Fiche de révision : Matrices et calcul matriciel

📋 Plan du Cours

1. Assertions et quantificateurs
2. Ensembles et opérations
3. Cardinalité des ensembles finis
4. Coefficients et formule du binôme
5. Division et divisibilité des polynômes
6. Racines et factorisation des polynômes
7. Noyau et image des morphismes
8. Définition et résolution des systèmes
9. Produit et puissances de matrices
10. Matrices inversibles et systèmes linéaires
11. Matrices antisymétriques
12. Sous-espaces vectoriels
13. Familles libres et dépendance linéaire
14. Dimension des espaces vectoriels
15. Rang et applications linéaires
16. Matrices des applications linéaires
17. Changements de bases et déterminants
18. Calculs et applications du déterminant

📖 1. Assertions et quantificateurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Assertion : Phrase qui est soit vraie, soit fausse, mais jamais les deux à la fois.
• Implication : Assertion (non P) ou Q ; elle est vraie lorsque P est fausse, quelle que soit la valeur de Q.
• Équivalence : P ⇔ Q signifie que P ⇒ Q et Q ⇒ P sont toutes deux vraies, ce qui revient à dire que P et Q ont la même valeur de vérité.
• Contraposée : La contraposée de P ⇒ Q est non Q ⇒ non P, et ces deux implications sont équivalentes.

★ À maîtriser

📌 L’assertion « P ou Q » est vraie si au moins l’une de P et Q est vraie, y compris lorsque les deux le sont.

• La négation de « pour tout x ∈ E, P(x) » est « il existe x ∈ E tel que non P(x) », et la négation de « il existe x ∈ E tel que P(x) » est « pour tout x ∈ E, non P(x) ».

• 🔄 Une démonstration par récurrence comporte trois étapes :

  1. Initialisation de P(0)
  2. Hérédité établissant P(n) ⇒ P(n+1)
  3. Conclusion que P(n) est vraie pour tout n ∈ ℕ

• Pour démontrer P ⇒ Q par l’absurde, on suppose P vraie et Q fausse, puis on en déduit une contradiction.

• Pour réfuter une assertion « pour tout x ∈ E, P(x) », il suffit de trouver un x ∈ E pour lequel P(x) est fausse ; cet élément est un contre-exemple.

Compléments

📌 L’ordre des quantificateurs change le sens d’une assertion : « pour tout x ∈ ℝ, il existe y ∈ ℝ tel que x+y>0 » est vraie, tandis que « il existe y ∈ ℝ tel que pour tout x ∈ ℝ, x+y>0 » est fausse.

• Le raisonnement par cas consiste à démontrer une propriété séparément sur une partie A de E et sur les éléments de E qui n’appartiennent pas à A.

💡 Astuce mémo

« ou » inclusif : l’as de cœur satisfait à la fois « as » et « cœur »

📖 2. Ensembles et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Inclusion : Tout élément de E appartient aussi à F.
• Application : Une application f : E → F associe à chaque élément x ∈ E un unique élément f(x) ∈ F.
• Composition : Pour f : E → F et g : F → G, la composée g ◦ f : E → G est définie par (g ◦ f)(x)=g(f(x)).
• Ensemble vide : Ensemble qui ne contient aucun élément et se note ∅.
• Complémentaire : Si A ⊂ E, le complémentaire de A dans E est l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A.
• Produit cartésien : Ensemble des couples (x,y) tels que x ∈ E et y ∈ F.
• Image directe : Pour A ⊂ E et f : E → F, l’image directe de A est f(A)={f(x) | x ∈ A}, une partie de F.
• Image réciproque : Pour B ⊂ F et f : E → F, l’image réciproque de B est f⁻¹(B)={x ∈ E | f(x) ∈ B}, une partie de E, que f soit bijective ou non.
• Antécédent : Un élément x ∈ E tel que f(x)=y est un antécédent de y ∈ F, et l’ensemble de ces antécédents est f⁻¹({y}).

★ À maîtriser

• Deux ensembles E et F sont égaux si et seulement si E ⊂ F et F ⊂ E.

📌 L’union A ∪ B contient les éléments appartenant à A ou à B, y compris ceux appartenant aux deux, tandis que l’intersection A ∩ B contient uniquement les éléments appartenant à A et à B.

Compléments

• Pour des parties A, B, C d’un ensemble E, l’intersection et l’union distribuent l’une sur l’autre : A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) et A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

• Pour des parties A et B d’un ensemble E, le complémentaire de leur intersection est l’union de leurs complémentaires, et le complémentaire de leur union est l’intersection de leurs complémentaires.

• Deux applications f,g : E → F sont égales si et seulement si f(x)=g(x) pour tout x ∈ E.

📖 3. Cardinalité des ensembles finis

🔑 Notions clés & Définitions

• Injection : Application telle que f(x)=f(x′) entraîne x=x′ pour tous x,x′ ∈ E.
• Surjection : Application telle que tout y ∈ F possède au moins un antécédent dans E, ce qui équivaut à f(E)=F.
• Bijection : Application injective et surjective, ce qui équivaut à ce que tout y ∈ F possède un unique antécédent x ∈ E.
• Ensemble fini : Un ensemble E est fini s’il est en bijection avec {1, 2, …, n} pour un entier n ∈ ℕ ; cet entier unique est son cardinal, noté Card E.

★ À maîtriser

• Une application f : E → F est bijective si et seulement s’il existe g : F → E telle que f ◦ g = idF et g ◦ f = idE.

• Si f est bijective, son application réciproque f⁻¹ est unique, bijective, et vérifie (f⁻¹)⁻¹ = f.

📌 Si f : E → F et g : F → G sont bijectives, alors g ◦ f est bijective et (g ◦ f)⁻¹ = f⁻¹ ◦ g⁻¹.

📐 Formule - Si A et B sont finis et disjoints, alors $\operatorname{Card}(A\cup B)=\operatorname{Card}A+\operatorname{Card}B$.

📐 Formule - Pour deux ensembles finis quelconques, $\operatorname{Card}(A\cup B)=\operatorname{Card}A+\operatorname{Card}B-\operatorname{Card}(A\cap B)$.

• Pour des ensembles finis non vides E et F, le nombre d’applications de E dans F est $(\operatorname{Card}F)^{\operatorname{Card}E}$.

• Si Card E = n et Card F = p, le nombre d’injections de E dans F est $p(p-1)\cdots(p-n+1)$.

• Le nombre de bijections entre deux ensembles de cardinal n est $n!$.

• Un ensemble E de cardinal n possède $2^n$ sous-ensembles.

Compléments

📌 Une application f : E → F est injective si chaque élément de F a au plus un antécédent, et surjective si chaque élément de F a au moins un antécédent.

• L’application exp : ℝ → ]0, +∞[ définie par exp(x) est bijective et sa réciproque est ln : ]0, +∞[ → ℝ.

• L’ensemble vide a pour cardinal 0, et ℕ n’est pas un ensemble fini.

📖 4. Coefficients et formule du binôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient binomial : Le nombre de parties à k éléments d’un ensemble à n éléments est noté $\binom{n}{k}$ ou C⁽ᵏ⁾ₙ.
• Relation d’équivalence : Une relation R sur E est une relation d’équivalence si elle est réflexive, symétrique et transitive.
• Classe d’équivalence : La classe d’équivalence de x est l’ensemble cl(x) = {y ∈ E | y R x}.
• Congruence modulo n : Pour un entier n ≥ 2, deux entiers a et b sont congrus modulo n si et seulement si a − b est un multiple de n.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour 0 < k < n, la relation de Pascal est $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}$.

📐 Formule - Le coefficient binomial s’écrit $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

📐 Formule - Pour a,b ∈ ℝ et n entier positif, le binôme de Newton donne $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ ; la formule vaut aussi pour a et b complexes.

• Pour une relation d’équivalence, cl(x) = cl(y) si et seulement si x R y.

• Deux classes d’équivalence sont soit égales, soit disjointes, et les classes forment une partition de E.

• La relation de congruence modulo n est une relation d’équivalence sur ℤ.

• L’ensemble ℤ/nℤ des classes modulo n est {0,1,…,n−1} et contient exactement n éléments.

• Pour développer cos(nθ) et sin(nθ) en puissances de cos θ et sin θ, on écrit $\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)=(\cos\theta+i\sin\theta)^n$ puis on développe avec le binôme de Newton et on identifie les parties réelle et imaginaire.

📐 Formule - Le développement de la formule de Moivre à l’ordre 3 donne $\cos(3\theta)=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta$ et $\sin(3\theta)=3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta$.

• Pour linéariser $\sin^n\theta$ ou $\cos^n\theta$, on les réécrit avec les formules d’Euler, on développe au binôme de Newton, puis on regroupe les termes par paires conjuguées pour obtenir des sinus ou cosinus d’angles multiples.

Compléments

📐 Formule - Les coefficients binomiaux vérifient $\binom{n}{0}=1,\quad \binom{n}{1}=n,\quad \binom{n}{n}=1$.

📐 Formule - La somme des nombres de parties selon leur cardinal vérifie $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n$.

📖 5. Division et divisibilité des polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Affixe : L’affixe d’un point M de coordonnées (x, y) dans le plan affine $\mathbb{R}^2$ est le nombre complexe $z=x+iy$ ; cette correspondance est bijective.
• Divisibilité polynomiale : Un polynôme B divise un polynôme A, noté B|A, s’il existe Q ∈ K[X] tel que A = BQ.
• PGCD : L’unique polynôme unitaire de plus grand degré qui divise à la fois A et B.
• Polynômes premiers entre eux : Deux polynômes A et B sont premiers entre eux si pgcd(A,B) = 1 ; si D = pgcd(A,B), on peut écrire A = DA′ et B = DB′ avec pgcd(A′,B′) = 1.
• PPCM : Le ppcm de deux polynômes non nuls A et B est l’unique polynôme unitaire de plus petit degré divisible par A et par B ; tout polynôme divisible par A et B est divisible par leur ppcm.

★ À maîtriser

📐 Formule - Une droite d’équation réelle $ax+by=c$, avec a, b, c réels et a et b non simultanément nuls, a pour équation complexe $\overline{\omega}z+\omega\overline{z}=k$, où $\omega=a+ib\ne0$ et $k=2c\in\mathbb{R}$.

📐 Formule - Le cercle de centre d’affixe $\omega$ et de rayon r a pour équation complexe $z\overline{z}-\overline{\omega}z-\omega\overline{z}=r^2-|\omega|^2$.

📌 Pour deux points A et B et un réel $k\geq0$, le lieu des points M tels que $\frac{MA}{MB}=k$ est la médiatrice de [AB] si k = 1 et un cercle si k ≠ 1.

📌 Si B ≠ 0, il existe un unique couple (Q,R) tel que A = BQ + R et R = 0 ou deg R < deg B ; Q est le quotient, R le reste, et R = 0 si et seulement si B|A.

• L’algorithme d’Euclide calcule le pgcd par divisions euclidiennes successives, en remplaçant chaque couple (A,B) par (B,R) ; les degrés des restes diminuent et le dernier reste non nul, rendu unitaire, est le pgcd.

📌 Le théorème de Bézout affirme que, pour D = pgcd(A,B), il existe U,V ∈ K[X] tels que AU + BV = D ; en particulier, A et B sont premiers entre eux si et seulement s’il existe U,V tels que AU + BV = 1.

Compléments

• Pour un cercle de centre d’affixe $\omega$ et de rayon r, la condition géométrique $\operatorname{dist}(\Omega,M)=r$ se traduit, si z est l’affixe de M, par $|z-\omega|=r$ puis par $|z-\omega|^2=r^2$.

• Pour A et B d’affixes respectives +1 et −1, le point M représenté pour k = 2 vérifie $MA=2MB$.

📌 Si A|BC et pgcd(A,B) = 1, alors A|C ; c’est le lemme de Gauss.

📖 6. Racines et factorisation des polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’un polynôme : Un élément α ∈ K est une racine de P ∈ K[X] si P(α) = 0 ; cette condition équivaut à X − α | P.
• Multiplicité d’une racine : Une racine α de P est de multiplicité k si (X − α)^k divise P mais que (X − α)^{k+1} ne le divise pas ; elle est simple pour k = 1 et double pour k = 2.
• Polynôme irréductible : Un polynôme P de degré au moins 1 est irréductible dans K[X] si ses seuls diviseurs sont les polynômes constants non nuls et les polynômes égaux à un multiple non nul de P.
• Polynôme dérivé : Si P(X) = a₀ + a₁X + ··· + aₙXⁿ, son polynôme dérivé est P′(X) = a₁ + 2a₂X + ··· + naₙX^{n−1}.

★ À maîtriser

• Le théorème de d’Alembert-Gauss affirme que tout polynôme complexe de degré n ≥ 1 possède au moins une racine dans ℂ et exactement n racines en comptant les multiplicités.

• Tout polynôme de degré n ≥ 1 à coefficients dans K admet au plus n racines dans K.

• Tout polynôme non constant de K[X] se décompose de manière unique, à l’ordre des facteurs près, sous la forme d’un scalaire non nul multiplié par des puissances de polynômes irréductibles unitaires distincts.

Compléments

📌 α est une racine de multiplicité k de P si et seulement si P = (X − α)^kQ avec Q(α) ≠ 0, ou si P(α) = P′(α) = ··· = P^{(k−1)}(α) = 0 et P^{(k)}(α) ≠ 0.

• Dans ℂ[X], les polynômes irréductibles sont exactement ceux de degré 1.

• Dans ℝ[X], les polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 dont le discriminant est strictement négatif.

💡 Astuce mémo

Dans ℂ, les irréductibles sont linéaires ; dans ℝ, les quadratiques à discriminant négatif restent irréductibles.

📖 7. Noyau et image des morphismes

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction rationnelle : Une expression P/Q où P,Q ∈ K[X] et Q ≠ 0.
• Groupe cyclique : Un groupe est cyclique s’il existe un élément a tel que tout élément du groupe soit une puissance de a.
• Groupe symétrique : Le groupe symétrique Sn est l’ensemble des bijections de {1, 2, …, n} dans lui-même, muni de la composition ; ses éléments sont appelés permutations.

★ À maîtriser

• Pour une fraction P/Q avec pgcd(P,Q) = 1 et Q = (X − α₁)^{k₁}···(X − αᵣ)^{kᵣ} dans ℂ[X], la décomposition en éléments simples est unique et comprend une partie polynomiale ainsi que des termes en puissances de (X − αᵢ) au dénominateur.

• La partie polynomiale de P/Q est le quotient E de la division euclidienne P = QE + R ; si deg P < deg Q, cette partie est nulle.

• Pour une fraction rationnelle réelle réduite, la décomposition en éléments simples est unique et comprend une partie polynomiale, des termes a/(X − α)^i et des termes (aX+b)/(X²+αX+β)^i, où X − α et X²+αX+β sont des facteurs irréductibles du dénominateur.

• Pour un morphisme de groupes f : G → G′, f est injectif si et seulement si Ker f = {eG}.

• Pour un morphisme de groupes f : G → G′, f est surjectif si et seulement si Im f = G′.

• Pour f : ℤ → ℤ définie par f(k) = 3k, Ker f = {0} et Im f = 3ℤ ; f est donc injective mais non surjective.

• Le groupe (ℤ/nℤ, +) est cyclique et est engendré par la classe de 1.

• Tout groupe cyclique de cardinal n est isomorphe à (ℤ/nℤ, +).

• Le cardinal du groupe des permutations Sn est $n!$.

• Pour n ≥ 3, le groupe Sn n’est pas commutatif ; en particulier, dans S3, τ1 ◦ σ = τ2 tandis que σ ◦ τ1 = τ3.

• Toute permutation se décompose de manière unique en cycles à supports disjoints, à l’ordre des cycles et à l’écriture de chaque cycle près.

Compléments

• Pour décomposer une fraction rationnelle, on détermine d’abord sa partie polynomiale par division euclidienne, puis on factorise le dénominateur et on écrit la forme théorique des éléments simples avant d’en déterminer les coefficients.

• Le noyau d’un morphisme est un sous-groupe du groupe de départ, car il contient l’élément neutre et est stable par produit et passage à l’inverse.

💡 Astuce mémo

Le noyau vit dans G ; l’image vit dans G′.

📖 8. Définition et résolution des systèmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation linéaire : Une équation linéaire en les inconnues x1, …, xp est une relation de la forme a1x1 + ··· + apxp = b, où les coefficients et b sont des nombres réels donnés.
• Solution d’un système : Une solution d’un système linéaire est un p-uplet de nombres qui vérifie simultanément toutes ses équations.
• Matrice : Tableau rectangulaire d’éléments d’un corps K, de taille n × p s’il comporte n lignes et p colonnes, et dont le coefficient de la ligne i et de la colonne j se note a_{i,j}.
• Système linéaire : Un système linéaire de n équations à p inconnues est une liste de n équations linéaires portant sur ces p inconnues.
• Matrice carrée : Matrice possédant autant de lignes que de colonnes, l’ensemble des matrices carrées de taille n sur K se notant M_n(K).
• Matrice nulle : La matrice nulle de taille n × p a tous ses coefficients nuls et se note 0_{n,p} ou 0.

★ À maîtriser

• Un système linéaire possède soit aucune solution, soit une seule solution, soit une infinité de solutions.

• Un système linéaire homogène a un second membre nul et admet toujours la solution triviale dont toutes les inconnues valent zéro.

📌 Un système échelonné réduit est échelonné, chaque premier coefficient non nul vaut 1 et constitue l’unique coefficient non nul de sa colonne.

• Les opérations élémentaires qui conservent les solutions sont : multiplier une équation par un réel non nul, ajouter à une équation un multiple d’une autre équation, échanger deux équations

• La méthode du pivot de Gauss transforme un système par opérations élémentaires en un système échelonné puis échelonné réduit, dont on déduit les solutions en exprimant les inconnues liées aux variables libres.

• Tout système homogène ayant strictement plus d’inconnues que d’équations possède une infinité de solutions.

• La somme de deux matrices A et B de même taille est la matrice obtenue en additionnant leurs coefficients correspondants.

Compléments

• Deux systèmes linéaires sont équivalents s’ils ont le même ensemble de solutions.

• Deux matrices sont égales si elles ont la même taille et si leurs coefficients correspondants sont égaux ; l’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes sur K se note M_{n,p}(K).

• Le produit d’une matrice par un scalaire s’obtient en multipliant chacun de ses coefficients par ce scalaire ; la matrice opposée est −A et A−B=A+(−B).

💡 Astuce mémo

Échelonner, réduire, puis exprimer les variables libres.

📖 9. Produit et puissances de matrices

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice identité : Matrice carrée dont les éléments diagonaux valent 1 et les autres 0 ; elle est neutre pour le produit, avec I_nA=A et AI_p=A pour toute matrice A de taille n × p.
• Produit scalaire : Matrice 1 × 1 obtenue par le produit d’un vecteur ligne et d’un vecteur colonne de même longueur, dont l’unique coefficient est la somme des produits des coordonnées correspondantes.
• Puissance d’une matrice : Pour une matrice carrée A, A^0=I_n et A^{p+1}=A^pA pour tout entier naturel p.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour A de taille n × p et B de taille p × q, le produit AB est de taille n × q et ses coefficients vérifient $c_{ij}=\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}$.

📌 Le produit AB est défini si et seulement si le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B ; en général, AB n’est pas égal à BA.

• Le produit matriciel est associatif, distributif par rapport à l’addition à gauche et à droite, et le produit par une matrice nulle donne une matrice nulle.

Compléments

• Il peut exister des matrices non nulles A et B telles que AB=0.

• L’égalité AB=AC n’implique pas B=C en général.

📌 Pour des matrices A et B qui ne commutent pas, (A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2 et ne se réduit généralement pas à A^2+2AB+B^2.

📌 Si A et B sont des matrices carrées qui commutent, alors pour tout entier p≥0, $(A+B)^p=\sum_{k=0}^{p}\binom{p}{k}A^{p-k}B^k$.

💡 Astuce mémo

La multiplication matricielle n’est généralement pas commutative.

📖 10. Matrices inversibles et systèmes linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice inversible : Une matrice carrée A est inversible s’il existe une matrice carrée B telle que AB=BA=I ; cette matrice B, unique, est notée A^{-1}.
• Matrice élémentaire : Une matrice élémentaire est obtenue en appliquant à la matrice identité une opération élémentaire sur les lignes ; la multiplication à gauche par cette matrice effectue la même opération sur une matrice A.
• Équivalence par lignes : Matrices dont l’une s’obtient de l’autre par une suite d’opérations élémentaires sur les lignes.

★ À maîtriser

📌 Pour deux matrices inversibles A et B de même taille, AB est inversible et $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$.

• Pour calculer l’inverse de A par Gauss, on réduit le tableau augmenté (A|I) par opérations élémentaires sur les lignes jusqu’à obtenir (I|B), puis B=A^{-1}.

• Un système linéaire s’écrit AX=B, où A est la matrice des coefficients, X le vecteur des inconnues et B le vecteur du second membre ; si A est inversible, l’unique solution est X=A^{-1}B.

• Une matrice est échelonnée si les nombres de zéros initiaux de ses lignes croissent strictement jusqu’aux lignes nulles ; elle est échelonnée réduite si, en plus, chaque premier coefficient non nul vaut 1 et est seul non nul dans sa colonne.

• Une matrice carrée A est inversible si et seulement si sa forme échelonnée réduite est la matrice identité.

Compléments

• La matrice identité est inversible et est son propre inverse, tandis que la matrice nulle carrée n’est pas inversible.

📌 Si C est inversible, alors AC=BC implique A=B.

📐 Formule - Pour A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}, si ad-bc\ne0, alors $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$.

• Un système linéaire AX=B possède zéro, une ou une infinité de solutions.

• Toute matrice admet une unique forme échelonnée réduite obtenue par opérations élémentaires sur les lignes.

📌 Pour une matrice carrée A, les propriétés « A est inversible », « AX=0 n’a que la solution nulle » et « pour tout B, AX=B a une solution unique » sont équivalentes.

📖 11. Matrices antisymétriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice triangulaire inférieure : Matrice carrée dont tous les coefficients situés au-dessus de la diagonale sont nuls, c’est-à-dire si i<j implique a_{ij}=0.
• Matrice triangulaire supérieure : Matrice carrée dont tous les coefficients situés en dessous de la diagonale sont nuls, c’est-à-dire si i>j implique a_{ij}=0.
• Matrice transposée : La matrice transposée AT d’une matrice A de taille n × p est de taille p × n et vérifie (AT)ij = aji ; ses lignes et ses colonnes s’échangent.
• Trace : La trace d’une matrice carrée A est la somme de ses éléments diagonaux : tr A = a11 + a22 + ··· + ann.
• Matrice symétrique : Une matrice carrée A est symétrique si AT = A, ce qui équivaut à aij = aji pour tous i et j.
• Matrice antisymétrique : Une matrice carrée A est antisymétrique si AT = −A, ce qui équivaut à aij = −aji pour tous i et j.
• Matrice diagonale : Matrice dont tous les coefficients hors diagonale sont nuls.

📝 Points essentiels

• Une matrice carrée triangulaire est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls.

• La transposition vérifie (A + B)T = AT + BT, (αA)T = αAT et (AT)T = A.

• Pour des matrices compatibles, (AB)T = BTAT ; la transposition inverse donc l’ordre des facteurs.

• Pour deux matrices carrées A et B de même taille, tr(AB) = tr(BA).

• Tous les éléments diagonaux d’une matrice antisymétrique sont nuls.

• Toute matrice A se décompose en somme d’une matrice symétrique B = ½(A + AT) et d’une matrice antisymétrique C = ½(A − AT), avec A = B + C.

• Pour tout vecteur u d’un espace vectoriel E, on a 0 · u = 0E.

• Pour tout vecteur u, on a (−1) · u = −u.

📌 Pour λ ∈ K et u ∈ E, λ · u = 0E si et seulement si λ = 0 ou u = 0E.

💡 Astuce mémo

Symétrique : AT = A ; antisymétrique : AT = −A.

📖 12. Sous-espaces vectoriels

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-espace vectoriel : Partie d’un K-espace vectoriel E qui contient 0E et est stable par addition et multiplication par tout scalaire de K.
• Somme de sous-espaces : Ensemble des vecteurs u + v avec u ∈ F et v ∈ G.
• Somme directe : Deux sous-espaces F et G de E sont en somme directe si F ∩ G = {0E} et F + G = E, auquel cas E = F ⊕ G.
• Sous-espace engendré : Vect(v1, …, vn) est l’ensemble des combinaisons linéaires de v1, …, vn ; c’est le plus petit sous-espace vectoriel contenant ces vecteurs.
• Application linéaire : Une application f de E dans F est linéaire si f(u + v) = f(u) + f(v) pour tous u, v ∈ E et f(λu) = λf(u) pour tout u ∈ E et tout λ ∈ K.
• Image : L’image de f, notée Im f, est l’ensemble f(E) des images des éléments de E ; f est surjective si et seulement si Im f = F.
• Noyau : Le noyau de f, noté Ker(f), est l’ensemble des éléments x de E tels que f(x) = 0F, autrement dit Ker(f) = f⁻¹({0F}).
• Combinaison linéaire : Une combinaison linéaire de v1, …, vn est un vecteur de la forme λ1v1 + ··· + λnvn, où les λi sont des scalaires du corps K.

★ À maîtriser

📌 Une partie non vide F d’un K-espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel si et seulement si λu + μv ∈ F pour tous u, v ∈ F et tous λ, μ ∈ K.

• L’ensemble des solutions d’un système linéaire homogène AX = 0 à p variables est un sous-espace vectoriel de Rp.

• L’intersection de deux sous-espaces vectoriels de E est un sous-espace vectoriel de E.

• La somme F + G de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel et le plus petit sous-espace contenant à la fois F et G.

📌 F et G sont supplémentaires dans E si et seulement si tout élément de E s’écrit de manière unique comme la somme d’un élément de F et d’un élément de G.

• Une application f de E dans F est linéaire si et seulement si f(λu + μv) = λf(u) + μf(v) pour tous u, v ∈ E et λ, μ ∈ K.

• Si E′ est un sous-espace vectoriel de E et f : E → F est linéaire, alors f(E′) est un sous-espace vectoriel de F, donc Im f l’est également.

Compléments

📌 La réunion de deux sous-espaces vectoriels n’est généralement pas un sous-espace vectoriel : dans R², les axes de coordonnées ont une réunion qui n’est pas stable par addition.

💡 Astuce mémo

L’intersection reste un sous-espace ; la réunion, généralement non.

📖 13. Familles libres et dépendance linéaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Famille libre : Une famille de vecteurs est libre si toute combinaison linéaire nulle de ses vecteurs a tous ses coefficients nuls.
• Famille liée : Une famille est liée s’il existe une combinaison linéaire nulle de ses vecteurs dont les coefficients ne sont pas tous nuls.
• Famille génératrice : Une famille de vecteurs est génératrice de E si tout vecteur de E est une combinaison linéaire de ses vecteurs, ce qui équivaut à E = Vect(v1, …, vp).
• Base : Une base de E est une famille de vecteurs à la fois libre et génératrice de E.
• Combinaison linéaire : Un vecteur est une combinaison linéaire de v1, …, vp s’il s’écrit u = λ1v1 + … + λpvp avec λ1, …, λp dans K.

★ À maîtriser

• Une famille de p vecteurs est liée si et seulement si au moins un de ses vecteurs est combinaison linéaire des autres.

• Dans Rⁿ, toute famille contenant plus de n vecteurs est liée.

• Dans une base, tout vecteur de E s’écrit de façon unique comme combinaison linéaire des vecteurs de la base.

• Tout espace vectoriel admettant une famille finie génératrice admet une base.

📌 Dans un espace vectoriel admettant une famille finie génératrice, toute famille libre peut être complétée en une base et toute famille génératrice contient une base.

Compléments

📌 Dans R² ou R³, deux vecteurs sont linéairement dépendants si et seulement s’ils sont colinéaires ; dans R³, trois vecteurs sont dépendants si et seulement s’ils sont coplanaires.

• Les polynômes 1, X, …, Xⁿ engendrent Rₙ[X], tandis qu’aucune famille finie n’engendre R[X].

📌 Si une famille génératrice contient un vecteur qui est combinaison linéaire des autres, on peut retirer ce vecteur sans perdre la propriété génératrice.

📌 Une famille contenant une famille génératrice de E est elle-même génératrice de E.

• L’application qui envoie (λ1, …, λn) sur λ1v1 + … + λnvn est un isomorphisme de Kⁿ vers E lorsque (v1, …, vn) est une base de E.

• À partir d’une famille libre L et d’une famille génératrice finie G, on peut ajouter à L des vecteurs de G qui ne sont pas dans Vect(L) jusqu’à obtenir une base.

💡 Astuce mémo

Libre : seule la combinaison triviale annule ; liée : une relation non triviale existe.

📖 14. Dimension des espaces vectoriels

🔑 Notions clés & Définitions

• Dimension finie : Un espace vectoriel est de dimension finie s’il admet une base ayant un nombre fini d’éléments, ce qui équivaut à l’existence d’une famille finie génératrice.
• Droite vectorielle : Un sous-espace de dimension 1.
• Plan vectoriel : Un sous-espace de dimension 2.
• Hyperplan : Un sous-espace de dimension n − 1.

★ À maîtriser

• Toutes les bases d’un espace vectoriel de dimension finie ont le même nombre d’éléments.

• Dans un espace vectoriel de dimension n, toute famille libre contient au plus n vecteurs et toute famille génératrice contient au moins n vecteurs.

• Dans un espace de dimension n, une famille de n vecteurs est une base si et seulement si elle est libre, ce qui équivaut aussi à être génératrice.

• Tout sous-espace vectoriel F d’un espace vectoriel E de dimension finie est de dimension finie et vérifie dim F ≤ dim E ; de plus, F = E si et seulement si dim F = dim E.

• Si G ⊂ F et F est de dimension finie, alors F = G si et seulement si dim F = dim G.

📐 Formule - Pour deux sous-espaces F et G d’un espace vectoriel de dimension finie, $\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G)$.

📌 Si E = F ⊕ G, alors $\dim E=\dim F+\dim G$.

Compléments

• La dimension de {0} est 0, la dimension de Kⁿ est n et la dimension de Rₙ[X] est n + 1.

• Les espaces suivants ne sont pas de dimension finie :

  • R[X]
  • F(R, R)
  • F(N, R)

• Les vecteurs (1,1,4), (1,3,t) et (1,1,t) forment une base de R³ si et seulement si t ≠ 4.

• Dans un espace engendré par n vecteurs, toute famille de n + 1 vecteurs est liée ; cette propriété se démontre par récurrence sur n.

• Dans un espace vectoriel de dimension 2, les sous-espaces ont dimension 0, 1 ou 2 ; ils sont respectivement {0}, les droites vectorielles ou l’espace entier.

📖 15. Rang et applications linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Rang d’une famille : La dimension du sous-espace qu’ils engendrent.
• Rang d’une matrice : Le rang de la famille de ses vecteurs colonnes.
• Rang d’une application linéaire : La dimension de son image, égale à la dimension du sous-espace engendré par les images des vecteurs d’une base du domaine.

★ À maîtriser

• Pour une famille de p vecteurs, le rang est compris entre 0 et p ; dans un espace E de dimension finie, il est aussi inférieur ou égal à dim E.

• Le rang d’une famille de p vecteurs vaut p si et seulement si cette famille est libre.

• Le rang d’une matrice échelonnée par colonnes est égal au nombre de ses colonnes non nulles.

• Une matrice carrée de taille n est inversible si et seulement si son rang vaut n.

• Une application linéaire définie sur un espace vectoriel de dimension finie est entièrement déterminée par les images des vecteurs d’une base de départ ; tout choix de ces images dans l’espace d’arrivée définit une unique application linéaire.

📐 Formule - Pour une application linéaire f dont le domaine E est de dimension finie, $\dim E=\dim\ker f+\dim\operatorname{Im} f=\dim\ker f+\operatorname{rg}(f)$.

Compléments

• Pour calculer le rang d’une matrice par colonnes, on effectue des opérations élémentaires sur les colonnes jusqu’à obtenir une forme échelonnée, puis on compte les colonnes non nulles.

• Le rang d’une matrice est égal au rang de sa transposée, donc à la dimension de l’espace engendré par ses lignes comme à celle engendrée par ses colonnes.

📌 Pour une application linéaire f entre espaces vectoriels de dimension finie, $\operatorname{rg}(f)\leq\min(\dim E,\dim F)$.

💡 Astuce mémo

Base de départ → images des vecteurs → image engendrée → rang.

📖 16. Matrices des applications linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Isomorphisme : Application linéaire bijective.
• Matrice d’une application linéaire : La matrice d’une application linéaire f relativement aux bases B=(e₁,…,eₚ) et B′=(f₁,…,fₙ) est la matrice de taille n×p dont la j-ième colonne contient les coordonnées de f(eⱼ) dans B′.

★ À maîtriser

• Un isomorphisme entre deux espaces vectoriels entraîne qu’ils ont la même dimension, et sa bijection réciproque est linéaire.

📌 Pour une application linéaire entre deux espaces de dimension finie égale, bijectivité, injectivité et surjectivité sont des propriétés équivalentes.

📐 Formule - Pour f:E→F et g:F→G, avec des bases compatibles, $\operatorname{Mat}_{B,B′′}(g\circ f)=\operatorname{Mat}_{B′,B′′}(g)\operatorname{Mat}_{B,B′}(f)$.

📌 Pour une application linéaire entre espaces de même dimension finie, l’application est bijective si et seulement si sa matrice dans des bases choisies est inversible ; la matrice de l’application réciproque est la matrice inverse.

Compléments

• Dans la preuve du théorème du rang, les vecteurs f(ε_{p+1}),…,f(ε_n) sont libres et engendrent Im f ; ils en forment donc une base, et dim Im f = n − p lorsque dim Ker f = p.

• L’application linéaire f(x,y)=(x−y,x+y) de R² dans R² a pour noyau {(0,0)} ; elle est donc injective, puis bijective puisque les espaces ont même dimension.

• Si AB=I pour deux matrices carrées A et B, l’application linéaire M↦MA est injective ; comme son espace de départ et d’arrivée ont même dimension, elle est surjective et fournit un C tel que CA=I, puis CAB calculé de deux façons donne B=C.

• La taille de Mat_{B,B′}(f) dépend des dimensions des espaces de départ et d’arrivée, tandis que ses coefficients dépendent des bases choisies.

📐 Formule - Pour deux applications linéaires f et g ayant les mêmes bases de départ et d’arrivée, $\operatorname{Mat}_{B,B′}(f+g)=\operatorname{Mat}_{B,B′}(f)+\operatorname{Mat}_{B,B′}(g)$ et $\operatorname{Mat}_{B,B′}(\lambda f)=\lambda\operatorname{Mat}_{B,B′}(f)$.

📐 Formule - Pour un endomorphisme f et une base B, $\operatorname{Mat}_B(f^p)=\operatorname{Mat}_B(f)^p$ pour tout entier p naturel.

• Dans une même base B, l’identité a pour matrice Iₙ, l’homothétie de rapport λ a pour matrice λIₙ et la symétrie centrale x↦−x a pour matrice −Iₙ.

• Dans la base canonique de R², la rotation d’angle θ a pour matrice $\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$.

📖 17. Changements de bases et déterminants

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice de passage : La matrice de passage P_{B,B′} de B vers B′ est la matrice dont la j-ième colonne contient les coordonnées du j-ième vecteur de B′ exprimé dans B.
• Déterminant : Le déterminant est l’unique application de Mₙ(K) dans K qui est linéaire par rapport à chaque colonne, s’annule lorsqu’une matrice a deux colonnes identiques et vaut 1 sur la matrice identité.
• Matrices semblables : Deux matrices carrées A et B sont semblables s’il existe une matrice inversible P telle que B=P⁻¹AP.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si Y et X sont les colonnes des coordonnées de y et x dans les bases B′ et B, et A=Mat_{B,B′}(f), alors y=f(x) implique $Y=AX$.

📐 Formule - Les matrices de passage vérifient $P_{B′,B}=P_{B,B′}^{-1}$ et, pour trois bases, $P_{B,B′′}=P_{B,B′}P_{B′,B′′}$.

📐 Formule - Pour les coordonnées X et X′ d’un même vecteur dans B et B′, $X=P_{B,B′}X′$.

📐 Formule - Pour une application f:E→F, si P est la matrice de passage de B_E à B′_E et Q celle de B_F à B′_F, alors $\operatorname{Mat}_{B′_E,B′_F}(f)=Q^{-1}\operatorname{Mat}_{B_E,B_F}(f)P$.

📐 Formule - Pour un endomorphisme exprimé dans deux bases B et B′, avec P=P_{B,B′}, les matrices vérifient $\operatorname{Mat}_{B′}(f)=P^{-1}\operatorname{Mat}_B(f)P$.

📐 Formule - Pour une matrice 2×2, \det\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}=ad-bc.

📌 Échanger deux colonnes distinctes d’une matrice multiplie son déterminant par −1.

Compléments

📐 Formule - Pour une matrice 3×3, $\det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{32}a_{23}a_{11}-a_{33}a_{21}a_{12}$.

• La valeur absolue du déterminant de deux vecteurs de R² donne l’aire du parallélogramme qu’ils engendrent, et celle de trois vecteurs de R³ donne le volume du parallélépipède qu’ils engendrent.

📌 Multiplier une colonne d’une matrice par un scalaire λ multiplie son déterminant par λ.

📖 18. Calculs et applications du déterminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Cofacteur : Le cofacteur associé au coefficient a_{ij} est $C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(A_{ij})$, où A_{ij} est obtenue en supprimant la ligne i et la colonne j.
• Mineur : Déterminant d’une matrice carrée de taille k obtenue en ne conservant que k lignes et k colonnes de la matrice initiale.

★ À maîtriser

📌 Multiplier une colonne par un scalaire λ multiplie le déterminant par λ ; ajouter à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes le laisse inchangé ; échanger deux colonnes change son signe.

📌 Si une colonne d’une matrice est une combinaison linéaire des autres colonnes, son déterminant est nul.

📐 Formule - Le déterminant d’une matrice triangulaire supérieure ou inférieure est le produit de ses termes diagonaux : $\det(A)=\prod_{i=1}^{n}a_{ii}$.

📌 Une matrice carrée A est inversible si et seulement si $\det(A)\ne 0$ ; dans ce cas, $\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}$.

📐 Formule - Le déterminant d’une matrice transposée est égal à celui de la matrice : $\det(A^T)=\det(A)$.

📐 Formule - Le déterminant se développe suivant une ligne i ou une colonne j : $\det(A)=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}$.

📌 Dans un système carré AX=B avec $\det(A)\ne 0$, la règle de Cramer donne l’unique solution $x_j=\frac{\det(A_j)}{\det(A)}$, où A_j s’obtient en remplaçant la colonne j de A par B.

📌 n vecteurs d’un espace vectoriel de dimension n forment une base si et seulement si le déterminant de la matrice de leurs coordonnées dans une base fixée est non nul.

• Le rang d’une matrice est le plus grand ordre d’un mineur non nul extrait de cette matrice.

Compléments

• Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit de ses termes diagonaux.

• Pour calculer un déterminant par élimination de Gauss, on transforme la matrice en matrice triangulaire à l’aide d’opérations élémentaires et on tient compte de l’effet de chacune sur le déterminant, puis on multiplie les termes diagonaux.

• Deux matrices semblables ont le même déterminant.

📌 Par transposition, les propriétés relatives aux colonnes deviennent les mêmes propriétés relatives aux lignes, notamment la multilinéarité et les effets des opérations élémentaires.

📌 Pour calculer un déterminant par développement, on choisit généralement une ligne ou une colonne comportant beaucoup de zéros, car le développement ramène le calcul à des déterminants d’ordre inférieur.

📊 Tableaux de synthèse

Types de matrices triangulaires

Matrices symétriques et antisymétriques