Fiche de révision : Nombres complexes

📋 Plan du Cours

1. Forme algébrique et conjugué
2. Représentation et module
3. Quotients complexes
4. Applications aux circuits électriques
5. Racines carrées complexes
6. Équations du second degré complexes

📖 1. Forme algébrique et conjugué

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble des nombres complexes : L’ensemble des nombres complexes, noté ℂ, contient les nombres de la forme $a+ib$ avec $a$ et $b$ réels et $i^2=-1$.
• Forme algébrique : L’écriture $a+ib$ d’un nombre complexe, avec $a,b\in\mathbb{R}$, est sa forme algébrique.
• Partie réelle : Dans la forme algébrique $z=a+ib$, $a$ est la partie réelle de $z$, notée $\mathrm{Re}(z)$.
• Partie imaginaire : Dans la forme algébrique $z=a+ib$, $b$ est la partie imaginaire de $z$, notée $\mathrm{Im}(z)$.
• Nombre conjugué : Le conjugué de $z=a+ib$ est $\overline z=a-ib$.

📖 2. Représentation et module

🔑 Notions clés & Définitions

• Module : Le module d’un complexe non nul $z=a+ib$ est le réel positif $|z|$ égal à la distance entre l’origine et le point d’affixe $z$, et vérifie $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.

★ À maîtriser

• Dans le plan complexe, la partie réelle est portée sur l’axe des abscisses et la partie imaginaire sur l’axe des ordonnées.

Compléments

• L’affixe d’un point du plan complexe est le nombre complexe qui lui est associé.

• Pour $z=3-i$, le module vaut $|z|=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}$.

• En électricité, le nombre imaginaire est noté $j$ plutôt que $i$, les nombres complexes sont soulignés, et un nombre non souligné désigne le module.

💡 Astuce mémo

Dans le plan, la partie réelle place le point horizontalement et la partie imaginaire verticalement.

📖 3. Quotients complexes

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $z=a+ib$, le produit du nombre par son conjugué vérifie $z\overline z=a^2+b^2$.

• Pour mettre un quotient de complexes sous forme algébrique, multiplier son numérateur et son dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Compléments

• Le quotient $\frac{4-i}{1+2i}$ s’écrit sous forme algébrique $\frac25-\frac95i$.

📖 4. Applications aux circuits électriques

📝 Points essentiels

📌 Dans un montage en série, l’impédance totale est la somme des impédances des dipôles : $Z=R+jL\omega+\frac{1}{j\omega C}$, avec $\omega=2\pi f$.

📌 Dans un montage en parallèle, l’admittance totale est la somme des admittances des dipôles : $\frac1Z=\frac1R+\frac1{jL\omega}+j\omega C$, avec $\omega=2\pi f$.

💡 Astuce mémo

En série, les impédances s’additionnent ; en parallèle, ce sont les admittances.

📖 5. Racines carrées complexes

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta=X+iY$ et $\delta=x+iy$, alors $\delta$ est une racine carrée de $\Delta$ si et seulement si $x^2-y^2=X$ et $2xy=Y$.

📌 Pour déterminer les racines carrées de $\Delta$, on peut résoudre le système $x^2+y^2=|\Delta|$, $x^2-y^2=\mathrm{Re}(\Delta)$ et $2xy=\mathrm{Im}(\Delta)$.

Compléments

• Les racines carrées de $3+4i$ sont $2+i$ et $-2-i$.

📖 6. Équations du second degré complexes

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $az^2+bz+c=0$ avec $a\ne0$, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$ et les solutions sont $z_1=\frac{-b-\delta}{2a}$ et $z_2=\frac{-b+\delta}{2a}$, où $\delta$ est une racine carrée de $\Delta$.

• Pour résoudre une équation du second degré à coefficients complexes, calculer $\Delta=b^2-4ac$, déterminer une racine carrée $\delta$ de $\Delta$, puis appliquer les formules $z_1=\frac{-b-\delta}{2a}$ et $z_2=\frac{-b+\delta}{2a}$.

Compléments

• L’équation $z^2+(3i-4)z+1-7i=0$ a pour solutions $3-i$ et $1-2i$.

📊 Tableaux de synthèse

Montages électriques