QCM : Matrices et calcul matriciel (52 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour les assertions P et Q et les quantificateurs sur ℝ, quelles propositions sont exactes ?

La négation de « pour tout x ∈ E, P(x) » affirme que P(x) est fausse pour chaque x de E.
P ⇔ Q signifie que P ⇒ Q est vraie, sans imposer que Q ⇒ P le soit.
Il existe un réel y tel que x + y > 0 pour tout réel x, par exemple y = 1.
La négation de « il existe x ∈ E tel que P(x) » affirme qu’il existe un x pour lequel non P(x).
Pour chaque réel x, il existe un réel y tel que x + y > 0, même si y dépend de x.

Pour chaque réel x, il existe un réel y tel que x + y > 0, même si y dépend de x.

Explication

Une équivalence requiert les deux implications, et la négation d’un quantificateur universel affirme l’existence d’un contre-exemple. Pour chaque réel x, on peut choisir y = |x| + 1 ; en revanche, aucun y fixe ne convient à tous les réels. La négation d’une existence est universelle, et non existentielle.

2. Un étudiant veut établir une implication par récurrence ou par contraposition. Quelles démarches conviennent ?

Une récurrence établit P(n) pour tout n ∈ ℤ en vérifiant l’initialisation et l’hérédité.
L’implication P ⇒ Q est fausse lorsque P est fausse, quelle que soit la valeur de Q.
La contraposée de P ⇒ Q est non Q ⇒ non P, et elle lui est équivalente.
Pour prouver P ⇒ Q par l’absurde, on suppose P vraie et Q fausse, puis on cherche une contradiction.
Pour une propriété P(n) sur ℕ, l’initialisation vérifie P(0) avant l’étape d’hérédité.

La contraposée de P ⇒ Q est non Q ⇒ non P, et elle lui est équivalente. · Pour prouver P ⇒ Q par l’absurde, on suppose P vraie et Q fausse, puis on cherche une contradiction. · Pour une propriété P(n) sur ℕ, l’initialisation vérifie P(0) avant l’étape d’hérédité.

Explication

Une récurrence sur ℕ comprend l’initialisation, l’hérédité puis la conclusion ; elle n’établit pas en général une propriété pour tout entier relatif. L’implication P ⇒ Q est vraie lorsque P est fausse. La contraposée est non Q ⇒ non P, et l’absurde suppose P vraie et Q fausse avant de chercher une contradiction.

3. Dans un ensemble E, on considère des parties A et B. Quelles propositions décrivent correctement inclusion, égalité et complémentaire ?

Si A ⊂ B, chaque élément de A appartient également à B.
A et B sont égaux lorsqu'A ⊂ B et B ⊂ A sont toutes deux vérifiées.
L’ensemble vide, noté ∅, ne contient aucun élément.
Le complémentaire de A dans E rassemble les éléments de E qui ne sont pas dans A.
A ∪ B = E signifie qu'A et B sont disjoints.

Si A ⊂ B, chaque élément de A appartient également à B. · A et B sont égaux lorsqu'A ⊂ B et B ⊂ A sont toutes deux vérifiées. · L’ensemble vide, noté ∅, ne contient aucun élément. · Le complémentaire de A dans E rassemble les éléments de E qui ne sont pas dans A.

Explication

L’inclusion A ⊂ B signifie que chaque élément de A appartient à B, et A et B sont égaux lorsque les deux inclusions réciproques sont vérifiées. L’ensemble vide ne contient aucun élément ; le complémentaire de A dans E rassemble les éléments de E qui ne sont pas dans A. L’union A ∪ B = E n’implique pas qu'A et B soient disjoints.

4. Soient A, B et C des parties de E. Parmi les propositions concernant leurs opérations, lesquelles sont exactes ?

Le complémentaire de A ∩ B dans E est l’union des complémentaires de A et B.
A ∩ B contient les éléments qui appartiennent à A ou à B, y compris aux deux.
A ∪ B contient les éléments appartenant à A, à B, ou aux deux ensembles.
Le produit cartésien E × F contient les couples (x,y) avec x ∈ F et y ∈ E.
A ∩ (B ∪ C) est égal à (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Le complémentaire de A ∩ B dans E est l’union des complémentaires de A et B. · A ∪ B contient les éléments appartenant à A, à B, ou aux deux ensembles. · A ∩ (B ∪ C) est égal à (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Explication

L’union accepte l’appartenance à l’un ou aux deux ensembles, et l’intersection exige l’appartenance aux deux. L’intersection se distribue sur l’union, et le complémentaire d’une intersection est l’union des complémentaires. Dans E × F, le premier terme vient de E et le second de F.

5. Pour une application f : E → F, un élément y ∈ F et des parties A ⊂ E, B ⊂ F, quelles propositions sont exactes ?

L’image directe f(A) est une partie de E, tandis que l’image réciproque f⁻¹(B) est une partie de F.
L’image réciproque f⁻¹(B) nécessite que f soit bijective pour être définie.
Tout élément x tel que f(x) = y est un élément de l’image directe f({y}).
L’image réciproque f⁻¹(B) est une partie de E, même si f n’est pas bijective.
L’image directe f(A) est une partie de F formée des valeurs f(x) pour x ∈ A.

L’image réciproque f⁻¹(B) est une partie de E, même si f n’est pas bijective. · L’image directe f(A) est une partie de F formée des valeurs f(x) pour x ∈ A.

Explication

L’image directe d’une partie de E est une partie de F, tandis que l’image réciproque d’une partie de F est une partie de E et existe sans bijectivité. Un antécédent de y appartient à f⁻¹({y}), et non nécessairement à f({y}).

6. Pour les entiers 1717 et 55 modulo 66, cochez les propositions exactes au sujet de la congruence et des classes modulo 66 :

La congruence modulo 66 définit une relation d’équivalence sur Z\mathbb{Z}.
Deux entiers sont congrus modulo 66 lorsque leur somme est un multiple de 66.
L’ensemble Z/6Z\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} est représenté par 1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6.
Les entiers 1717 et 55 sont congrus modulo 66, car leur différence vaut 1212.
L’ensemble Z/6Z\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} contient exactement six classes, représentées par 0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5.

La congruence modulo $$6$$ définit une relation d’équivalence sur $$\mathbb{Z}$$. · Les entiers $$17$$ et $$5$$ sont congrus modulo $$6$$, car leur différence vaut $$12$$. · L’ensemble $$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$$ contient exactement six classes, représentées par $$0,1,2,3,4,5$$.

Explication

La différence 17−5=1217-5=12 est un multiple de 66, ce qui établit la congruence. La congruence modulo 66 est une relation d’équivalence et ses classes sont représentées par 0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5 ; le critère porte sur la différence, et les représentants usuels ne sont pas 1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6.

7. Pour obtenir une expression de cos⁡(3θ)\cos(3\theta) et de sin⁡(3θ)\sin(3\theta), quelle(s) démarche(s) ou formule(s) est(sont) exacte(s) ?

On développe (cos⁡θ+isin⁡θ)3\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^3 puis on identifie ses parties réelle et imaginaire.
Pour obtenir cos⁡(3θ)\cos(3\theta), on applique la formule de Moivre à l’exposant 22.
On obtient cos⁡(3θ)=cos⁡3θ−3cos⁡θsin⁡2θ\cos(3\theta)=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta.
Pour linéariser une puissance trigonométrique, on regroupe les termes par paires de même signe.
On obtient sin⁡(3θ)=3cos⁡2θsin⁡θ−sin⁡3θ\sin(3\theta)=3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta.

On développe $$\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^3$$ puis on identifie ses parties réelle et imaginaire. · On obtient $$\cos(3\theta)=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta$$. · On obtient $$\sin(3\theta)=3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta$$.

Explication

La formule de Moivre donne cos⁡(3θ)+isin⁡(3θ)=(cos⁡θ+isin⁡θ)3\cos(3\theta)+i\sin(3\theta)=(\cos\theta+i\sin\theta)^3 ; l’identification des parties réelle et imaginaire fournit les expressions de cos⁡(3θ)\cos(3\theta) et sin⁡(3θ)\sin(3\theta). L’exposant requis est 33, et non 22. La formule du cosinus comporte un signe moins devant le terme en cos⁡θsin⁡2θ\cos\theta\sin^2\theta. Pour linéariser une puissance trigonométrique, on regroupe les termes par paires conjuguées, et non par paires de même signe.

8. Concernant l’affixe d’un point du plan :

À un point de coordonnées réelles (x, y), on associe l’affixe complexe z = x + iy.
La correspondance entre les points du plan et leurs affixes complexes est injective, mais non surjective.
La partie imaginaire de l’affixe d’un point M est l’opposé de sa seconde coordonnée.
L’affixe d’un point de coordonnées (x, y) est le complexe z = y + ix.
À un point de coordonnées (x, y), on associe l’affixe z = x + y.

À un point de coordonnées réelles (x, y), on associe l’affixe complexe z = x + iy.

Explication

Pour un point de coordonnées réelles (x,y), l’affixe est z=x+iyz=x+iy : sa partie imaginaire est y, et non son opposé. Le coefficient de y dans cette formule est i, pas 2i, et l’expression x+y omet la partie imaginaire. La correspondance entre points du plan et nombres complexes est bijective, donc elle est aussi surjective.

9. On effectue la division euclidienne d’un polynôme A par un polynôme non nul B. Quelles propositions sont exactes ?

Pour les affixes de A et B égales à +1 et −1, le cas k = 2 vérifie MA = MB.
Le quotient et le reste sont uniques, et le reste est nul ou de degré inférieur à celui de B.
Dans la division euclidienne, on a A = B + Q + R, où Q est le quotient et R le reste.
Pour un rapport MA/MB égal à 1, le lieu des points M est un cercle.
Le reste est nul exactement lorsqu'A divise B dans l’anneau des polynômes.

Le quotient et le reste sont uniques, et le reste est nul ou de degré inférieur à celui de B.

Explication

La division euclidienne par B non nul fournit un unique couple quotient-reste tel qu'A=BQ+R, avec R nul ou de degré inférieur à celui de B. Le reste est nul exactement lorsque B divise A, et non lorsqu'A divise B. Pour les affixes +1 et −1, le cas k=2 donne MA=2MB ; lorsque le rapport MA/MB vaut 1, le lieu est la médiatrice de [AB], pas un cercle.

10. Dans un algorithme d’Euclide appliqué à deux polynômes, comment identifier leur pgcd ?

Le pgcd est un polynôme unitaire de plus petit degré divisant les deux polynômes.
On retient le dernier reste nul, puis on le rend unitaire pour obtenir le pgcd.
On retient le dernier reste non nul, puis on le rend unitaire pour obtenir le pgcd.
On retient le premier quotient non nul, puis on le rend unitaire pour obtenir le pgcd.
Les deux polynômes sont premiers entre eux lorsque leur pgcd est de degré un.

On retient le dernier reste non nul, puis on le rend unitaire pour obtenir le pgcd.

Explication

Les divisions euclidiennes successives font décroître les degrés des restes ; le dernier reste non nul, rendu unitaire, est le pgcd. Le reste nul marque l’arrêt, tandis que des polynômes premiers entre eux ont pour pgcd 1.

11. Soient A, B et C des polynômes, avec pgcd(A,B)=1 et A|BC. Quelles propositions sont exactes ?

Le ppcm de deux polynômes non nuls est unitaire et de plus petit degré parmi leurs multiples communs.
L’identité de Bézout donne AU + BV = 1 lorsque pgcd(A,B) est différent de 1.
Tout polynôme divisible par A et B divise leur ppcm.
Le lemme de Gauss permet de conclure qu'A divise C.
Le lemme de Gauss permet de conclure que B divise C.

Le ppcm de deux polynômes non nuls est unitaire et de plus petit degré parmi leurs multiples communs. · Le lemme de Gauss permet de conclure qu'A divise C.

Explication

Le lemme de Gauss affirme qu'A|BC et pgcd(A,B)=1 entraînent A|C. Le ppcm est le multiple commun unitaire de plus petit degré ; Bézout donne une combinaison égale au pgcd, et tout multiple commun est divisible par le ppcm, non l’inverse.

12. On considère un polynôme non constant factorisé dans K[X] en puissances de facteurs irréductibles unitaires. Quelles propositions sont exactes ?

La factorisation comprend un scalaire non nul et des puissances de facteurs irréductibles unitaires distincts.
La décomposition impose un coefficient scalaire nul lorsque le polynôme est non constant.
La décomposition en facteurs irréductibles est unique à l’ordre des facteurs près.
Un facteur irréductible de degré au moins 1 n’a pour diviseurs que des constantes non nulles et ses multiples non nuls.
Dans ℂ[X], les polynômes irréductibles sont exactement ceux de degré 2.

La factorisation comprend un scalaire non nul et des puissances de facteurs irréductibles unitaires distincts. · La décomposition en facteurs irréductibles est unique à l’ordre des facteurs près. · Un facteur irréductible de degré au moins 1 n’a pour diviseurs que des constantes non nulles et ses multiples non nuls.

Explication

Un polynôme irréductible de degré au moins 1 a pour diviseurs les constantes non nulles et les polynômes égaux à un multiple non nul de lui-même. Dans ℂ[X], les polynômes irréductibles sont de degré 1, et non de degré 2. La factorisation d’un polynôme non constant comprend un scalaire non nul et des puissances de facteurs irréductibles unitaires distincts, et elle est unique à l’ordre des facteurs près.

13. On classe les polynômes irréductibles selon que leurs coefficients sont réels ou complexes. Quelles propositions sont exactes ?

Dans ℝ[X], tout polynôme quadratique de discriminant positif est irréductible.
Dans ℝ[X], les polynômes irréductibles comprennent ceux de degré 1 et certains de degré 2.
Dans ℝ[X], un polynôme quadratique de discriminant strictement négatif est irréductible.
Dans ℂ[X], les polynômes irréductibles sont exactement ceux de degré 1.
Dans ℂ[X], les polynômes irréductibles comprennent les polynômes de degré 2 à discriminant négatif.

Dans ℝ[X], les polynômes irréductibles comprennent ceux de degré 1 et certains de degré 2. · Dans ℝ[X], un polynôme quadratique de discriminant strictement négatif est irréductible. · Dans ℂ[X], les polynômes irréductibles sont exactement ceux de degré 1.

Explication

Dans ℝ[X], les irréductibles sont les polynômes de degré 1 et ceux de degré 2 dont le discriminant est négatif. Dans ℂ[X], ils sont exactement de degré 1 ; un discriminant positif donne des racines réelles et une factorisation en facteurs linéaires.

14. On étudie des fractions rationnelles réduites sur ℂ ou sur ℝ. Quelles propositions décrivent correctement leur décomposition en éléments simples ?

Si le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur, la partie polynomiale est nulle.
Sur ℂ, la décomposition est unique lorsque le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.
Sur ℝ, les termes associés aux facteurs quadratiques irréductibles ont un numérateur affine.
La partie polynomiale est le reste de la division euclidienne du numérateur par le dénominateur.
Une fraction rationnelle peut être définie avec un dénominateur égal au polynôme nul.

Si le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur, la partie polynomiale est nulle. · Sur ℂ, la décomposition est unique lorsque le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux. · Sur ℝ, les termes associés aux facteurs quadratiques irréductibles ont un numérateur affine.

Explication

Quand le degré du numérateur est inférieur, le quotient de la division euclidienne est nul. Une fraction rationnelle exige un dénominateur non nul, et la partie polynomiale est le quotient, non le reste. Pour une fraction réduite, la décomposition est unique sur ℂ comme sur ℝ; sur ℝ, les facteurs quadratiques irréductibles donnent des numérateurs affines.

15. Parmi les propositions suivantes concernant les groupes cycliques finis et les permutations, lesquelles sont exactes ?

Tout groupe cyclique de cardinal nn est isomorphe au groupe additif Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.
Un groupe cyclique de cardinal nn est isomorphe au groupe multiplicatif Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.
Le groupe symétrique SnS_n est constitué des bijections de {1,…,n}\{1,\ldots,n\} vers {1,…,n+1}\{1,\ldots,n+1\}.
Le groupe additif Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} est engendré par la classe de 11.
Les éléments de SnS_n sont des applications de {1,…,n}\{1,\ldots,n\} dans lui-même, sans condition de bijectivité.

Tout groupe cyclique de cardinal $$n$$ est isomorphe au groupe additif $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$. · Le groupe additif $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$ est engendré par la classe de $$1$$.

Explication

La classe de 11 engendre le groupe additif Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, et tout groupe cyclique de cardinal nn lui est isomorphe. Les éléments de SnS_n sont des bijections de l’ensemble considéré dans lui-même, et non des applications arbitraires ni des bijections vers un ensemble de cardinal différent. L’isomorphisme énoncé utilise la loi additive.

16. On considère les groupes symétriques d’indices 33 et 44. Quelles propositions sont exactes ?

Le groupe S4S_4 possède 2424 éléments, puisque son cardinal est 4!4!.
Dans S3S_3, les compositions τ1∘σ\tau_1\circ\sigma et σ∘τ1\sigma\circ\tau_1 sont égales à τ3\tau_3.
Le groupe S4S_4 possède 1616 éléments, puisque son cardinal est 242^4.
Le groupe S3S_3 n’est pas commutatif, conformément à la propriété des groupes SnS_n pour n≥3n\geq 3.
Toute permutation se décompose de manière unique en cycles à supports disjoints, à l’ordre et à l’écriture près.

Le groupe $$S_4$$ possède $$24$$ éléments, puisque son cardinal est $$4!$$. · Le groupe $$S_3$$ n’est pas commutatif, conformément à la propriété des groupes $$S_n$$ pour $$n\geq 3$$. · Toute permutation se décompose de manière unique en cycles à supports disjoints, à l’ordre et à l’écriture près.

Explication

Le cardinal de S4S_4 vaut 4!=244!=24, et les groupes SnS_n ne sont pas commutatifs pour n≥3n\geq3. La décomposition en cycles à supports disjoints est unique, à l’ordre des cycles et à l’écriture de chaque cycle près. Le cardinal ne vaut pas 242^4, et les deux compositions indiquées dans S3S_3 donnent respectivement τ2\tau_2 et τ3\tau_3.

17. Un système comporte quatre équations linéaires en trois inconnues, et un triplet vérifie chacune de ses équations. Quelles propositions sont exactes ?

Le système considéré est une liste de quatre équations portant sur les trois inconnues.
Deux systèmes sont équivalents dès qu’ils ont le même nombre d’équations et d’inconnues.
Le triplet donné est une solution du système, car il satisfait simultanément toutes les équations.
Une équation linéaire en trois inconnues peut s’écrire a1x1+a2x2+a3x3=ba_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b, avec des coefficients réels donnés.
Dans ce système, le nombre 33 compte les équations et le nombre 44 compte les inconnues.

Le système considéré est une liste de quatre équations portant sur les trois inconnues. · Le triplet donné est une solution du système, car il satisfait simultanément toutes les équations. · Une équation linéaire en trois inconnues peut s’écrire $$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b$$, avec des coefficients réels donnés.

Explication

Une équation linéaire a la forme indiquée, et le système décrit possède quatre équations pour trois inconnues. Un triplet qui satisfait toutes les équations est une solution. L’équivalence dépend de l’égalité des ensembles de solutions, tandis que le nombre d’équations est ici 44 et celui des inconnues 33.

18. Lors d’une réduction de système, on envisage de multiplier une équation par −2-2, d’ajouter à une autre un multiple d’une équation, ou d’échanger deux équations. Quelles propositions sont exactes ?

Multiplier une équation par −2-2 conserve l’ensemble des solutions du système.
Échanger deux équations conserve l’ensemble des solutions du système.
Ajouter à une équation un multiple d’une autre conserve l’ensemble des solutions.
Un système linéaire admet soit aucune solution, soit une solution, soit une infinité de solutions.
Dans un système échelonné réduit, chaque premier coefficient non nul vaut 11 et est seul non nul dans sa colonne.

Multiplier une équation par $$-2$$ conserve l’ensemble des solutions du système. · Échanger deux équations conserve l’ensemble des solutions du système. · Ajouter à une équation un multiple d’une autre conserve l’ensemble des solutions. · Un système linéaire admet soit aucune solution, soit une solution, soit une infinité de solutions. · Dans un système échelonné réduit, chaque premier coefficient non nul vaut $$1$$ et est seul non nul dans sa colonne.

Explication

Les trois opérations proposées sont des opérations élémentaires qui préservent l’ensemble des solutions; le facteur −2-2 est non nul. Dans un système échelonné réduit, chaque pivot vaut 11 et constitue l’unique coefficient non nul de sa colonne. Enfin, un système linéaire a zéro, une ou une infinité de solutions, et un système homogène admet toujours la solution triviale.

19. Un système homogène comporte cinq inconnues et trois équations; on le réduit par la méthode de Gauss. Quelles propositions sont exactes ?

Une matrice de taille 3×53\times5 comporte trois lignes et cinq colonnes.
Ce système possède une infinité de solutions, car il a davantage d’inconnues que d’équations.
Tout système homogène comportant davantage d’équations que d’inconnues possède une solution unique.
Les opérations élémentaires permettent de le transformer en système échelonné, puis éventuellement échelonné réduit.
Après réduction, les inconnues liées aux variables libres permettent de décrire les solutions.

Une matrice de taille $$3\times5$$ comporte trois lignes et cinq colonnes. · Ce système possède une infinité de solutions, car il a davantage d’inconnues que d’équations. · Les opérations élémentaires permettent de le transformer en système échelonné, puis éventuellement échelonné réduit. · Après réduction, les inconnues liées aux variables libres permettent de décrire les solutions.

Explication

Une matrice de taille 3×53\times5 comporte trois lignes et cinq colonnes. Un système homogène avec cinq inconnues et trois équations possède une infinité de solutions, puisque le nombre d’inconnues dépasse celui des équations. Les opérations élémentaires permettent d’obtenir un système échelonné, puis éventuellement échelonné réduit, et les inconnues liées aux variables libres décrivent les solutions. En revanche, avoir davantage d’équations que d’inconnues ne garantit pas une solution unique pour tout système homogène.

20. On considère deux matrices AA et BB de tailles respectives 2×32\times3 et 2×32\times3, puis une matrice CC de taille 3×33\times3. Quelles propositions sont exactes ?

La somme A+CA+C est définie parce que les deux matrices ont le même nombre de colonnes.
La somme A+BA+B est définie et s’obtient en additionnant les coefficients correspondants.
La matrice CC est carrée, car elle possède autant de lignes que de colonnes.
Deux matrices égales ont la même taille et des coefficients correspondants égaux.
Deux matrices de tailles différentes peuvent être égales si leurs coefficients communs coïncident.

La somme $$A+B$$ est définie et s’obtient en additionnant les coefficients correspondants. · La matrice $$C$$ est carrée, car elle possède autant de lignes que de colonnes. · Deux matrices égales ont la même taille et des coefficients correspondants égaux.

Explication

La somme de deux matrices de même taille s’obtient coefficient par coefficient, donc A+BA+B est définie. L’égalité exige à la fois une même taille et l’égalité des coefficients correspondants; CC est carrée puisqu’elle a trois lignes et trois colonnes. La somme A+CA+C n’est pas définie, car leurs tailles diffèrent.

21. Soient A∈M2,3A\in M_{2,3} et B∈M3,4B\in M_{3,4}. Concernant leur produit :

Le produit ABAB est défini car les dimensions intérieures sont égales.
Le produit d’une ligne par une colonne de même longueur donne une matrice de taille 1×11\times1.
Le produit BABA est défini avec ces dimensions et possède une taille 3×33\times3.
Le produit ABAB est une matrice de taille 2×42\times4.
Le coefficient de la deuxième ligne et troisième colonne de ABAB vaut ∑k=14a2kbk3\sum_{k=1}^{4}a_{2k}b_{k3}.

Le produit $$AB$$ est défini car les dimensions intérieures sont égales. · Le produit d’une ligne par une colonne de même longueur donne une matrice de taille $$1\times1$$. · Le produit $$AB$$ est une matrice de taille $$2\times4$$.

Explication

Le produit d’une matrice 2×32\times3 par une matrice 3×43\times4 est défini et a pour taille 2×42\times4 ; le coefficient demandé se somme sur les trois indices intérieurs, pas quatre. Un produit ligne-colonne de même longueur est bien une matrice 1×11\times1, tandis que BABA n’est pas défini car quatre colonnes de BB ne correspondent pas aux deux lignes de AA.

22. Parmi les propositions suivantes concernant les propriétés du produit matriciel, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Le produit matriciel est associatif, ce qui permet d’écrire (AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC) lorsque les produits sont définis.
Le produit d’une matrice par la matrice nulle donne la matrice identité de taille adaptée.
Le produit matriciel est distributif à gauche, mais pas à droite, par rapport à l’addition.
L’égalité AB=ACAB=AC permet en général de conclure que B=CB=C.
Le produit d’une matrice non nulle par une matrice identité de taille adaptée est nul.

Le produit matriciel est associatif, ce qui permet d’écrire $$(AB)C=A(BC)$$ lorsque les produits sont définis.

Explication

L’associativité donne bien (AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC) lorsque les dimensions rendent les produits définis. Le produit d’une matrice non nulle par une matrice identité de taille adaptée n’est pas nul. Deux matrices non nulles peuvent avoir un produit nul, l’égalité AB=ACAB=AC n’impose pas en général B=CB=C, le produit par une matrice nulle donne une matrice nulle et la distributivité vaut à gauche comme à droite.

23. Deux matrices carrées AA et BB ne commutent pas. Au sujet du développement de leur somme :

Pour des matrices qui ne commutent pas, (A+B)2=A2+2AB+B2(A+B)^2=A^2+2AB+B^2 reste valable.
Le développement de (A+B)2(A+B)^2 contient les termes A2+AB+BA+B2A^2+AB+BA+B^2.
La formule binomiale matricielle donnée pour toutes les puissances suppose que AA et BB commutent.
La formule binomiale avec les puissances Ap−kBkA^{p-k}B^k s’applique sans condition de commutation.
L’écriture A2+2AB+B2A^2+2AB+B^2 ne découle pas du développement lorsque AB≠BAAB\ne BA.

Le développement de $$(A+B)^2$$ contient les termes $$A^2+AB+BA+B^2$$. · La formule binomiale matricielle donnée pour toutes les puissances suppose que $$A$$ et $$B$$ commutent. · L’écriture $$A^2+2AB+B^2$$ ne découle pas du développement lorsque $$AB\ne BA$$.

Explication

Sans commutation, le développement au carré conserve séparément les termes ABAB et BABA ; les remplacer par 2AB2AB n’est donc pas justifié. La formule binomiale matricielle ∑k=0p(pk)Ap−kBk\sum_{k=0}^{p}\binom{p}{k}A^{p-k}B^k est donnée lorsque les matrices commutent, et non sans cette condition.

24. Pour inverser une matrice par la méthode de Gauss et résoudre ensuite un système, quelle(s) proposition(s) est(sont) exacte(s) ?

Pour une matrice 2×22\times2 de déterminant non nul, l’inverse utilise le facteur 1/(ad−bc)1/(ad-bc).
Si AX=YAX=Y et AA est inversible, l’unique solution est X=A−1YX=A^{-1}Y.
Un système linéaire AX=YAX=Y possède toujours une solution unique, quelle que soit sa matrice.
La réduction de (A∣I)(A\mid I) doit s’arrêter dès que la partie gauche est triangulaire.
On réduit le tableau augmenté (A∣I)(A\mid I) jusqu’à obtenir (I∣B)(I\mid B), puis B=A−1B=A^{-1}.

Pour une matrice $$2\times2$$ de déterminant non nul, l’inverse utilise le facteur $$1/(ad-bc)$$. · Si $$AX=Y$$ et $$A$$ est inversible, l’unique solution est $$X=A^{-1}Y$$. · On réduit le tableau augmenté $$(A\mid I)$$ jusqu’à obtenir $$(I\mid B)$$, puis $$B=A^{-1}$$.

Explication

La méthode de Gauss poursuit les opérations sur les lignes jusqu’à obtenir (I∣B)(I\mid B), ce qui donne B=A−1B=A^{-1} ; pour une matrice inversible, AX=YAX=Y a pour solution unique A−1YA^{-1}Y. Dans le cas 2×22\times2, la formule utilise bien le déterminant ad−bcad-bc non nul ; une forme triangulaire ne suffit pas nécessairement, et un système peut avoir zéro, une ou une infinité de solutions.

25. Une réduction par opérations sur les lignes fait apparaître des pivots. Concernant les notions associées :

Multiplier à gauche par une matrice élémentaire reproduit sur une matrice l’opération de ligne correspondante.
Deux matrices équivalentes par lignes doivent avoir les mêmes coefficients à chaque position.
Une matrice élémentaire s’obtient en appliquant une opération de colonne à la matrice identité.
Une matrice échelonnée réduite a des pivots égaux à 11, seuls non nuls dans leur colonne.
Une matrice simplement échelonnée exige déjà que chaque pivot soit seul dans sa colonne.

Multiplier à gauche par une matrice élémentaire reproduit sur une matrice l’opération de ligne correspondante. · Une matrice échelonnée réduite a des pivots égaux à $$1$$, seuls non nuls dans leur colonne.

Explication

La forme échelonnée réduite impose que chaque premier coefficient non nul vaille 1 et soit seul non nul dans sa colonne. Une matrice élémentaire provient d’une opération élémentaire sur les lignes de l’identité et sa multiplication à gauche effectue cette opération ; l’équivalence par lignes autorise des coefficients différents, et ces contraintes supplémentaires caractérisent la forme réduite plutôt que la forme simplement échelonnée.

26. Une matrice carrée est ramenée par opérations élémentaires sur les lignes à sa forme échelonnée réduite. Quelle(s) conclusion(s) est(sont) exacte(s) ?

Si la matrice est inversible, le système homogène AX=0AX=0 n’a que la solution nulle.
La forme échelonnée réduite obtenue par opérations sur les lignes est unique.
Une matrice est inversible lorsque son système homogène possède une solution non nulle.
Pour une matrice inversible, tout système AX=BAX=B admet une solution unique.
Si cette forme est l’identité, la matrice de départ est inversible.

Si la matrice est inversible, le système homogène $$AX=0$$ n’a que la solution nulle. · La forme échelonnée réduite obtenue par opérations sur les lignes est unique. · Pour une matrice inversible, tout système $$AX=B$$ admet une solution unique. · Si cette forme est l’identité, la matrice de départ est inversible.

Explication

Une matrice carrée est inversible si et seulement si sa forme échelonnée réduite est l’identité, et cette forme réduite est unique. L’inversibilité équivaut à ce que AX=0AX=0 n’ait que la solution nulle et à ce que, pour tout second membre, AX=BAX=B ait une solution unique ; une solution homogène non nulle contredit cette caractérisation.

27. Une matrice carrée a des zéros en positions (1,2) et (1,3), tandis que sa diagonale est non nulle. Concernant sa triangularité et son inversibilité :

La transposée d’une matrice de taille 3 × 2 est de taille 3 × 2.
Une matrice triangulaire est inversible lorsque tous ses coefficients diagonaux sont non nuls.
L’annulation des coefficients au-dessus de la diagonale caractérise une matrice triangulaire inférieure.
Pour deux matrices compatibles, la transposée d’un produit vérifie (AB)T=ATBT(AB)^T=A^TB^T.
La transposée d’une somme vérifie (A+B)T=AT−BT(A+B)^T=A^T-B^T.

Une matrice triangulaire est inversible lorsque tous ses coefficients diagonaux sont non nuls. · L’annulation des coefficients au-dessus de la diagonale caractérise une matrice triangulaire inférieure.

Explication

Une matrice triangulaire inférieure annule les coefficients au-dessus de la diagonale, tandis qu’une triangulaire supérieure annule ceux du dessous. Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls. La transposée d’une matrice de taille 3 × 2 est de taille 2 × 3. Pour un produit de matrices compatibles, la transposée inverse l’ordre des facteurs : (AB)T=BTAT(AB)^T=B^TA^T. La transposée d’une somme est la somme des transposées : (A+B)T=AT+BT(A+B)^T=A^T+B^T.

28. Pour des matrices carrées compatibles A et B, quelles propositions concernant la transposition et la trace sont exactes ?

La transposée du produit AB s’écrit BTAT, avec l’ordre des facteurs inversé.
La trace d’une matrice carrée est la somme des coefficients situés hors diagonale.
La transposée d’une somme de matrices est la somme de leurs transposées.
Pour deux matrices carrées de même taille, la trace de AB égale celle de BA.
La transposée du produit AB s’écrit ATBT, en conservant l’ordre des facteurs.

La transposée du produit AB s’écrit BTAT, avec l’ordre des facteurs inversé. · La transposée d’une somme de matrices est la somme de leurs transposées. · Pour deux matrices carrées de même taille, la trace de AB égale celle de BA.

Explication

La transposition distribue sur une somme. Pour un produit, elle inverse l’ordre : (AB)T = BTAT. La trace additionne les coefficients diagonaux, tandis que tr(AB) = tr(BA) pour des matrices carrées de même taille.

29. Une matrice carrée A vérifie a12 = 5 et a21 = −5. Parmi les propositions suivantes concernant les matrices symétriques et antisymétriques, lesquelles sont exactes ?

Une matrice symétrique possède des coefficients égaux de part et d’autre de sa diagonale.
Une matrice est antisymétrique lorsque sa transposée est égale à son opposée.
Une matrice symétrique vérifie que sa transposée est égale à son opposée.
Une matrice est symétrique lorsque ses coefficients opposés par rapport à la diagonale sont opposés.
Les coefficients diagonaux d’une matrice antisymétrique sont nuls.

Une matrice symétrique possède des coefficients égaux de part et d’autre de sa diagonale. · Une matrice est antisymétrique lorsque sa transposée est égale à son opposée. · Les coefficients diagonaux d’une matrice antisymétrique sont nuls.

Explication

La symétrie impose l’égalité des coefficients de part et d’autre de la diagonale ; leur opposition caractérise l’antisymétrie. Dans une matrice antisymétrique, chaque coefficient diagonal est son propre opposé et vaut donc zéro.

30. Une partie non vide F d’un espace vectoriel E contient toute combinaison λu + μv lorsqu'u, v appartiennent à F. Concernant les sous-espaces vectoriels :

La stabilité par combinaison linéaire de deux vecteurs caractérise un sous-espace non vide.
Un sous-espace contient le vecteur nul de l’espace ambiant.
L’intersection de deux sous-espaces de E est un sous-espace de E.
Les solutions de tout système linéaire non homogène forment un sous-espace de Rp.
La stabilité par addition suffit à caractériser un sous-espace vectoriel.

La stabilité par combinaison linéaire de deux vecteurs caractérise un sous-espace non vide. · Un sous-espace contient le vecteur nul de l’espace ambiant. · L’intersection de deux sous-espaces de E est un sous-espace de E.

Explication

Un sous-espace contient le vecteur nul et, pour une partie non vide, la stabilité par toute combinaison λu + μv fournit une caractérisation. L’intersection de deux sous-espaces reste un sous-espace. Un système non homogène n’est pas garanti d’avoir un ensemble de solutions qui soit un sous-espace, et la stabilité par addition seule ne suffit pas.

31. Dans un espace vectoriel E, des sous-espaces F et G vérifient F ∩ G = {0E} et F + G = E. Quelles propositions les concernant sont exactes ?

La somme de deux sous-espaces est un sous-espace contenant chacun d’eux.
La somme F + G est le plus grand sous-espace contenu à la fois dans F et G.
Les conditions données signifient que F et G sont en somme directe dans E.
La somme F + G rassemble les vecteurs u + v avec u dans F et v dans G.
Tout élément de E admet plusieurs écritures comme somme d’éléments de F et G.

La somme de deux sous-espaces est un sous-espace contenant chacun d’eux. · Les conditions données signifient que F et G sont en somme directe dans E. · La somme F + G rassemble les vecteurs u + v avec u dans F et v dans G.

Explication

Par définition, F + G contient les sommes d’un élément de F et d’un élément de G ; c’est un sous-espace et le plus petit contenant les deux. Les conditions d’intersection réduite au vecteur nul et de somme égale à E caractérisent la somme directe, qui donne une décomposition unique, non plusieurs.

32. On considère Vect(v1, …, vn) et une application f. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont exactes ?

Une application linéaire préserve l’addition de deux vecteurs de son domaine.
Pour une application linéaire, f(λu + μv) vaut λf(u) + μf(v).
Une application linéaire vérifie f(λu) = f(u) pour tout scalaire λ.
Vect(v1, …, vn) est le plus grand sous-espace contenant les vecteurs indiqués.
Vect(v1, …, vn) regroupe toutes les combinaisons linéaires des vecteurs indiqués.

Une application linéaire préserve l’addition de deux vecteurs de son domaine. · Pour une application linéaire, f(λu + μv) vaut λf(u) + μf(v). · Vect(v1, …, vn) regroupe toutes les combinaisons linéaires des vecteurs indiqués.

Explication

Le sous-espace engendré est constitué des combinaisons linéaires des vecteurs et est le plus petit sous-espace qui les contient. Une application linéaire préserve les sommes et les multiplications scalaires, d’où la formule pour λu + μv. Elle n’est pas caractérisée par une invariance de f(u) sous multiplication par λ.

33. Dans une étude de familles de vecteurs et de générateurs, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Dans R3\mathbb{R}^3, deux vecteurs dépendants sont nécessairement coplanaires sans être colinéaires.
Les polynômes 1,X,…,Xn1,X,\ldots,X^n engendrent l’espace des polynômes de degré au plus nn.
Une famille génératrice de EE permet d’écrire chaque vecteur de EE comme combinaison de ses éléments.
Une famille finie de polynômes peut engendrer l’espace R[X]\mathbb{R}[X].
Dans R4\mathbb{R}^4, une famille de cinq vecteurs est nécessairement liée.

Les polynômes $$1,X,\ldots,X^n$$ engendrent l’espace des polynômes de degré au plus $$n$$. · Une famille génératrice de $$E$$ permet d’écrire chaque vecteur de $$E$$ comme combinaison de ses éléments. · Dans $$\mathbb{R}^4$$, une famille de cinq vecteurs est nécessairement liée.

Explication

Dans R4\mathbb{R}^4, dépasser quatre vecteurs rend la famille liée. Deux vecteurs dépendants dans R3\mathbb{R}^3 sont colinéaires; une famille génératrice représente chaque vecteur de l’espace, et 1,X,…,Xn1,X,\ldots,X^n engendrent Rn[X]\mathbb{R}_n[X]. En revanche, R[X]\mathbb{R}[X] n’admet aucune famille finie génératrice.

34. À propos des bases et de la réduction d’une famille génératrice, quelles propositions sont exactes ?

Retirer un vecteur exprimable par les autres détruit la propriété génératrice.
Toute famille contenant une famille génératrice de EE engendre encore EE.
Une famille libre possède au moins un vecteur combinaison linéaire des autres.
Une base de EE est une famille à la fois libre et génératrice de EE.
Dans une famille génératrice, un vecteur redondant peut être retiré sans perdre la génération.

Toute famille contenant une famille génératrice de $$E$$ engendre encore $$E$$. · Une base de $$E$$ est une famille à la fois libre et génératrice de $$E$$. · Dans une famille génératrice, un vecteur redondant peut être retiré sans perdre la génération.

Explication

Une base est une famille libre et génératrice. Une famille libre ne possède pas de vecteur qui soit combinaison linéaire des autres. Si un vecteur d’une famille génératrice est combinaison des autres, on peut le retirer sans perdre la génération; toute famille qui contient des générateurs engendre également l’espace.

35. Un espace vectoriel EE possède une famille finie génératrice; une famille libre y est donnée. Concernant les bases :

Une famille libre de EE ne peut être complétée en base que si elle contient au moins un vecteur.
La famille libre donnée peut être complétée en une base de EE.
Toute famille génératrice de EE est une base de cet espace.
L’existence d’une famille finie génératrice de EE garantit l’existence d’une base.
Dans une base de EE, chaque vecteur possède une écriture unique en combinaison de ses éléments.

La famille libre donnée peut être complétée en une base de $$E$$. · L’existence d’une famille finie génératrice de $$E$$ garantit l’existence d’une base. · Dans une base de $$E$$, chaque vecteur possède une écriture unique en combinaison de ses éléments.

Explication

Les coordonnées dans une base sont uniques, et tout espace possédant une famille finie génératrice admet une base. Dans un tel espace, toute famille libre peut être complétée en base et toute famille génératrice contient une base. La famille libre peut être vide, et une famille génératrice n’est pas nécessairement libre.

36. Un espace EE possède une famille finie génératrice; laquelle des propositions suivantes caractérise sa dimension ?

Toutes les bases d’un espace de dimension finie ont le même nombre de vecteurs.
L’espace R3[X]\mathbb{R}_3[X] a pour dimension 44, car sa base canonique compte quatre éléments.
L’espace Kn\mathbb{K}^n a pour dimension n+1n+1, comme Rn[X]\mathbb{R}_n[X].
L’existence d’une famille finie génératrice de EE équivaut à l’existence d’une base finie.
L’espace R[X]\mathbb{R}[X] possède une dimension finie puisqu’il contient les polynômes.

Toutes les bases d’un espace de dimension finie ont le même nombre de vecteurs. · L’espace $$\mathbb{R}_3[X]$$ a pour dimension $$4$$, car sa base canonique compte quatre éléments. · L’existence d’une famille finie génératrice de $$E$$ équivaut à l’existence d’une base finie.

Explication

Un espace est de dimension finie exactement lorsqu’il admet une base finie, ce qui équivaut à l’existence d’une famille finie génératrice; toutes ses bases ont alors le même cardinal. R3[X]\mathbb{R}_3[X] a dimension 3+1=43+1=4. L’espace R[X]\mathbb{R}[X] n’est pas de dimension finie, et Kn\mathbb{K}^n a dimension nn.

37. Dans un espace vectoriel de dimension 33, quelle(s) proposition(s) est(sont) exacte(s) concernant les familles et les sous-espaces ?

Une famille de trois vecteurs est une base si et seulement si elle est libre.
Toute famille libre de cet espace contient au plus trois vecteurs.
Toute famille génératrice de cet espace contient au plus trois vecteurs.
Un sous-espace de dimension 11 de cet espace est une droite vectorielle.
Les vecteurs (1,1,4),(1,3,4),(1,1,4) (1,1,4),(1,3,4),(1,1,4) forment une base de R3\mathbb{R}^3.

Une famille de trois vecteurs est une base si et seulement si elle est libre. · Toute famille libre de cet espace contient au plus trois vecteurs. · Un sous-espace de dimension $$1$$ de cet espace est une droite vectorielle.

Explication

Dans un espace de dimension trois, une famille libre compte au plus trois vecteurs; une famille de trois vecteurs est une base exactement lorsqu’elle est libre, ou, équivalemment, génératrice. Un sous-espace de dimension un est une droite vectorielle. La famille proposée comporte deux vecteurs identiques et est donc liée; une famille génératrice contient au moins trois vecteurs, pas au plus trois.

38. Dans un espace EE de dimension 55, considérons un plan vectoriel PP et un sous-espace FF de dimension 55. Quelles propositions sont exactes ?

Un hyperplan de EE a dimension 33.
Un hyperplan de EE a dimension 44.
Le plan vectoriel PP a dimension 11.
Le plan vectoriel PP a dimension 22.
Le sous-espace FF est égal à EE puisque leurs dimensions sont égales.

Un hyperplan de $$E$$ a dimension $$4$$. · Le plan vectoriel $$P$$ a dimension $$2$$. · Le sous-espace $$F$$ est égal à $$E$$ puisque leurs dimensions sont égales.

Explication

Un plan vectoriel est un sous-espace de dimension deux, et un hyperplan de dimension ambiante cinq a dimension 5−1=45-1=4. Un sous-espace de même dimension que EE lui est égal; les dimensions trois et un ne correspondent donc ni à l’hyperplan ni au plan indiqués.

39. Deux sous-espaces FF et GG d’un espace de dimension finie vérifient dim⁡F=4\dim F=4, dim⁡G=3\dim G=3 et dim⁡(F∩G)=2\dim(F\cap G)=2. Quelle(s) proposition(s) est(sont) exacte(s) ?

Si G⊂FG\subset F et leurs dimensions valent respectivement 44 et 33, alors G=FG=F.
La dimension de F+GF+G vaut 55, par soustraction de la dimension de leur intersection.
La dimension de F+GF+G vaut 99, par addition des dimensions de FF et GG.
Si E=F⊕GE=F\oplus G, alors dim⁡E=dim⁡F+dim⁡G\dim E=\dim F+\dim G.
Si E=F⊕GE=F\oplus G, alors dim⁡E=dim⁡F−dim⁡G\dim E=\dim F-\dim G.

La dimension de $$F+G$$ vaut $$5$$, par soustraction de la dimension de leur intersection. · Si $$E=F\oplus G$$, alors $$\dim E=\dim F+\dim G$$.

Explication

La formule donne dim⁡(F+G)=4+3−2=5\dim(F+G)=4+3-2=5, et une somme directe vérifie dim⁡E=dim⁡F+dim⁡G\dim E=\dim F+\dim G. Des sous-espaces inclus de dimensions différentes ne sont pas égaux; la somme simple des dimensions néglige l’intersection, tandis qu’une somme directe s’accompagne d’une addition, non d’une soustraction.

40. Concernant le rang d’une famille finie de vecteurs, quelles propositions sont exactes ?

Le rang d’une famille est la dimension de l’espace vectoriel ambiant.
Une famille de trois vecteurs est libre si et seulement si son rang vaut trois.
Le rang d’une famille correspond à la dimension du sous-espace qu’elle engendre.
Pour quatre vecteurs, le rang est nécessairement égal à quatre.
Pour quatre vecteurs, le rang est compris entre zéro et quatre inclus.

Une famille de trois vecteurs est libre si et seulement si son rang vaut trois. · Le rang d’une famille correspond à la dimension du sous-espace qu’elle engendre. · Pour quatre vecteurs, le rang est compris entre zéro et quatre inclus.

Explication

Le rang est la dimension du sous-espace engendré, et il est compris entre zéro et le nombre de vecteurs. Pour une famille de trois vecteurs, le rang vaut trois exactement lorsqu’elle est libre ; le rang ne désigne pas nécessairement la dimension de l’espace ambiant et peut être inférieur au nombre de vecteurs.

41. Une matrice est déjà échelonnée par colonnes et possède quatre colonnes non nulles. Parmi les propositions suivantes, laquelle est exacte ?

Le rang d’une matrice échelonnée par colonnes se calcule en comptant ses colonnes nulles.
Son rang vaut le nombre de ses lignes non nulles, même lorsqu’elle est échelonnée par colonnes.
Son rang vaut quatre, car une matrice échelonnée par colonnes se compte par colonnes non nulles.
Son rang vaut quatre, car le rang d’une matrice se définit par ses lignes non nulles.
Pour déterminer son rang, il faut d’abord effectuer des opérations élémentaires sur les lignes.

Son rang vaut quatre, car une matrice échelonnée par colonnes se compte par colonnes non nulles.

Explication

Pour une matrice échelonnée par colonnes, le rang est le nombre de colonnes non nulles, donc quatre ici. Le rang d’une matrice est défini par ses colonnes, et la procédure de calcul par colonnes échelonne celles-ci ; compter les lignes non nulles ou les colonnes nulles ne donne pas la règle demandée.

42. Une matrice carrée d’ordre cinq a un rang égal à cinq. Quelles propositions concernant son rang et les applications linéaires sont exactes ?

Les images des vecteurs d’une base de départ déterminent une unique application linéaire.
Cette matrice est inversible lorsque son rang vaut quatre au lieu de cinq.
Le rang de cette matrice est aussi celui de sa transposée.
Pour une matrice échelonnée par colonnes, le rang est le nombre de lignes non nulles.
Cette matrice est inversible, car son rang atteint la taille de la matrice.

Les images des vecteurs d’une base de départ déterminent une unique application linéaire. · Le rang de cette matrice est aussi celui de sa transposée. · Cette matrice est inversible, car son rang atteint la taille de la matrice.

Explication

Une matrice carrée d’ordre cinq est inversible si et seulement si son rang vaut cinq : un rang égal à quatre ne satisfait donc pas le critère d’inversibilité. Ici, le rang atteint la taille de la matrice, qui est donc inversible. Le rang d’une matrice est égal à celui de sa transposée. Pour une matrice échelonnée par colonnes, le rang se calcule en comptant les colonnes non nulles, et non les lignes non nulles. Enfin, les images des vecteurs d’une base de départ déterminent une unique application linéaire.

43. Une application linéaire a un domaine de dimension sept et un noyau de dimension trois. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont exactes ?

Son rang ne peut dépasser la plus petite des dimensions du domaine et de l’arrivée.
Son rang vaut quatre, puisque la dimension du domaine est la somme du noyau et du rang.
Son rang est égal à la dimension de son domaine moins celle de son image.
Son rang est la dimension de l’image de l’application linéaire.
Son rang vaut dix, en additionnant la dimension du domaine à celle du noyau.

Son rang ne peut dépasser la plus petite des dimensions du domaine et de l’arrivée. · Son rang vaut quatre, puisque la dimension du domaine est la somme du noyau et du rang. · Son rang est la dimension de l’image de l’application linéaire.

Explication

Le théorème du rang donne sept égale trois plus le rang, donc celui-ci vaut quatre. Le rang est la dimension de l’image et ne dépasse pas la plus petite des dimensions du domaine et de l’espace d’arrivée. Il est égal à la dimension du domaine moins celle du noyau, et non moins celle de l’image. Additionner la dimension du domaine à celle du noyau ne donne pas le rang.

44. Une application linéaire entre deux espaces de dimension finie égale est injective. Quelles propositions sont exactes ?

Si elle est bijective, elle constitue un isomorphisme entre les deux espaces.
La bijection réciproque d’un isomorphisme n’est pas une application linéaire.
L’injectivité ne permet pas de conclure à la surjectivité dans ce cadre.
Elle est aussi surjective, car injectivité et surjectivité sont équivalentes dans ce cadre.
Un isomorphisme impose aux espaces de départ et d’arrivée la même dimension.

Si elle est bijective, elle constitue un isomorphisme entre les deux espaces. · Elle est aussi surjective, car injectivité et surjectivité sont équivalentes dans ce cadre. · Un isomorphisme impose aux espaces de départ et d’arrivée la même dimension.

Explication

Entre espaces de même dimension finie, injectivité, surjectivité et bijectivité sont équivalentes : l’application est donc surjective. Un isomorphisme est une application linéaire bijective, entraîne l’égalité des dimensions et possède une réciproque linéaire.

45. Pour une application linéaire de R2\mathbb{R}^2 vers R3\mathbb{R}^3, représentée dans des bases choisies, quelles propositions sont exactes ?

La première colonne de sa matrice contient les coordonnées de l’image du premier vecteur d’arrivée.
Ses coefficients dépendent des bases choisies pour représenter l’application.
Sa matrice a trois lignes et deux colonnes, selon les dimensions d’arrivée et de départ.
Si AB=IAB=I, alors BB est un inverse à gauche de AA.
Pour f(x,y)=(x−y,x+y)f(x,y)=(x-y,x+y) de R2\mathbb{R}^2 dans lui-même, le noyau est réduit à zéro.

Ses coefficients dépendent des bases choisies pour représenter l’application. · Sa matrice a trois lignes et deux colonnes, selon les dimensions d’arrivée et de départ. · Pour $$f(x,y)=(x-y,x+y)$$ de $$\mathbb{R}^2$$ dans lui-même, le noyau est réduit à zéro.

Explication

La matrice a autant de lignes que la dimension d’arrivée et autant de colonnes que la dimension de départ ; ses coefficients dépendent des bases. L’exemple indiqué a un noyau réduit à zéro. La relation AB=IAB=I fait de BB un inverse à droite, et les colonnes représentent les images des vecteurs de la base de départ.

46. Dans la base canonique de R2\mathbb{R}^2, on considère une rotation d’angle θ\theta. Quelles propositions sont exactes au sujet des matrices d’applications linéaires ?

La rotation a pour matrice (cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}.
La matrice de la symétrie centrale dans une base donnée est InI_n.
Dans une même base, l’identité a pour matrice InI_n et l’homothétie de rapport λ\lambda a pour matrice λIn\lambda I_n.
La matrice de la rotation a pour diagonale sin⁡θ\sin\theta et pour autres coefficients cos⁡θ\cos\theta.
Dans des bases choisies, une application entre espaces de même dimension est bijective si et seulement si sa matrice est inversible.

La rotation a pour matrice $$\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$$. · Dans une même base, l’identité a pour matrice $$I_n$$ et l’homothétie de rapport $$\lambda$$ a pour matrice $$\lambda I_n$$. · Dans des bases choisies, une application entre espaces de même dimension est bijective si et seulement si sa matrice est inversible.

Explication

La matrice de la rotation canonique a les coefficients indiqués. Dans une même base, l’identité et l’homothétie ont respectivement pour matrices InI_n et λIn\lambda I_n ; entre espaces de même dimension, la bijectivité équivaut à l’inversibilité de la matrice. La symétrie centrale a pour matrice −In-I_n, et non InI_n.

47. Dans un espace muni de deux bases BB et B′B', les coordonnées d’un vecteur et les matrices de passage sont reliées ainsi :

Pour un même vecteur, ses colonnes de coordonnées vérifient X=PB,B′X′X=P_{B,B'}X'.
La matrice de l’application dans les bases indiquées vérifie Y=AXY=AX.
La matrice de passage inverse vérifie PB′,B=PB,B′P_{B',B}=P_{B,B'}.
Pour trois bases, la composition s’écrit PB,B′′=PB′,B′′PB,B′P_{B,B''}=P_{B',B''}P_{B,B'}.
La colonne numéro jj de PB,B′P_{B,B'} contient les coordonnées de bj′b'_j dans BB.

Pour un même vecteur, ses colonnes de coordonnées vérifient $$X=P_{B,B'}X'$$. · La matrice de l’application dans les bases indiquées vérifie $$Y=AX$$. · La colonne numéro $$j$$ de $$P_{B,B'}$$ contient les coordonnées de $$b'_j$$ dans $$B$$.

Explication

Les coordonnées d’un même vecteur satisfont X=PB,B′X′X=P_{B,B'}X', et les colonnes de cette matrice sont les coordonnées des vecteurs de B′B' dans BB. Pour une application, Y=AXY=AX ; la composition des passages est dans l’ordre inverse de celui proposé, et les deux matrices de passage réciproques sont inverses l’une de l’autre.

48. Concernant les propriétés qui caractérisent le déterminant :

Le déterminant de la matrice identité vaut 00.
Multiplier une colonne par λ\lambda multiplie le déterminant par λ\lambda.
L’échange de deux colonnes distinctes multiplie le déterminant par −1-1.
Le déterminant est linéaire par rapport à chaque colonne lorsque les autres sont fixées.
Échanger deux colonnes distinctes conserve la valeur du déterminant.

Multiplier une colonne par $$\lambda$$ multiplie le déterminant par $$\lambda$$. · L’échange de deux colonnes distinctes multiplie le déterminant par $$-1$$. · Le déterminant est linéaire par rapport à chaque colonne lorsque les autres sont fixées.

Explication

Le déterminant est linéaire séparément en chaque colonne, et sa valeur sur l’identité est 11. La multiplication d’une colonne par λ\lambda multiplie le déterminant par ce facteur, alors qu’un échange de colonnes change son signe.

49. Une matrice triangulaire supérieure a pour diagonale 2,−3,42, -3, 4, et l’on ajoute à une colonne une combinaison des autres colonnes. Quelles conclusions s’appliquent ?

Une matrice diagonale ayant cette diagonale a également pour déterminant −24-24.
L’ajout d’une combinaison des autres colonnes laisse le déterminant inchangé.
L’ajout d’un multiple d’une colonne à une autre change le signe du déterminant.
Le déterminant de la matrice triangulaire vaut −24-24, produit de ses termes diagonaux.
Une colonne combinaison linéaire des autres donne un déterminant égal à 11.

Une matrice diagonale ayant cette diagonale a également pour déterminant $$-24$$. · L’ajout d’une combinaison des autres colonnes laisse le déterminant inchangé. · Le déterminant de la matrice triangulaire vaut $$-24$$, produit de ses termes diagonaux.

Explication

Le produit diagonal vaut 2×(−3)×4=−242\times(-3)\times4=-24, pour une matrice triangulaire comme pour une matrice diagonale. L’ajout d’une combinaison des autres colonnes conserve le déterminant ; un échange, et non cet ajout, change son signe, tandis qu’une colonne dépendante des autres entraîne un déterminant nul.

50. On étudie une matrice carrée AA dont le déterminant vaut −4-4. Parmi les propositions suivantes concernant ses propriétés, lesquelles sont exactes ?

Toute matrice semblable à AA a pour déterminant −4-4.
Le déterminant de A−1A^{-1} vaut −14-\frac14.
La matrice AA est inversible puisque son déterminant est non nul.
Une élimination de Gauss produit un déterminant égal au seul produit diagonal final, sans correction.
Le déterminant de ATA^T vaut 44.

Toute matrice semblable à $$A$$ a pour déterminant $$-4$$. · Le déterminant de $$A^{-1}$$ vaut $$-\frac14$$. · La matrice $$A$$ est inversible puisque son déterminant est non nul.

Explication

Un déterminant non nul garantit l’inversibilité et det⁡(A−1)=1/det⁡(A)=−14\det(A^{-1})=1/\det(A)=-\frac14. La transposée conserve le déterminant, donc celui de ATA^T vaut −4-4, et les matrices semblables ont le même déterminant ; l’élimination de Gauss exige de tenir compte de l’effet des opérations élémentaires.

51. Pour développer le déterminant d’une matrice carrée suivant une ligne ou une colonne, on utilise les cofacteurs :

Le cofacteur CijC_{ij} vaut (−1)i+jdet⁡(Aij)(-1)^{i+j}\det(A_{ij}), après suppression de la ligne et de la colonne correspondantes.
Par transposition, les propriétés des opérations sur les colonnes valent aussi pour les lignes.
Un développement suivant la ligne ii s’écrit det⁡(A)=∑jaijCij\det(A)=\sum_j a_{ij}C_{ij}.
Le cofacteur CijC_{ij} est simplement det⁡(Aij)\det(A_{ij}), sans facteur de signe.
Un développement suivant la colonne jj utilise les coefficients de la ligne jj.

Le cofacteur $$C_{ij}$$ vaut $$(-1)^{i+j}\det(A_{ij})$$, après suppression de la ligne et de la colonne correspondantes. · Par transposition, les propriétés des opérations sur les colonnes valent aussi pour les lignes. · Un développement suivant la ligne $$i$$ s’écrit $$\det(A)=\sum_j a_{ij}C_{ij}$$.

Explication

Le cofacteur inclut le signe (−1)i+j(-1)^{i+j}, contrairement au mineur qui est det⁡(Aij)\det(A_{ij}). Le développement le long d’une ligne associe ses coefficients à leurs cofacteurs, et la transposition transmet aux lignes les propriétés établies pour les colonnes ; un développement par colonne utilise les coefficients de cette colonne.

52. Pour un système carré AX=BAX=B de déterminant non nul, quelle(s) proposition(s) décrit(vent) correctement les applications du déterminant ?

Des nn vecteurs en dimension nn forment une base si leur matrice de coordonnées a un déterminant non nul.
Le rang d’une matrice est le plus grand ordre d’un mineur extrait dont le déterminant est non nul.
Pour appliquer Cramer, on remplace la ligne jj de AA par le second membre BB.
La règle de Cramer s’applique ici et fournit une solution unique au système carré.
La règle de Cramer donne xj=det⁡(Aj)det⁡(A)x_j=\frac{\det(A_j)}{\det(A)}, avec la colonne jj remplacée par BB.

Des $$n$$ vecteurs en dimension $$n$$ forment une base si leur matrice de coordonnées a un déterminant non nul. · Le rang d’une matrice est le plus grand ordre d’un mineur extrait dont le déterminant est non nul. · La règle de Cramer s’applique ici et fournit une solution unique au système carré. · La règle de Cramer donne $$x_j=\frac{\det(A_j)}{\det(A)}$$, avec la colonne $$j$$ remplacée par $$B$$.

Explication

Comme det⁡(A)≠0\det(A)\ne0, le système admet une solution unique et Cramer calcule chaque inconnue en remplaçant la colonne correspondante par BB. Le critère de base repose lui aussi sur un déterminant non nul, tandis que le rang est le plus grand ordre d’un mineur non nul ; la règle de Cramer remplace une colonne, pas une ligne.

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Qu’est-ce qu’une assertion ?

Une phrase vraie ou fausse, mais jamais les deux à la fois.

Quand l’assertion « P ou Q » est-elle vraie ?

Lorsqu’au moins l’une de P et Q est vraie, même si les deux le sont.

Quand l’implication P⇒QP \Rightarrow Q est-elle vraie si PP est fausse ?

Elle est toujours vraie, quelle que soit la valeur de QQ.

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