}-C_1$ ; 98 % des observations se situent dans cet intervalle.

📝 Points essentiels

• L’étendue peut donner trop de poids aux observations extrêmes du caractère.

• Les intervalles interquantiles sont plus utiles que l’étendue pour comparer la dispersion, car ils se concentrent sur la partie centrale de la distribution en excluant les valeurs extrêmes.

💡 Astuce mémo

L’étendue regarde les extrêmes ; l’intervalle interquantile recentre la mesure sur le milieu.

📖 10. Variance écart-type et coefficient

★ À maîtriser

📐 Formule - La variance est la moyenne pondérée des carrés des écarts à la moyenne : $V_{(x)}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_i(x_i-\bar{x})^2$.

📐 Formule - L’écart-type est la racine carrée de la variance : $\sigma_x=\sqrt{V_{(x)}}$.

📐 Formule - Le coefficient de variation est le rapport de l’écart-type à la moyenne arithmétique : $CV_{(x)}=\frac{\sigma_x}{\bar{x}}$.

📌 Pour comparer la dispersion de deux distributions différentes, il faut calculer et comparer leurs coefficients de variation plutôt que leurs écarts-types, car les moyennes ou les unités de mesure peuvent différer.

Compléments

📐 Formule - Une formule développée de la variance est $V_{(x)}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_i x_i^2-\bar{x}^{2}$.

• Dans l’exemple de chiffre d’affaires, la variance vaut 640,082 et l’écart-type vaut 25,3 millions d’euros ; seul l’écart-type est exprimé dans la même unité de mesure que le caractère.

📖 11. Décomposition de la variance et forme

🔑 Notions clés & Définitions

• Variance intra-population : Composante de la variance totale due à la dispersion propre à chaque sous-population.
• Variance inter-population : Composante de la variance totale due à l’hétérogénéité des observations entre les sous-populations.

★ À maîtriser

• La somme des écarts à la moyenne est toujours nulle, quelle que soit la distribution : $\sum_{i=1}^{k}(x_i-\bar{x})=0$ ; avec des effectifs, $\sum_{i=1}^{k}n_i(x_i-\bar{x})=0$.

📌 Lorsqu’une population est décomposée en sous-populations, sa variance totale se décompose en une variance intra-population et une variance inter-population.

Compléments

• La différence de moyenne entre les sous-groupes augmente la composante inter-population de la variance, tandis que des variances ou des écarts-types élevés dans les sous-populations augmentent la composante intra-population.

📐 Formule - Pour des sous-populations d’effectifs $n_i$ et de variances $V_i$, la variance intra-population est $V_{\mathrm{intra}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_iV_i$.

📐 Formule - Le moment statistique d’ordre $r$ par rapport à une valeur $a$ est $M_a^r=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_i(x_i-a)^r$.

• Les indicateurs de forme décrivent la répartition des individus sur les différentes valeurs observées du caractère et mesurent notamment la symétrie et l’aplatissement de la distribution.

📖 12. Asymétrie et aplatissement des distributions

🔑 Notions clés & Définitions

• Distribution symétrique : Distribution dont les observations sont également dispersées de part et d’autre d’une valeur centrale.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’indicateur de Yule est défini par $S_y=\frac{(Q_3-M_e)-(M_e-Q_1)}{(Q_3-M_e)+(M_e-Q_1)}$.

📌 Pour l’indicateur de Yule, $S_y=0$ indique une distribution symétrique, $S_y>0$ une asymétrie oblique à droite et $S_y<0$ une asymétrie oblique à gauche.

• Une distribution platicurtique présente une faible variation des densités ou fréquences malgré une forte variation des valeurs du caractère, tandis qu’une distribution leptokurtique présente de fortes variations de densité ou de fréquence pour de faibles variations des valeurs.

📐 Formule - Le coefficient d’aplatissement de Pearson est défini par $A_p=\frac{UM_4}{\sigma^4}$.

Compléments

📌 Dans une distribution symétrique, le mode, la médiane et la moyenne ont des valeurs approximativement égales ; dans une distribution asymétrique, ces trois valeurs ne suivent pas cette égalité.

📐 Formule - L’indicateur de Pearson est défini par $S_p=\frac{\bar{x}-M_o}{\sigma}$.

📌 Pour l’indicateur de Pearson, $S_p>0$ indique une asymétrie à droite, $S_p<0$ une asymétrie à gauche et $S_p\approx0$ une distribution symétrique.

📐 Formule - L’indicateur de Fisher de l’asymétrie est défini par $S_f=\frac{UM_3}{\sigma^3}$.

📌 Pour l’indicateur de Fisher, $S_f=0$ indique une distribution symétrique, $S_f>0$ une asymétrie à droite et $S_f<0$ une asymétrie à gauche.

📌 Selon le coefficient $A_p$, une distribution est normale si $A_p=3$, leptokurtique si $A_p>3$ et platicurtique si $A_p<3$.

📐 Formule - L’aplatissement de Pearson simplifié est défini par $A_f=A_p-3$.

💡 Astuce mémo

À gauche, les petites valeurs dominent ; à droite, les grandes valeurs dominent.

📖 13. Mesure de la concentration statistique

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiale : Valeur du caractère qui partage la masse totale du caractère en deux parts égales.
• Courbe de Lorenz : La courbe de Lorenz, aussi appelée courbe de concentration, représente les couples formés par la fréquence cumulée de la population $F_i$ et la masse cumulée relative du caractère $Q_i$.
• Indice de Gini : L’indice de Gini est le rapport de la surface de concentration, comprise entre la droite d’équirépartition et la courbe de Lorenz, à la surface de référence de 0,5.

★ À maîtriser

📌 La mesure de la concentration s’applique aux variables statistiques positives dont les valeurs peuvent être cumulées de façon pertinente.

📐 Formule - La concentration mesurée par le calcul est le rapport de l’écart médiale-médiane à l’étendue de la distribution : $\frac{M_{le}-M_e}{x_{\max}-x_{\min}}=\frac{\Delta M}{\text{Étendue}}$.

Compléments

• La moitié de la masse du caractère revient aux individus dont la modalité est strictement inférieure à la médiale, et l’autre moitié à ceux dont la modalité est supérieure ou égale à la médiale.

• Le calcul de la médiale à partir de données groupées suit une procédure en cinq étapes.

📌 Le rapport de l’écart médiale-médiane à l’étendue est compris entre 0 et 1 ; plus l’écart entre médiale et médiane est grand, plus la concentration est forte.

📌 Sur le graphique de Lorenz, les deux axes vont de 0 à 1 et la droite d’équirépartition est la bissectrice définie par $Q_i=F_i$ ; plus la courbe s’en éloigne, plus la concentration est forte.

📐 Formule - L’indice de Gini se calcule par $I_G=1-\sum_i(Q_i+Q_{i+1})f_i$, ou, si la surface de concentration est connue, par $I_G=2\times\text{surface de concentration}$.

• Dans les documents 17 et 20, l’indice de Gini vaut 0,78 et indique une très forte concentration de la richesse mondiale parmi les populations des pays les plus riches.

💡 Astuce mémo

La courbe de Lorenz s’écarte de la bissectrice quand les inégalités augmentent.