Fiche de révision : Généralités sur les fonctions

📋 Plan du Cours

1. Notions fondamentales des fonctions
2. Représentations et lectures graphiques
3. Taux de variation et sécante
4. Sens de variation des fonctions
5. Extremums d’une fonction

📖 1. Notions fondamentales des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Programme de calcul qui associe à chaque nombre de départ x un unique nombre d’arrivée y, noté f(x).
• Ensemble de définition : Ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe ; un réel pour lequel f(x) n’existe pas est une valeur interdite.

★ À maîtriser

📌 Le nombre de départ x est un antécédent de son image f(x), mais une même image peut avoir plusieurs antécédents.

Compléments

• Pour f(x)=3x+10, l’image de 5 est f(5)=25 et un antécédent de 55 se trouve en résolvant 3x+10=55, ce qui donne x=15.

💡 Astuce mémo

Un antécédent est une entrée ; une image est la sortie.

📖 2. Représentations et lectures graphiques

★ À maîtriser

• Une fonction peut être représentée de trois façons :

  • sous forme algébrique
  • par un tableau de valeurs
  • par une courbe graphique

• Pour résoudre graphiquement f(x)=k, on trace la droite y=k puis on relève les abscisses des intersections de cette droite avec la courbe de f.

• Pour résoudre graphiquement f(x)≤k, on trace la droite y=k, puis on relève les abscisses des points de la courbe situés en dessous de cette droite.

Compléments

• Une résolution par lecture graphique fournit des solutions approchées, une équation f(x)=k peut n’avoir aucune solution, et les solutions lues sur la partie représentée ne sont pas nécessairement les seules.

📖 3. Taux de variation et sécante

🔑 Notions clés & Définitions

• Sécante : Droite passant par ces deux points de la courbe, et son coefficient directeur est le taux de variation entre A et B.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux points A(x_A,y_A) et B(x_B,y_B) de la courbe, le taux de variation est $t=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.

• Le taux de variation d’une fonction affine est constant et porte aussi le nom de coefficient directeur.

Compléments

• Pour A(−2,−3) et B(2,1), le taux de variation est 1 ; pour C(4,1) et D(3,−3), il est 4 ; pour B(2,1) et D(3,−3), il est −4.

📖 4. Sens de variation des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction monotone : Fonction dont le sens de variation ne change pas sur un intervalle.

★ À maîtriser

📌 Sur un intervalle, une fonction est croissante si a<b implique f(a)<f(b), décroissante si a<b implique f(a)>f(b), et constante si a<b implique f(a)=f(b).

Compléments

• Un tableau de variation synthétise les variations d’une fonction et indique les valeurs atteintes aux changements de variation.

• La fonction f(x)=−2x²+4x−2 vérifie f(−1)=−8 et f(0)=−2 ; elle est donc croissante entre −1 et 0.

📖 5. Extremums d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Maximum : Une fonction f admet un maximum en a sur un intervalle I si, pour tout x de I, f(x)≤f(a).
• Minimum : Une fonction f admet un minimum en a sur un intervalle I si, pour tout x de I, f(x)≥f(a).

📝 Points essentiels

• Les valeurs atteintes par une fonction aux changements de variation sont appelées des extremums et peuvent être des maxima ou des minima.