QCM : Analyse et algèbre linéaire (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une longueur est mesurée à 8,6 cm avec une incertitude de 0,2 cm. Quels éléments doivent figurer dans le résultat complet de la mesure ?

L’incertitude seule, sans valeur mesurée
La valeur mesurée et une incertitude strictement positive
La valeur mesurée sans indication d’incertitude
La valeur mesurée avec une incertitude égale à zéro

La valeur mesurée et une incertitude strictement positive

Explication

Un résultat de mesure comporte la valeur mesurée et une incertitude strictement positive. La valeur seule ou l’incertitude seule omet un élément nécessaire, tandis qu’une incertitude nulle ne respecte pas cette règle.

2. Une balance indique une masse de 50,0 g avec une incertitude absolue de 0,5 g. Quelle est l’incertitude relative, exprimée en pourcentage ?

1 %
0,5 %
0,01 %
100 %

1 %

Explication

L’incertitude relative est le rapport de l’incertitude absolue à la valeur absolue mesurée : 0,5/50,0=0,010{,}5/50{,}0=0{,}01, soit 1%1\%. L’inversion du rapport donne une valeur erronée, le facteur 1000 ne convient pas et 0,5 g n’est pas directement un pourcentage.

3. Pour estimer l’incertitude sur f(x,y)f(x,y), un technicien connaît les incertitudes de xx et yy ainsi que les dérivées partielles de ff. Quelle méthode doit-il appliquer ?

Soustraire les contributions afin que les erreurs de signe opposé se compensent
Additionner les incertitudes pondérées par les valeurs absolues des dérivées partielles
Additionner les incertitudes pondérées par les dérivées partielles signées
Additionner les dérivées partielles, sans tenir compte des incertitudes des variables

Additionner les incertitudes pondérées par les valeurs absolues des dérivées partielles

Explication

La propagation consiste à pondérer chaque incertitude par la valeur absolue de la dérivée partielle correspondante, puis à additionner les contributions. L’addition des dérivées omet les incertitudes, la soustraction suppose une compensation inconnue et les dérivées signées peuvent produire une compensation injustifiée.

4. Une grandeur est calculée par F=x2y3zF=x^2y^3z, avec x,y,z>0x,y,z>0. Les incertitudes relatives des trois mesures valent respectivement 1 %, 2 % et 3 %. Quelle incertitude relative est estimée pour FF ?

36 %
6 %
11 %
1 %

11 %

Explication

Pour un produit de puissances, les contributions relatives sont pondérées par les exposants : 2×1%+3×2%+1×3%=11%2\times1\%+3\times2\%+1\times3\%=11\%. Les exposants omis donnent 6 %, leur application supplémentaire donne 36 %, et la soustraction des contributions ne suit pas la règle.

5. Qu’est-ce qu’une combinaison linéaire des vecteurs u1,…,uku_1,\ldots,u_k ?

Un ensemble contenant les vecteurs u1,…,uku_1,\ldots,u_k et le vecteur nul
Un vecteur de la forme λ1u1+⋯+λkuk\lambda_1u_1+\cdots+\lambda_ku_k, où les coefficients sont réels
Un vecteur obtenu en multipliant chaque uiu_i par un coefficient entier positif
Un vecteur dont les coordonnées sont égales à celles de u1,…,uku_1,\ldots,u_k prises successivement

Un vecteur de la forme $$\lambda_1u_1+\cdots+\lambda_ku_k$$, où les coefficients sont réels

Explication

Une combinaison linéaire s’obtient en multipliant chaque vecteur de la famille par un coefficient réel, puis en additionnant les résultats. La définition n’impose pas que les coefficients soient des entiers positifs.

6. Combien de vecteurs une base contient-elle dans un espace vectoriel de dimension nn ?

n−1n-1 vecteurs
nn vecteurs
Un nombre variable selon la base choisie
n+1n+1 vecteurs

$$n$$ vecteurs

Explication

La dimension est définie comme le nombre de vecteurs contenus dans une base, donc toute base de cet espace en contient nn. L’option évoquant un nombre variable confond le choix des vecteurs de base avec leur nombre, qui reste fixé par la dimension.

7. À quoi sert la matrice de passage de la base EE à la base FF lorsqu’on connaît les coordonnées d’un vecteur dans FF ?

À exprimer les vecteurs de EE en coordonnées dans FF sans utiliser de matrice.
À calculer ses coordonnées dans FF en multipliant par la matrice de passage.
À vérifier que les vecteurs de FF engendrent l’espace en calculant leur déterminant.
À calculer ses coordonnées dans EE en multipliant par la matrice de passage.

À calculer ses coordonnées dans $$E$$ en multipliant par la matrice de passage.

Explication

La matrice de passage de EE à FF a pour colonnes les coordonnées, dans EE, des vecteurs de FF, et elle transforme [v]F[v]_F en [v]E[v]_E. Pour passer des coordonnées dans EE à celles dans FF, il faut utiliser la matrice inverse.

8. Comment le critère du déterminant distingue-t-il trois vecteurs formant une base de R3\mathbb{R}^3 d’une famille qui n’en forme pas une ?

Ils forment une base si chacun des trois vecteurs a une norme égale à un.
Ils forment une base si le déterminant de la matrice ayant ces vecteurs pour colonnes est égal à zéro.
Ils forment une base si le déterminant de la matrice ayant ces vecteurs pour colonnes est non nul.
Ils forment une base si la somme des coefficients diagonaux de cette matrice est non nulle.

Ils forment une base si le déterminant de la matrice ayant ces vecteurs pour colonnes est non nul.

Explication

Un déterminant non nul garantit que les trois colonnes sont linéairement indépendantes et constituent une base de R3\mathbb{R}^3. Un déterminant nul indique au contraire que les colonnes sont dépendantes, et la famille ne forme pas une base.

9. Pourquoi des vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes sont-ils utiles pour construire une base de diagonalisation ?

Ils forment une famille libre, qui peut servir de base si elle contient assez de vecteurs.
Ils ont tous la même direction, ce qui permet de réduire la matrice à un scalaire.
Ils garantissent que toute matrice possède une base de vecteurs propres réels.
Ils annulent le déterminant de la matrice initiale et rendent celle-ci inversible.

Ils forment une famille libre, qui peut servir de base si elle contient assez de vecteurs.

Explication

Des vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes forment une famille libre, ce qui permet de les utiliser comme vecteurs de base lorsqu’ils sont assez nombreux. En revanche, cette propriété ne garantit pas que toute matrice possède une base de vecteurs propres réels.

10. Pour calculer une intégrale double sur un domaine à partir de son dessin, quelle démarche permet de déterminer les bornes d’intégration ?

Choisir les bornes extérieures à partir des axes, puis intégrer sans tenir compte des intersections des frontières.
Calculer l’aire totale du domaine, puis utiliser cette aire comme borne intérieure des deux intégrales.
Transformer le domaine en coordonnées polaires, même si ses frontières ne présentent pas de symétrie circulaire.
Tracer les frontières, repérer leurs intersections, choisir des tranches et lire les bornes, en découpant le domaine si besoin.

Tracer les frontières, repérer leurs intersections, choisir des tranches et lire les bornes, en découpant le domaine si besoin.

Explication

Cette démarche traduit la géométrie du domaine en tranches, dont on déduit les bornes intérieure et extérieure; un découpage est parfois nécessaire. Déterminer les bornes à partir des axes sans examiner les intersections risque de décrire une région différente.

11. Quelle propriété caractérise le changement d’élément d’aire lors du passage aux coordonnées polaires ?

L’élément d’aire devient dr dθdr\,d\theta, sans facteur dépendant du rayon.
L’élément d’aire devient r dr dθr\,dr\,d\theta, avec un facteur radial rr.
L’élément d’aire devient r2 dr dθr^2\,dr\,d\theta, avec un facteur quadratique.
L’élément d’aire devient 1r dr dθ\frac{1}{r}\,dr\,d\theta, avec un facteur inverse.

L’élément d’aire devient $$r\,dr\,d\theta$$, avec un facteur radial $$r$$.

Explication

Le facteur rr tient compte de l’augmentation de la longueur d’arc avec la distance à l’origine, de sorte que dx dy=r dr dθdx\,dy=r\,dr\,d\theta. L’expression dr dθdr\,d\theta omettrait cette variation et ne représenterait pas correctement l’aire.

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Quels éléments comporte un résultat de mesure ?

Une valeur mesurée et une incertitude strictement positive.

Comment s’exprime l’incertitude absolue par rapport à la grandeur mesurée ?

Dans la même unité que la grandeur mesurée.

Comment obtient-on l’incertitude propagée d’une fonction dérivable ?

En additionnant les incertitudes des variables pondérées par les valeurs absolues des dérivées partielles.

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