Fiche de révision : Le second degré

📋 Plan du Cours

1. Fonction polynôme de degré deux
2. Forme canonique du trinôme
3. Extremum et variations
4. Parabole et symétrie
5. Équation et discriminant
6. Somme et produit des racines
7. Factorisation du trinôme
8. Signe et inéquations
9. Position relative des courbes

📖 1. Fonction polynôme de degré deux

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme de degré 2 : Une fonction polynôme de degré 2 est définie sur ℝ par f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont réels et a ≠ 0.

📝 Points essentiels

📌 Dans la forme développée ax² + bx + c, a, b et c sont les coefficients du trinôme, et a doit être non nul pour que le degré soit 2.

• L’expression 2(x − 1)² − 8 se développe en 2x² − 4x − 6 et définit donc un polynôme de degré 2 de coefficients a = 2, b = −4 et c = −6.

📖 2. Forme canonique du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : La forme canonique d’un polynôme de degré 2 est f(x) = a(x − α)² + β, avec α = −b/(2a) et β = f(α).

📝 Points essentiels

• Pour transformer ax² + bx + c en forme canonique, on factorise a dans les termes en x² et x, on complète le carré, puis on simplifie les constantes.

📐 Formule - Pour f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0, la forme canonique est $f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$.

• Le trinôme 2x² − 20x + 10 s’écrit sous forme canonique 2(x − 5)² − 40.

📖 3. Extremum et variations

★ À maîtriser

📌 Pour f(x) = a(x − α)² + β, si a > 0, f admet un minimum β atteint en x = α.

📌 Pour f(x) = a(x − α)² + β, si a < 0, f admet un maximum β atteint en x = α.

• Si a > 0, le trinôme décroît jusqu’à x = α puis croît ; si a < 0, il croît jusqu’à x = α puis décroît.

Compléments

📐 Formule - L’abscisse de l’extrémum d’un trinôme ax² + bx + c est $\alpha=-\frac{b}{2a}$.

💡 Astuce mémo

a > 0 donne un minimum ; a < 0 donne un maximum.

📖 4. Parabole et symétrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : La courbe représentative d’une fonction polynôme de degré 2 est une parabole.
• Sommet : Le sommet de la parabole associée à f(x) = a(x − α)² + β est le point S de coordonnées (α ; f(α)).

📝 Points essentiels

• L’axe de symétrie de la parabole passe par son sommet, est parallèle à l’axe des ordonnées et a pour équation x = α.

📌 Si a > 0, la parabole est tournée vers le haut ; si a < 0, elle est tournée vers le bas.

📖 5. Équation et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Une équation du second degré est de la forme ax² + bx + c = 0, avec a, b et c réels et a ≠ 0.
• Racine : Une racine du trinôme ax² + bx + c est une solution x₁ de l’équation ax² + bx + c = 0, donc f(x₁) = 0.
• Discriminant : Le discriminant du trinôme ax² + bx + c est le nombre réel Δ = b² − 4ac.

📝 Points essentiels

📌 Si Δ < 0, l’équation ax² + bx + c = 0 n’admet aucune solution réelle.

📌 Si Δ = 0, l’équation admet une solution unique x₀ = −b/(2a).

📐 Formule - Si Δ > 0, les deux solutions sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

💡 Astuce mémo

Δ < 0 : aucune racine ; Δ = 0 : une racine ; Δ > 0 : deux racines.

📖 6. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un trinôme ax² + bx + c dont les racines sont x₁ et x₂, leur somme vaut $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$.

📐 Formule - Pour un trinôme ax² + bx + c dont les racines sont x₁ et x₂, leur produit vaut $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

Compléments

• Lorsqu’une racine x₁ est connue, l’autre racine se déduit de leur produit par x₂ = (c/a)/x₁, si x₁ ≠ 0.

📖 7. Factorisation du trinôme

★ À maîtriser

• Si Δ = 0, le trinôme se factorise sous la forme f(x) = a(x − x₀)².

• Si Δ > 0 et si x₁ et x₂ sont les racines, le trinôme se factorise sous la forme f(x) = a(x − x₁)(x − x₂).

• Si Δ < 0, le trinôme ne peut pas se factoriser en produit de polynômes réels de degré 1.

Compléments

• Le trinôme 4x² + 19x − 5, de racines −5 et 1/4, se factorise en (4x − 1)(x + 5).

📖 8. Signe et inéquations

★ À maîtriser

• Si Δ < 0, le trinôme garde partout le signe de a.

• Si Δ = 0, le trinôme garde le signe de a et s’annule uniquement en x₀ = −b/(2a).

• Si Δ > 0, le trinôme a le signe de a à l’extérieur des deux racines et le signe opposé entre elles.

Compléments

• Pour résoudre une inéquation portant sur un trinôme, on rassemble d’abord tous les termes dans un membre, on calcule ses racines réelles, puis on étudie son signe et on retient les intervalles satisfaisant l’inégalité.

📌 Dans une inéquation rationnelle, les zéros du dénominateur sont des valeurs interdites et doivent être exclus de l’ensemble solution.

📖 9. Position relative des courbes

🔑 Notions clés & Définitions

• Position relative : Étudier la position relative de deux courbes consiste à déterminer les intervalles où l’une est au-dessus de l’autre ainsi que leurs éventuels points d’intersection.

📝 Points essentiels

• Les abscisses des points d’intersection des courbes de f et g se déterminent en résolvant f(x) = g(x), soit f(x) − g(x) = 0.

📌 Sur leur domaine commun, si f(x) − g(x) > 0, la courbe Cf est au-dessus de Cg ; si f(x) − g(x) < 0, Cf est en dessous de Cg.

💡 Astuce mémo

f − g > 0 : Cf au-dessus ; f − g < 0 : Cf en dessous.