Fiche de révision : Analyse et algèbre linéaire

📋 Plan du Cours

1. Mesures et incertitudes
2. Propagation des incertitudes
3. Vecteurs et sous-espaces
4. Familles libres et bases
5. Coordonnées et changements de base
6. Déterminants et bases
7. Valeurs propres et diagonalisation
8. Intégrales doubles et domaines
9. Coordonnées polaires
10. Applications des intégrales multiples
11. Intégrales impropres
12. Fonctions et limites à plusieurs variables
13. Dérivées partielles et Hessienne
14. Limites et continuité
15. Équivalents et comparaisons
16. Développements limités

📖 1. Mesures et incertitudes

🔑 Notions clés & Définitions

• Incertitude absolue : L’incertitude absolue Δx s’exprime dans la même unité que la grandeur mesurée et situe la valeur vraie entre x − Δx et x + Δx selon le modèle retenu.
• Incertitude relative : Pour x ≠ 0, l’incertitude relative est le rapport de l’incertitude absolue à la valeur absolue mesurée : $u_r(x)=\frac{\Delta x}{|x|}$.

📝 Points essentiels

• Un résultat de mesure comporte une valeur mesurée x et une incertitude strictement positive Δx, par exemple L = (12,4 ± 0,1) cm.

💡 Astuce mémo

Valeur mesurée ≠ qualité de la mesure

📖 2. Propagation des incertitudes

📝 Points essentiels

• La propagation d’incertitudes d’une fonction dérivable s’obtient en pondérant les incertitudes des variables par les valeurs absolues des dérivées partielles, puis en additionnant les contributions.

📐 Formule - Pour f dérivable de deux variables, l’incertitude absolue est $\Delta f=\left|\frac{\partial f}{\partial x}\right|\Delta x+\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|\Delta y$.

📐 Formule - Pour $F=x^a y^b z^c$ avec x, y et z positifs, l’incertitude relative vérifie $\frac{\Delta F}{F}=a\frac{\Delta x}{x}+b\frac{\Delta y}{y}+c\frac{\Delta z}{z}$.

💡 Astuce mémo

Sensibilités pondérées → incertitude totale

📖 3. Vecteurs et sous-espaces

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur de Rn : Un vecteur de Rⁿ est une liste de n nombres réels, notée (u₁, …, uₙ), et deux vecteurs sont égaux si toutes leurs coordonnées correspondantes sont égales.
• Combinaison linéaire : Une combinaison linéaire de vecteurs u₁, …, uₖ est un vecteur de la forme λ₁u₁ + ··· + λₖuₖ, où les coefficients λᵢ sont réels.
• Sous-espace vectoriel : Un ensemble F de ℝⁿ est un sous-espace vectoriel s’il contient le vecteur nul et si toute combinaison linéaire de deux vecteurs de F appartient encore à F.

📖 4. Familles libres et bases

🔑 Notions clés & Définitions

• Famille libre : Une famille (u₁, …, uₖ) est libre si la seule combinaison linéaire égale au vecteur nul est celle dont tous les coefficients sont nuls.
• Base : Une base d’un espace vectoriel est une famille de vecteurs à la fois libre et génératrice de cet espace.
• Dimension : La dimension d’un espace vectoriel est le nombre de vecteurs contenus dans l’une de ses bases.

📝 Points essentiels

• Dans une base, chaque vecteur de l’espace possède une décomposition unique.

💡 Astuce mémo

Libre : aucune relation non triviale ; génératrice : tout l’espace est couvert

📖 5. Coordonnées et changements de base

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées dans une base : Dans une base B, les coordonnées d’un vecteur v sont les coefficients uniques de son écriture comme combinaison linéaire des vecteurs de B.
• Matrice de passage : La matrice de passage de E à F a pour colonnes les coordonnées, dans l’ancienne base E, des vecteurs de la nouvelle base F.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Si X = [v]E et X′ = [v]F, alors $X=P_E^F X'$, et $[v]_F=(P_E^F)^{-1}[v]_E$.

💡 Astuce mémo

Coordonnées dans F → matrice de passage → coordonnées dans E

📖 6. Déterminants et bases

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour une matrice carrée 2 × 2, \det\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}=ad-bc.

📌 Trois vecteurs de ℝ³ forment une base si et seulement si le déterminant de la matrice qui les place en colonnes est non nul.

📖 7. Valeurs propres et diagonalisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur propre : Un réel λ est une valeur propre d’une matrice A s’il existe un vecteur non nul v tel que Av = λv ; v est alors un vecteur propre associé à λ.
• Polynôme caractéristique : Le polynôme caractéristique de A est $\omega_A(x)=\det(A-xI_n)$ ; ses racines réelles sont les valeurs propres réelles de A.

📝 Points essentiels

• Des vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes forment une famille libre.

📐 Formule - Un réel λ est valeur propre de A si et seulement si $\det(A-\lambda I_n)=0$.

📖 8. Intégrales doubles et domaines

📝 Points essentiels

• Le théorème de Fubini permet d’écrire une intégrale double sur un domaine décrit par tranches verticales ou horizontales ; les deux intégrales itérées ont la même valeur.

• Pour obtenir des bornes d’intégration à partir d’un dessin, on trace les frontières, calcule leurs intersections, choisit des tranches, lit les bornes intérieure et extérieure, puis scinde le domaine si nécessaire.

💡 Astuce mémo

Tracer → intersections → tranches → bornes → découpage éventuel

📖 9. Coordonnées polaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées polaires : En coordonnées polaires, x = r cos θ et y = r sin θ avec r ≥ 0 ; elles ramènent x² + y² à r² et conviennent aux symétries circulaires.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le changement de variables polaire transforme l’élément d’aire selon $dx\,dy=r\,dr\,d\theta$.

💡 Astuce mémo

Un petit rectangle dr × dθ devient un secteur d’aire r dr dθ

📖 10. Applications des intégrales multiples

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour une plaque de domaine D et de densité surfacique ρ(x,y), sa masse est $M=\iint_D \rho(x,y)\,dx\,dy$.

📐 Formule - Les coordonnées du centre de gravité d’une plaque sont $x_G=\frac{1}{M}\iint_D x\rho(x,y)\,dx\,dy$ et $y_G=\frac{1}{M}\iint_D y\rho(x,y)\,dx\,dy$.

📖 11. Intégrales impropres

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale impropre : Une intégrale est impropre si l’intégrande est non bornée à une extrémité ou si l’intervalle d’intégration est non borné ; elle est convergente si la limite définissant l’intégrale existe et est finie.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Au voisinage de 0, $\int_0^1\frac{dt}{t^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha<1$.

💡 Astuce mémo

Près de 0 : exposant < 1 ; à l’infini : exposant > 1

📖 12. Fonctions et limites à plusieurs variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de deux variables : Une fonction réelle de deux variables associe à chaque point (x,y) de son domaine de définition un nombre réel f(x,y).
• Continuité en deux variables : Une fonction f est continue en (a,b) si $\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=f(a,b)$.

📝 Points essentiels

• Les contraintes usuelles du domaine de définition sont :
  • Tout dénominateur est non nul
  • Toute quantité sous une racine carrée est positive ou nulle
  • Tout argument de logarithme est strictement positif

📌 Deux chemins d’approche donnant des limites différentes suffisent à prouver qu’une fonction n’a pas de limite au point considéré, tandis que quelques chemins donnant la même valeur ne prouvent pas l’existence de la limite.

💡 Astuce mémo

Deux chemins distincts peuvent réfuter une limite ; quelques chemins égaux ne la prouvent pas

📖 13. Dérivées partielles et Hessienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée partielle : Une dérivée partielle par rapport à une variable mesure la variation de la fonction selon cette variable en maintenant l’autre variable constante.
• Hessienne : La matrice hessienne d’une fonction de deux variables rassemble ses quatre dérivées secondes fxx, fxy, fyx et fyy.

📝 Points essentiels

• L’existence des deux dérivées partielles en un point ne garantit pas que la fonction y soit continue.

• Pour une fonction de classe C² au voisinage d’un point, le théorème de Schwarz donne l’égalité des dérivées mixtes fxy et fyx en ce point.

💡 Astuce mémo

Une variable varie, l’autre reste figée

📖 14. Limites et continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite en un point : Une fonction f admet pour limite ℓ en a si, pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que 0 < |x − a| < δ implique |f(x) − ℓ| < ε ; la valeur f(a) n’intervient pas dans cette définition.
• Continuité en un point : Une fonction est continue en a si elle est définie en a et si sa limite en a est égale à f(a).

💡 Astuce mémo

Limite : comportement près de a ; continuité : limite égale à f(a)

📖 15. Équivalents et comparaisons

🔑 Notions clés & Définitions

• Équivalent : On écrit f(x) ∼ g(x) lorsque f(x)=g(x)(1+ε(x)) avec ε(x) tendant vers zéro, ce qui signifie que l’erreur relative tend vers zéro.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Lorsque x tend vers 0, les équivalents usuels sont $\sin x\sim x,\quad \tan x\sim x,\quad 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2},\quad \ln(1+x)\sim x,\quad e^x-1\sim x,\quad (1+x)^\alpha-1\sim\alpha x$.

📌 Les équivalents se combinent par produit et quotient lorsque les expressions sont définies, mais ne se soustraient pas en général, car une soustraction peut annuler le terme dominant commun.

💡 Astuce mémo

Produits et quotients : oui ; sommes et différences : pas en général

📖 16. Développements limités

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement limité : Un développement limité d’ordre n en x₀ s’écrit $f(x_0+h)=a_0+a_1h+\cdots+a_nh^n+o(h^n)$ lorsque h tend vers zéro ; son ordre est la puissance de h dans le terme o(hⁿ).

📝 Points essentiels

📐 Formule - La formule de Taylor-Young donne, si f est n fois dérivable au voisinage de x₀, $f(x_0+h)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}h^k+o(h^n)$.

💡 Astuce mémo

Limite → terme dominant → approximation à plusieurs ordres