Fiche de révision : Cercle trigonométrique et identités

📋 Plan du Cours

1. Cercle trigonométrique et radians
2. Cosinus, sinus et valeurs remarquables
3. Symétries et rotations trigonométriques
4. Formules de calcul trigonométrique
5. Équations trigonométriques dans les réels

📖 1. Cercle trigonométrique et radians

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : Cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct, inverse des aiguilles d’une montre.
• Mesure en radians : Tout réel associé au point M du cercle trigonométrique pour l’angle orienté de vecteurs OI et OM.

★ À maîtriser

• La mesure principale d’un angle est son unique mesure appartenant à l’intervalle ]−π ; π].

📐 Formule - La conversion entre degrés et radians vérifie $180° = \pi\,\text{rad}$.

Compléments

• L’enroulement de la droite réelle tangente au cercle en I associe à tout réel x un unique point M du cercle trigonométrique.

• Si x mesure un angle orienté, alors x + 2kπ en est aussi une mesure pour tout entier k.

• Dans un cercle quelconque, la mesure en radians est le quotient de la longueur de l’arc intercepté par l’angle au centre par le rayon, et constitue un coefficient sans unité.

💡 Astuce mémo

Sens direct : inverse des aiguilles d’une montre ; degrés : unité non physique.

📖 2. Cosinus, sinus et valeurs remarquables

🔑 Notions clés & Définitions

• Cosinus : L’abscisse du point du cercle trigonométrique associé à x.
• Sinus : L’ordonnée du point du cercle trigonométrique associé à x.
• Tangente : Pour tout x tel que cos x ≠ 0, la tangente de x est le quotient de sin x par cos x.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour tout réel x, $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.

• Les valeurs remarquables sont : pour x = 0, (cos x, sin x, tan x) = (1, 0, 0) ; pour π/6, (√3/2, 1/2, √3/3) ; pour π/4, (√2/2, √2/2, 1) ; pour π/3, (1/2, √3/2, √3) ; pour π/2, (0, 1, indéfinie).

💡 Astuce mémo

Sur le cercle, le cosinus est l’abscisse et le sinus l’ordonnée.

📖 3. Symétries et rotations trigonométriques

📝 Points essentiels

📐 Formule - Les symétries et rotations donnent $\cos(-x)=\cos x$, $\cos(\pi+x)=-\cos x$, $\cos(\pi-x)=-\cos x$, $\cos(\frac{\pi}{2}-x)=\sin x$ et $\cos(\frac{\pi}{2}+x)=-\sin x$.

💡 Astuce mémo

Le cosinus est pair, le sinus est impair.

📖 4. Formules de calcul trigonométrique

★ À maîtriser

📐 Formule - Les formules d’addition et de soustraction sont $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$, $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$, $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ et $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$.

📐 Formule - Les formules de duplication sont $\cos(2a)=2\cos^2 a-1=1-2\sin^2 a$ et $\sin(2a)=2\cos a\sin a$.

Compléments

📐 Formule - Les formules produit-somme sont $\cos a\cos b=\frac{1}{2}\bigl(\cos(a+b)+\cos(a-b)\bigr)$, $\sin a\sin b=-\frac{1}{2}\bigl(\cos(a+b)-\cos(a-b)\bigr)$ et $\sin a\cos b=\frac{1}{2}\bigl(\sin(a+b)+\sin(a-b)\bigr)$.

📐 Formule - Lorsque les tangentes sont définies et que $1-\tan a\tan b\ne 0$, $\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$.

📖 5. Équations trigonométriques dans les réels

★ À maîtriser

📌 Pour résoudre cos x = cos a dans ℝ, les solutions sont x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ, avec k entier.

Compléments

• Les solutions de sin 2x = sin(π/7) sont x = π/14 + kπ ou x = 3π/7 + kπ, avec k entier.

📊 Tableaux de synthèse

Repères pour les équations trigonométriques