Flashcards : Matrices et calcul matriciel (95 cartes)

Qu’est-ce qu’une assertion ?

Quand l’assertion « P ou Q » est-elle vraie ?

Quand l’implication $P \Rightarrow Q$ est-elle vraie si $P$ est fausse ?

Que signifie l’équivalence $P \Leftrightarrow Q$ ?

Quelle est la négation de « pour tout $x \in E$, $P(x)$ » ?

Quelles sont les trois étapes d’une démonstration par récurrence ?

Quelle est la contraposée de $P \Rightarrow Q$ ?

Que signifie $E \subset F$ ?

À quelle condition les ensembles E et F sont-ils égaux ?

Quels éléments appartiennent à l’union $A \cup B$ ?

Comment caractériser l’injectivité de $f:E\to F$ par ses valeurs ?

Que signifie que chaque élément de $F$ possède au moins un antécédent par $f:E\to F$ ?

Quelle propriété des antécédents caractérise une bijection $f:E\to F$ ?

Quelle condition sur $g:F\to E$ équivaut à la bijectivité de $f:E\to F$ ?

Que vaut $\left(f^{-1}\right)^{-1}$ lorsque $f$ est bijective ?

Si $f:E\to F$ et $g:F\to G$ sont bijectives, quelle propriété possède $g\circ f$ ?

Comment note-t-on le nombre de parties à $k$ éléments d’un ensemble à $n$ éléments ?

Quelle relation de Pascal vérifient les coefficients binomiaux pour $0<k<n$ ?

Quelle formule factorielle donne $\binom{n}{k}$ ?

Quelle formule donne le développement de $(a+b)^n$ pour $a,b\in\mathbb{R}$ ?

Quelles propriétés caractérisent une relation d’équivalence sur $E$ ?

Que désigne la classe d’équivalence de $x$ ?

Qu’est-ce que l’affixe d’un point M de coordonnées (x, y) dans le plan affine $\mathbb{R}^2$ ?

Quelle équation complexe représente la droite réelle $ax+by=c$ ?

Quelle est l’équation complexe du cercle de centre d’affixe $\omega$ et de rayon r ?

Quel est le lieu des points M tels que $\frac{MA}{MB}=k$ si $k=1$ ?

Quand un polynôme B divise-t-il un polynôme A ?

Quelle condition caractérise le reste de la division euclidienne de A par B non nul ?

Quand α est-elle une racine de P, et quelle divisibilité lui est équivalente ?

Quelles divisibilités définissent une racine α de multiplicité k ?

Quel théorème garantit des racines à tout polynôme complexe non constant ?

Combien de racines dans K peut avoir un polynôme de degré n ≥ 1 ?

Quels diviseurs possède un polynôme irréductible P de degré au moins 1 ?

En quel type de facteurs irréductibles se décompose un polynôme non constant de K[X] ?

Comment s’écrit une fraction rationnelle à coefficients dans $K$ ?

Quelles parties comporte la décomposition complexe de $\frac{P}{Q}$ lorsque $Q=\prod_{i=1}^{r}(X-\alpha_i)^{k_i}$ ?

Comment obtient-on la partie polynomiale de $\frac{P}{Q}$ par division euclidienne ?

Quels types de termes figurent dans la décomposition réelle d’une fraction rationnelle réduite ?

Quelle condition caractérise l’injectivité d’un morphisme de groupes $f:G\to G'$ ?

Quelle condition caractérise la surjectivité d’un morphisme de groupes $f:G\to G'$ ?

Quelle forme générale définit une équation linéaire en les inconnues ?

Qu’est-ce qu’une solution d’un système linéaire ?

Combien de solutions un système linéaire peut-il avoir ?

Quelle solution tout système linéaire homogène admet-il toujours ?

Que vaut le premier coefficient non nul de chaque ligne d’un système échelonné réduit ?

Quelles opérations élémentaires préservent les solutions d’un système linéaire ?

Pour des matrices de tailles $n\times p$ et $p\times q$, quelle est la taille de $AB$ ?

Quand le produit matriciel $AB$ est-il défini ?

Quelle propriété de multiplication permet de regrouper librement trois matrices ?

Quels sont les éléments diagonaux de la matrice identité $I_n$ ?

Quand une matrice carrée $A$ est-elle inversible ?

Quel est l’inverse du produit de matrices inversibles $A$ et $B$ ?

Quelle réduction permet de calculer l’inverse de $A$ par Gauss ?

Que représente $B$ dans le système linéaire $AX=B$ ?

Quand une matrice carrée est-elle triangulaire inférieure ?

Quand une matrice carrée est-elle triangulaire supérieure ?

À quelle condition une matrice carrée triangulaire est-elle inversible ?

Quelle est la taille de la transposée d’une matrice de taille $n \times p$ ?

Quelle est la transposée d’un produit de matrices compatibles $AB$ ?

Comment calcule-t-on la trace d’une matrice carrée ?

Quelle propriété relie les traces de $AB$ et $BA$ ?

Quelles conditions définissent un sous-espace vectoriel F de E ?

Quel critère caractérise un sous-espace non vide F de E ?

Quel est le statut des solutions de $AX=0$ à p variables dans $\mathbb{R}^p$ ?

Que forme l’intersection de deux sous-espaces vectoriels de E ?

Quels vecteurs constituent la somme $F+G$ de deux sous-espaces ?

Quel est le plus petit sous-espace contenant F et G ?

Quelle condition garantit l’unicité de la décomposition d’un élément de E dans F et G ?

Que montre l’exemple des quantificateurs sur $x+y>0$ dans $\mathbb{R}$ ?

Que contient l’ensemble vide et comment se note-t-il ?

Quels éléments appartiennent au complémentaire de A dans E ?

Quelle est la première loi de distributivité entre intersection et union ?

Quel est le complémentaire de $A \cap B$ ?

Quels couples appartiennent au produit cartésien $E \times F$ ?

Combien d’antécédents au maximum un élément de $F$ a-t-il par une application injective ?

Quelle est la réciproque de $\exp:\mathbb{R}\to ]0,+\infty[$ ?

Quelle est la valeur de $\binom{n}{0}$ ?

À quoi est égale la somme des coefficients binomiaux de rang $n$ ?

Comment traduit-on $\operatorname{dist}(\Omega,M)=r$ en équations avec les affixes $\omega$ et z ?

Quelle relation vérifie M pour A et B d’affixes +1 et −1 lorsque k vaut 2 ?

Quel critère avec les dérivées caractérise une racine α de multiplicité k ?

Quelle formule donne le polynôme dérivé de P(X) = a₀ + ··· + aₙXⁿ ?

Quelle est la première étape pour décomposer une fraction rationnelle ?

Pourquoi le noyau d’un morphisme de groupes est-il un sous-groupe du groupe de départ ?

Qu’est-ce qu’un système linéaire de n équations à p inconnues ?

Quand deux systèmes linéaires sont-ils équivalents ?

Comment appelle-t-on le produit d’un vecteur ligne et d’un vecteur colonne de même longueur ?

Que peut-on dire de matrices non nulles dont le produit vaut zéro ?

Que permet de conclure $AB=AC$ sur $B$ et $C$ en général ?

Quelle est la définition de la puissance zéro d’une matrice carrée $A$ ?

Quel est l’inverse de la matrice identité ?

Qu’implique $AC=BC$ lorsque $C$ est inversible ?

Quelle formule donne l’inverse d’une matrice $2\times2$ si $ad-bc\ne0$ ?

Quand une matrice est-elle diagonale ?

Pourquoi la réunion des axes de coordonnées de $\mathbb{R}^2$ n’est-elle pas un sous-espace ?