Fiche de révision : Calculs et fonctions

📋 Plan du Cours

1. Organisation et évaluation du semestre
2. Distributivité et calcul littéral
3. Fonctions et calcul des images
4. Équations du premier degré
5. Équations produit
6. Équations du second degré
7. Logarithme népérien
8. Fonction exponentielle
9. Puissances et racines
10. Inéquations du premier degré
11. Dérivation des fonctions
12. Inéquations produit et quotient
13. Inéquations du second degré

📖 1. Organisation et évaluation du semestre

📝 Points essentiels

• Le semestre comprend 24 heures de cours magistraux et 12 heures de travaux dirigés.

• La note de travaux dirigés et la note de cours magistral comptent chacune pour 50 % de la note finale.

• La note de cours magistral est un QCM à points négatifs, sans calculatrice, d’une durée de 2 heures en décembre.

📖 2. Distributivité et calcul littéral

🔑 Notions clés & Définitions

• Distributivité : Propriété de la multiplication par rapport à l’addition, exprimée par $k(a+b)=ka+kb$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La distributivité par rapport à une soustraction vérifie $k(a-b)=ka-kb$.

• Développer puis simplifier une expression consiste à distribuer chaque facteur sur les termes de la parenthèse, puis à regrouper les termes semblables.

📐 Formule - La double distributivité vérifie $(k+m)(a+b)=ka+kb+ma+mb$.

Compléments

• Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé, car $-b=+(-b)$.

📖 3. Fonctions et calcul des images

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Association à une valeur réelle x d’une valeur dépendant de x, calculée à partir d’une formule mathématique.
• Fonction constante : Fonction qui prend une même valeur pour tout nombre réel x de son domaine.

★ À maîtriser

📌 Si f(a)=b, b est l’image de a par f et a est un antécédent de b par f.

📌 Pour une fonction quotient, toute valeur de x qui annule le dénominateur est exclue du domaine de définition.

Compléments

• Pour f(x)=3x+1, on a f(5)=16, donc 16 est l’image de 5 et 5 est un antécédent de 16.

💡 Astuce mémo

L’image part de x vers f(x) ; l’antécédent remonte de f(x) vers x.

📖 4. Équations du premier degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du premier degré : Égalité de la forme $ax+b=0$, où a et b sont fixés.

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation du premier degré, on effectue les mêmes opérations sur les deux membres afin d’isoler l’inconnue.

Compléments

📌 Dans une équation, un terme peut être déplacé d’un membre à l’autre en lui appliquant l’opération inverse, ce qui conserve l’égalité.

• L’équation $5x-2=10+3x$ a pour solution $x=6$.

📖 5. Équations produit

★ À maîtriser

📌 Si deux nombres réels vérifient $ab=0$, alors $a=0$ ou $b=0$.

• Pour résoudre une équation produit nulle, on pose chaque facteur égal à zéro, on résout les équations obtenues, puis on réunit leurs solutions.

Compléments

• L’équation $(3x-1)(5x+5)=0$ a pour ensemble de solutions $\{-1;\frac{1}{3}\}$.

💡 Astuce mémo

Produit nul → au moins un facteur nul.

📖 6. Équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Équation de la forme $ax^2+bx+c=0$, où a, b et c sont fixés et $a\ne0$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le discriminant d’un trinôme $ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$.

• Si $\Delta>0$, l’équation du second degré possède deux solutions réelles $x=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.

• Si $\Delta=0$, l’équation du second degré possède une solution double $x=-\frac{b}{2a}$.

• Si $\Delta<0$, l’équation du second degré ne possède aucune solution réelle et son ensemble de solutions est vide.

Compléments

📐 Formule - Les identités remarquables utilisées dans le cours sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

💡 Astuce mémo

Δ positif : deux racines ; nul : une racine double ; négatif : aucune racine réelle.

📖 7. Logarithme népérien

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : John Neper - Le logarithme népérien, noté $\ln(x)$, est défini pour $x>0$ et vérifie $\ln(1)=0$ et $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$ pour x et y positifs.

★ À maîtriser

📌 Pour $x>0$, $\ln\left(\frac{1}{x}\right)=-\ln(x)$.

📌 Pour x et y positifs, $\ln(x)-\ln(y)=\ln\left(\frac{x}{y}\right)$.

Compléments

📌 Pour tout entier n et tout $x>0$, $n\ln(x)=\ln(x^n)$.

• Le cours donne les valeurs approchées $\ln(2)\approx0{,}693$, $\ln(3)\approx1{,}099$ et $\ln(10)\approx2{,}303$.

💡 Astuce mémo

Le logarithme transforme un produit en somme.

📖 8. Fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Exponentielle : La fonction exponentielle, notée $\exp(x)$ ou $e^x$, vérifie $e^x e^y=e^{x+y}$ et $e^0=1$.

★ À maîtriser

• Pour tout réel x, $e^x>0$, et le nombre e est irrationnel et proche de 2,718.

📐 Formule - Pour tout réel x, $\ln(e^x)=x$, et pour tout $x>0$, $e^{\ln(x)}=x$.

Compléments

📐 Formule - Pour tous réels x et y, $\frac{1}{e^y}=e^{-y}$ et $\frac{e^x}{e^y}=e^{x-y}$.

📐 Formule - Pour tout entier n et tout réel x, $(e^x)^n=e^{nx}$.

💡 Astuce mémo

L’exponentielle transforme une somme d’exposants en produit.

📖 9. Puissances et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière : Produit de n facteurs égaux à x, pour un entier naturel n positif.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une même base x et des exposants entiers, $x^n x^m=x^{n+m}$ et, lorsque le quotient est défini, $\frac{x^n}{x^m}=x^{n-m}$.

📐 Formule - Pour des exposants entiers, $(x^n)^m=x^{nm}$.

📐 Formule - Pour x positif, $\sqrt{x}=x^{1/2}$ et $\sqrt[n]{x}=x^{1/n}$ lorsque la racine n-ième est définie.

Compléments

📌 Pour un réel x non nul et un entier relatif n, $x^{-n}=\frac{1}{x^n}$, et pour x réel non nul, $x^0=1$.

📌 Pour un exposant réel b, le cours définit la puissance $x^b=e^{b\ln(x)}$ pour $x>0$.

📖 10. Inéquations du premier degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble des réels : Ensemble des nombres réels, noté $\mathbb{R}$ et correspondant à l’intervalle $]-\infty;+\infty[$.

★ À maîtriser

• Pour résoudre une inéquation du premier degré, on regroupe les termes puis on isole x en conservant ou en inversant le sens selon l’opération effectuée.

📌 Multiplier ou diviser les deux membres d’une inégalité par un nombre négatif impose d’inverser le sens de l’inégalité.

Compléments

📌 Une inéquation peut avoir pour ensemble solution un intervalle, tous les réels ou l’ensemble vide.

📖 11. Dérivation des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée : Fonction obtenue en appliquant l’opération de dérivation à f et notée $f'(x)$.

★ À maîtriser

• La dérivée d’une constante est $0$ et la dérivée de x est $1$.

📐 Formule - Pour un entier n, la règle de puissance est $\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$.

📐 Formule - Les dérivées de référence sont $(e^x)'=e^x$ et $(\ln x)'=\frac{1}{x}$.

📐 Formule - La dérivée d’une somme vérifie $(u+v)'=u'+v'$, et celle d’un produit vérifie $(uv)'=u'v+uv'$.

Compléments

📐 Formule - La dérivée d’un quotient vérifie $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ lorsque le quotient est défini.

📐 Formule - La dérivée d’une composée de la forme $u(v(x))$ vérifie $(u\circ v)'(x)=v'(x)u'(v(x))$.

📖 12. Inéquations produit et quotient

★ À maîtriser

• Pour résoudre une inéquation produit ou quotient, on détermine les zéros des facteurs, les valeurs interdites, puis on construit un tableau de signes et on sélectionne les intervalles satisfaisant l’inégalité.

📌 Dans un quotient, les valeurs qui annulent le dénominateur sont interdites et ne peuvent pas appartenir à l’ensemble solution.

📌 Le logarithme $\ln(u(x))$ n’est défini que lorsque $u(x)>0$, condition à imposer dans une inéquation qui le contient.

Compléments

• Pour tout réel x, $e^x>0$, ce qui permet de déterminer le signe d’un produit contenant une exponentielle.

💡 Astuce mémo

Repérer les zéros et interdits, établir les signes, puis lire les intervalles solutions.

📖 13. Inéquations du second degré

★ À maîtriser

📌 Pour un trinôme $ax^2+bx+c$ ayant deux racines réelles distinctes, son signe est celui de a à l’extérieur des racines et le signe opposé entre elles.

📌 Si le discriminant d’un trinôme est négatif, le trinôme garde le signe de a pour tout réel x.

• Pour résoudre une inéquation du second degré, on calcule le discriminant et les racines éventuelles, on détermine le signe du trinôme, puis on retient les intervalles compatibles avec l’inégalité.

Compléments

📌 Si le discriminant est nul, le trinôme garde le signe de a et s’annule uniquement en sa racine double.

💡 Astuce mémo

Avec deux racines, le signe entre les racines est opposé au signe de a.