QCM : Nombres complexes (10 questions)

Question 1

1. Pour le complexe $z=5-3i$ , quelle est la partie imaginaire $\mathrm{Im}(z)$ ?

-5

3

-3

5

Explication

Dans la forme algébrique $a+ib$ , la partie imaginaire est le coefficient $b$ , ici $-3$ . La valeur $5$ est la partie réelle, tandis que $3$ et $-5$ résultent d’une erreur de signe ou de coefficient.

Answer

La forme algébrique

Answer

$$(-4,2)$$

Answer

Le produit d’un complexe par son conjugué donne la somme des carrés de ses parties réelle et imaginaire.

Answer

$$Z=R+jL\omega+\frac{1}{j\omega C}$$

Answer

Il permet de déterminer les parties réelle et imaginaire d’une racine carrée de $$\Delta$$.

Answer

Elle calcule d’abord le discriminant, puis en trouve une racine carrée avant d’appliquer les formules des solutions.

Answer

La partie réelle reste inchangée et la partie imaginaire change de signe.

Answer

Calculer $$\sqrt{(-6)^2+8^2}$$, ce qui donne $$10$$.

Question 2

2. Comment appelle-t-on l’écriture $a+ib$ d’un nombre complexe, où $a$ et $b$ sont réels ?

L’affixe graphique

La forme algébrique

Le module complexe

Le conjugué complexe

Explication

L’écriture $a+ib$ , avec $a$ et $b$ réels, est la forme algébrique d’un nombre complexe. L’affixe relève de l’association d’un complexe à un point, le module est une distance et le conjugué change le signe de la partie imaginaire.

Question 3

3. Dans un repère du plan complexe, on place le point d’affixe $z=-4+2i$ . Quelles sont les coordonnées du point, dans l’ordre abscisse puis ordonnée ?

(-4,-2)

(-4,2)

(4,2)

(2,-4)

Explication

La partie réelle donne l’abscisse et la partie imaginaire donne l’ordonnée : le point a donc pour coordonnées $(-4,2)$ . Le couple $(2,-4)$ inverse les axes, $(4,2)$ oublie le signe de la partie réelle et $(-4,-2)$ inverse celui de la partie imaginaire.

Question 4

4. Un point a pour affixe $z=5-12i$ . Quelle est sa distance à l’origine ?

13

5

119

17

Explication

Le module est la distance à l’origine et vaut $|z|=\sqrt{5^2+(-12)^2}=\sqrt{169}=13$ . $17$ provient de l’addition directe, $5$ néglige la partie imaginaire et $119$ correspond à une différence des carrés.

Question 5

5. Que signifie la relation $z\overline z=a^2+b^2$ pour $z=a+ib$ ?

Le produit d’un complexe par son conjugué donne la somme des carrés de ses parties réelle et imaginaire.

Le produit d’un complexe par son conjugué donne la différence des carrés de ses parties réelle et imaginaire.

La somme d’un complexe et de son conjugué donne la somme des carrés de ses parties réelle et imaginaire.

Le quotient d’un complexe par son conjugué donne la somme des carrés de ses parties réelle et imaginaire.

Explication

Le conjugué de $a+ib$ est $a-ib$ , et leur produit vaut $a^2+b^2$ . La différence des carrés apparaît dans d’autres développements, mais pas dans ce produit.

Question 6

6. Dans un circuit en série comportant une résistance, une inductance et un condensateur, quelle expression donne l’impédance totale ?

Z=R+jL\omega+\frac{1}{j\omega C}

\frac{1}{Z}=R+jL\omega+\frac{1}{j\omega C}

Z=\frac{1}{R}+\frac{1}{jL\omega}+j\omega C

\frac{1}{Z}=\frac{1}{R}+\frac{1}{jL\omega}+j\omega C

Explication

En série, les impédances des dipôles s’additionnent et donnent cette expression de l’impédance totale. L’expression faisant intervenir la somme des inverses correspond à l’admittance totale d’un montage en parallèle.

Question 7

7. Lorsqu’on cherche les racines carrées de $\Delta=X+iY$ en posant $\delta=x+iy$ , quel rôle joue le système $x^2+y^2=|\Delta|$ , $x^2-y^2=X$ et $2xy=Y$ ?

Il permet de déterminer les parties réelle et imaginaire d’une racine carrée de

\Delta

.

Il permet de vérifier si deux nombres complexes sont conjugués.

Il permet de calculer directement le module et l’argument de

\Delta

.

Il permet de convertir

\Delta

en forme trigonométrique sans chercher de racine.

Explication

Ce système traduit les conditions obtenues en développant $\delta^2=\Delta$ et permet donc de trouver $x$ et $y$ . Le module et l’argument peuvent décrire $\Delta$ , mais leur calcul n’est pas le rôle de ce système.

Question 8

8. En quoi la méthode de résolution d’une équation du second degré complexe diffère-t-elle de la détermination directe d’une racine carrée du discriminant ?

Elle factorise l’équation en deux termes linéaires sans calculer le discriminant ni ses racines carrées.

Elle cherche directement les solutions en séparant les parties réelle et imaginaire de l’équation initiale.

Elle détermine d’abord le module du discriminant, puis utilise celui-ci comme solution de l’équation.

Elle calcule d’abord le discriminant, puis en trouve une racine carrée avant d’appliquer les formules des solutions.

Explication

La résolution complète exige de calculer le discriminant, d’en déterminer une racine carrée, puis d’utiliser les formules quadratiques pour obtenir les solutions. La détermination directe d’une racine carrée du discriminant ne fournit que cette racine, et non à elle seule les solutions de l’équation.

Question 9

9. Quand on prend le conjugué d’un complexe $z=a+ib$ , quel effet cela a-t-il sur ses parties réelle et imaginaire ?

La partie réelle change de signe et la partie imaginaire reste inchangée.

La partie réelle reste inchangée et la partie imaginaire change de signe.

Les deux parties restent inchangées.

Les deux parties changent de signe.

Explication

Le conjugué de $a+ib$ est $a-ib$ : seule la partie imaginaire voit son signe inversé. Inverser le signe de la partie réelle correspondrait à $-a+ib$ , et non au conjugué.

Question 10

10. Pour déterminer la distance entre l’origine et le point d’affixe $z=-6+8i$ , quelle opération faut-il appliquer aux parties réelle et imaginaire ?

Calculer

\sqrt{(-6)^2+8^2}

, ce qui donne

10

.

Additionner les valeurs absolues des deux parties, ce qui donne

14

.

Calculer

\sqrt{(-6)^2-8^2}

, ce qui donne

-\sqrt{28}

.

Calculer

(-6)^2+8^2

sans extraire la racine, ce qui donne

100

.

Explication

Le module se calcule comme la racine carrée de la somme des carrés des parties réelle et imaginaire, ce qui correspond ici à la distance recherchée. La somme des valeurs absolues donne une autre grandeur et ne mesure pas la distance directe à l’origine.

QCM : Nombres complexes (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour le complexe $z=5-3i$ , quelle est la partie imaginaire $\mathrm{Im}(z)$ ?

2. Comment appelle-t-on l’écriture $a+ib$ d’un nombre complexe, où $a$ et $b$ sont réels ?

3. Dans un repère du plan complexe, on place le point d’affixe $z=-4+2i$ . Quelles sont les coordonnées du point, dans l’ordre abscisse puis ordonnée ?

4. Un point a pour affixe $z=5-12i$ . Quelle est sa distance à l’origine ?

5. Que signifie la relation $z\overline z=a^2+b^2$ pour $z=a+ib$ ?

6. Dans un circuit en série comportant une résistance, une inductance et un condensateur, quelle expression donne l’impédance totale ?

7. Lorsqu’on cherche les racines carrées de $\Delta=X+iY$ en posant $\delta=x+iy$ , quel rôle joue le système $x^2+y^2=|\Delta|$ , $x^2-y^2=X$ et $2xy=Y$ ?

8. En quoi la méthode de résolution d’une équation du second degré complexe diffère-t-elle de la détermination directe d’une racine carrée du discriminant ?

9. Quand on prend le conjugué d’un complexe $z=a+ib$ , quel effet cela a-t-il sur ses parties réelle et imaginaire ?

10. Pour déterminer la distance entre l’origine et le point d’affixe $z=-6+8i$ , quelle opération faut-il appliquer aux parties réelle et imaginaire ?

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QCM : Nombres complexes (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour le complexe z=5−3iz=5-3iz=5−3i, quelle est la partie imaginaire Im(z)\mathrm{Im}(z)Im(z) ?

2. Comment appelle-t-on l’écriture a+iba+iba+ib d’un nombre complexe, où aaa et bbb sont réels ?

3. Dans un repère du plan complexe, on place le point d’affixe z=−4+2iz=-4+2iz=−4+2i. Quelles sont les coordonnées du point, dans l’ordre abscisse puis ordonnée ?

4. Un point a pour affixe z=5−12iz=5-12iz=5−12i. Quelle est sa distance à l’origine ?

5. Que signifie la relation zz‾=a2+b2z\overline z=a^2+b^2zz=a2+b2 pour z=a+ibz=a+ibz=a+ib ?

6. Dans un circuit en série comportant une résistance, une inductance et un condensateur, quelle expression donne l’impédance totale ?

7. Lorsqu’on cherche les racines carrées de Δ=X+iY\Delta=X+iYΔ=X+iY en posant δ=x+iy\delta=x+iyδ=x+iy, quel rôle joue le système x2+y2=∣Δ∣x^2+y^2=|\Delta|x2+y2=∣Δ∣, x2−y2=Xx^2-y^2=Xx2−y2=X et 2xy=Y2xy=Y2xy=Y ?

8. En quoi la méthode de résolution d’une équation du second degré complexe diffère-t-elle de la détermination directe d’une racine carrée du discriminant ?

9. Quand on prend le conjugué d’un complexe z=a+ibz=a+ibz=a+ib, quel effet cela a-t-il sur ses parties réelle et imaginaire ?

10. Pour déterminer la distance entre l’origine et le point d’affixe z=−6+8iz=-6+8iz=−6+8i, quelle opération faut-il appliquer aux parties réelle et imaginaire ?

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1. Pour le complexe $z=5-3i$ , quelle est la partie imaginaire $\mathrm{Im}(z)$ ?

2. Comment appelle-t-on l’écriture $a+ib$ d’un nombre complexe, où $a$ et $b$ sont réels ?

3. Dans un repère du plan complexe, on place le point d’affixe $z=-4+2i$ . Quelles sont les coordonnées du point, dans l’ordre abscisse puis ordonnée ?

4. Un point a pour affixe $z=5-12i$ . Quelle est sa distance à l’origine ?

5. Que signifie la relation $z\overline z=a^2+b^2$ pour $z=a+ib$ ?

7. Lorsqu’on cherche les racines carrées de $\Delta=X+iY$ en posant $\delta=x+iy$ , quel rôle joue le système $x^2+y^2=|\Delta|$ , $x^2-y^2=X$ et $2xy=Y$ ?

9. Quand on prend le conjugué d’un complexe $z=a+ib$ , quel effet cela a-t-il sur ses parties réelle et imaginaire ?

10. Pour déterminer la distance entre l’origine et le point d’affixe $z=-6+8i$ , quelle opération faut-il appliquer aux parties réelle et imaginaire ?