QCM : Le second degré (22 questions)

Explication

Une fonction polynôme de degré 2 s’écrit $ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ ; ici, le coefficient de $x^2$ vaut 5. Le terme constant non nul ne détermine pas le degré, et la condition d’une fonction affine porte sur le terme en $x$, pas sur celui en $x^2$.

Explication

Comme $(x-2)^2=x^2-4x+4$, on obtient $3x^2-12x+12-7=3x^2-12x+5$. Le coefficient $-6$ oublie la distribution du facteur 3, le signe positif inverse celui du terme linéaire et $-7$ ne tient pas compte de la constante issue du développement.

Explication

On calcule $\alpha=-\frac{8}{2\cdot4}=-1$, puis $\beta=f(-1)=4-8+1=-3$, d’où $4(x+1)^2-3$. Le terme $(x-1)^2$ inverse le signe associé à $\alpha$, tandis que les autres propositions attribuent incorrectement à $\alpha$ ou à $\beta$ des coefficients du trinôme.

Explication

On factorise d’abord 6 : $6(x^2-2x)+5$, puis on écrit $x^2-2x=(x-1)^2-1$. Ainsi, $6[(x-1)^2-1]+5=6(x-1)^2-1$ ; les autres formes utilisent un carré ou une compensation incorrects.

Explication

Comme $a=3>0$, l’extrémum est un minimum, égal à $\beta=-5$ et atteint en $x=\alpha=2$. Un maximum correspondrait à $a<0$, tandis que 2 est l’abscisse de l’extrémum et 3 le coefficient de la forme canonique.

Explication

Ici, $a=-2<0$ : la fonction admet donc un maximum égal à $\beta=7$, atteint en $x=\alpha=-4$. Un minimum correspondrait à un coefficient positif ; −4 est l’abscisse et −2 le coefficient.

Explication

Lorsque $a<0$, le trinôme croît jusqu’à $x=\alpha$, puis décroît ; ici $\alpha=3$. La variation inverse correspond à $a>0$, et 1 est la valeur de $\beta$, pas l’abscisse de l’extrémum.

Explication

La courbe représentative d’une fonction polynôme de degré 2 est une parabole. L’axe de symétrie et le sommet sont des éléments de cette courbe, tandis qu’une droite n’est pas la forme générale de son graphique.

Explication

L’axe de symétrie passe par le sommet, est parallèle à l’axe des ordonnées et son équation est $x=\alpha$ ; l’abscisse du sommet étant −2, l’équation est $x=-2$. $x=5$ utilise l’ordonnée du sommet, tandis que les équations en $y$ décrivent des droites horizontales.

Explication

Un discriminant négatif signifie que l’équation ne possède aucune solution réelle. Une solution double correspond à un discriminant nul, et deux solutions distinctes à un discriminant positif.

Explication

Une équation du second degré s’écrit $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne0$. L’équation dont le coefficient de $x^2$ est nul est linéaire, tandis que les autres propositions sont de degré un ou trois.

Explication

La somme des racines vaut $-\frac{b}{a}$ ; ici, $-\frac{6}{2}=-3$. La valeur $-4$ correspond au produit $\frac{c}{a}$, tandis que les autres réponses résultent d’une erreur de signe ou d’échelle.

Explication

Le produit des racines vaut $\frac{c}{a}=-4$. Ainsi, $x_2=\frac{-4}{2}=-2$ ; $-6$ provient d’un usage erroné de la somme, et les réponses positives négligent le signe du produit.

Explication

Lorsque le discriminant est nul, le trinôme s’écrit $a(x-x_0)^2$ : ici, cela donne $2(x-3)^2$. Deux facteurs distincts correspondent à un discriminant positif, omettre 2 oublie le coefficient dominant, et $x+3$ correspond à une racine égale à $-3$.

Explication

Avec un discriminant positif, un trinôme de racines $x_1$ et $x_2$ s’écrit $a(x-x_1)(x-x_2)$ ; avec $a=-3$, $x_1=-2$ et $x_2=4$, on obtient $-3(x+2)(x-4)$. Les autres expressions omettent le coefficient, en changent le signe ou inversent les signes des racines.

Explication

Un discriminant négatif signifie que le trinôme ne peut pas s’écrire comme un produit de polynômes réels de degré 1. Le carré d’un facteur correspond au discriminant nul, deux facteurs réels distincts au discriminant positif, tandis que les facteurs complexes ne sont pas des facteurs réels.

Explication

Quand le discriminant est négatif, le trinôme garde partout le signe de son coefficient dominant ; celui-ci étant négatif, le trinôme est négatif pour tout réel. Le signe positif inverse celui du coefficient, le changement de signe entre deux racines concerne un discriminant positif, et l’annulation en un point concerne un discriminant nul.

Explication

Avec un discriminant nul, le trinôme garde le signe de son coefficient dominant et s’annule à sa racine double ; ici, il est positif de part et d’autre de 2 et vaut zéro en 2. Le changement de signe correspond à deux racines distinctes, un signe négatif contredit le coefficient positif, et l’annulation en $-2$ change la racine donnée.

Explication

Pour un discriminant positif, le trinôme a le signe de son coefficient dominant à l’extérieur des racines et le signe opposé entre elles. Avec un coefficient dominant négatif, il est donc négatif à l’extérieur et positif entre $-1$ et 4 ; les autres répartitions inversent ce principe ou ne tiennent pas compte du changement de signe.

Explication

L’étude de position relative détermine où une courbe est au-dessus de l’autre et repère les éventuels points d’intersection. La recherche des seules intersections est incomplète, tandis que les variations et le domaine de définition répondent à d’autres questions.

Explication

Les abscisses des intersections vérifient $f(x)=g(x)$, donc $f(x)-g(x)=0$, ici $x^2-2x-3=0$. L’inéquation indique une position relative, l’addition ne compare pas les valeurs et les zéros séparés ne donnent pas les intersections des deux courbes.

Explication

Une différence négative signifie que $f(x)<g(x)$, donc la courbe $C_f$ est en dessous de $C_g$. « Au-dessus » inverse le lien entre signe et position, une intersection correspond à une différence nulle et le signe de $g$ seule ne fixe pas la position relative.