QCM : Cercle trigonométrique et identités (14 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans un repère, quelle description correspond au cercle trigonométrique ?

Le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre
Le cercle de centre I et de rayon 1, orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre
Le cercle de centre O et de diamètre 1, orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre
Le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens des aiguilles d’une montre

Le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

Explication

Le cercle trigonométrique est de centre O, de rayon 1 et orienté dans le sens direct, soit dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Le diamètre 1 confond rayon et diamètre, le sens horaire inverse l’orientation et le centre I déplace le centre.

2. Sur le cercle trigonométrique, que désigne une mesure en radians de l’angle orienté formé par les vecteurs OI→\overrightarrow{OI} et OM→\overrightarrow{OM} ?

La longueur de l’arc de I à M
Un réel associé au point I du cercle
L’unique réel de l’intervalle ]−π;π]] -\pi;\pi] associé à M
Un réel associé au point M du cercle

Un réel associé au point M du cercle

Explication

Une mesure en radians de cet angle orienté est tout réel associé au point M du cercle trigonométrique. La longueur de l’arc est une autre grandeur, le point I est le point de départ, et l’intervalle indiqué caractérise la mesure principale, pas toutes les mesures.

3. Un angle a pour mesures 7π6\frac{7\pi}{6} et −5π6-\frac{5\pi}{6}. Quelle est sa mesure principale ?

7π6\frac{7\pi}{6}
−5π6-\frac{5\pi}{6}
−7π6-\frac{7\pi}{6}
5π6\frac{5\pi}{6}

$$-\frac{5\pi}{6}$$

Explication

La mesure principale est l’unique mesure de l’angle appartenant à ]−π;π]] -\pi;\pi] ; ici, c’est −5π6-\frac{5\pi}{6}. La valeur 7π6\frac{7\pi}{6} dépasse π\pi, −7π6-\frac{7\pi}{6} est hors de l’intervalle, et une mesure principale n’a pas à être positive.

4. Pour convertir un angle de 135∘135^\circ en radians, quelle valeur obtient-on en utilisant 180∘=π rad180^\circ=\pi\,\text{rad} ?

4π3 rad\frac{4\pi}{3}\,\text{rad}
135π180 rad\frac{135\pi}{180}\,\text{rad}
5π6 rad\frac{5\pi}{6}\,\text{rad}
3π4 rad\frac{3\pi}{4}\,\text{rad}

$$\frac{3\pi}{4}\,\text{rad}$$

Explication

La conversion donne 135×π180=3π4 rad135\times\frac{\pi}{180}=\frac{3\pi}{4}\,\text{rad}. Le rapport inversé donne une valeur incorrecte, multiplier par 180 ne convertit pas les degrés en radians, et 5π6\frac{5\pi}{6} correspond à 150∘150^\circ.

5. Un point associé à un angle a pour coordonnées (−12,32)\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right) sur le cercle trigonométrique. Quelle est la valeur du cosinus de cet angle ?

32\frac{\sqrt{3}}{2}
−32-\frac{\sqrt{3}}{2}
−12-\frac{1}{2}
12\frac{1}{2}

$$-\frac{1}{2}$$

Explication

Le cosinus est l’abscisse du point associé à l’angle, donc il vaut −12-\frac{1}{2}. 32\frac{\sqrt{3}}{2} est l’ordonnée, tandis que prendre la valeur absolue ou attribuer le sinus au cosinus modifie la coordonnée demandée.

6. Un point du cercle trigonométrique associé à un angle a pour coordonnées (22,−22)\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right). Quelle est la valeur du sinus de cet angle ?

−22-\frac{\sqrt{2}}{2} pour le cosinus
12\frac{1}{2}
22\frac{\sqrt{2}}{2}
−22-\frac{\sqrt{2}}{2}

$$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Explication

Le sinus est l’ordonnée du point associé : il vaut donc −22-\frac{\sqrt{2}}{2}. L’abscisse donne le cosinus, oublier le signe négatif change la valeur, et 12\frac{1}{2} n’est pas l’ordonnée indiquée.

7. Pour un angle xx tel que sin⁡x=35\sin x=\frac{3}{5} et cos⁡x=−45\cos x=-\frac{4}{5}, quelle est la valeur de tan⁡x\tan x ?

−15-\frac{1}{5}
−34-\frac{3}{4}
−43-\frac{4}{3}
34\frac{3}{4}

$$-\frac{3}{4}$$

Explication

Lorsque cos⁡x≠0\cos x\neq 0, tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\frac{\sin x}{\cos x} ; ainsi 3/5−4/5=−34\frac{3/5}{-4/5}=-\frac{3}{4}. Inverser le quotient donne −43-\frac{4}{3}, omettre le signe donne 34\frac{3}{4}, et la tangente n’est pas la somme des deux valeurs.

8. Une roue tourne d’un angle de π3\frac{\pi}{3}. Quel triplet donne, dans l’ordre, le cosinus, le sinus et la tangente de cet angle ?

(12,32,33)\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)
(32,12,33)\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)
(12,32,3)\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\sqrt{3}\right)
(32,12,3)\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},\sqrt{3}\right)

$$\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\sqrt{3}\right)$$

Explication

Pour x=π3x=\frac{\pi}{3}, les valeurs remarquables sont cos⁡x=12\cos x=\frac{1}{2}, sin⁡x=32\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2} et tan⁡x=3\tan x=\sqrt{3}. Échanger sinus et cosinus donne les valeurs de π6\frac{\pi}{6} pour les deux premiers termes, tandis que 33\frac{\sqrt{3}}{3} est la tangente de π6\frac{\pi}{6}.

9. Pour un angle xx tel que sin⁡x=35\sin x=\frac{3}{5}, quelle est la valeur de cos⁡(π2+x)\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right) ?

−45-\frac{4}{5}
35\frac{3}{5}
45\frac{4}{5}
−35-\frac{3}{5}

$$-\frac{3}{5}$$

Explication

La relation cos⁡(π2+x)=−sin⁡x\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x donne −35-\frac{3}{5}. La valeur positive oublie le signe, tandis que 45\frac{4}{5} et −45-\frac{4}{5} confondent sinus et cosinus.

10. Sachant que cos⁡x=−27\cos x=-\frac{2}{7}, quelle est la valeur de cos⁡(π−x)\cos(\pi-x) ?

27\frac{2}{7}
457\frac{\sqrt{45}}{7}
−27-\frac{2}{7}
−457-\frac{\sqrt{45}}{7}

$$\frac{2}{7}$$

Explication

La symétrie donne cos⁡(π−x)=−cos⁡x\cos(\pi-x)=-\cos x ; avec cos⁡x=−27\cos x=-\frac{2}{7}, on obtient 27\frac{2}{7}. La valeur inchangée néglige le signe opposé, et les valeurs en racine proviennent d’une confusion avec le sinus.

11. Une technicienne doit développer cos⁡(a−b)\cos(a-b) pour calculer une mesure résultant de deux angles. Quelle expression doit-elle utiliser ?

sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin a\cos b+\cos a\sin b
sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin a\cos b-\cos a\sin b
cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos a\cos b-\sin a\sin b
cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos a\cos b+\sin a\sin b

$$\cos a\cos b+\sin a\sin b$$

Explication

La formule de différence du cosinus est cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b. Le signe moins correspond au cosinus d’une somme, tandis que les deux autres expressions sont les formules du sinus.

12. Pour estimer rapidement une quantité angulaire, on connaît sin⁡a=35\sin a=\frac{3}{5}. Quelle expression permet de calculer directement cos⁡(2a)\cos(2a) ?

2(35)cos⁡a2\left(\frac{3}{5}\right)\cos a
1−(35)21-\left(\frac{3}{5}\right)^2
2(35)2−12\left(\frac{3}{5}\right)^2-1
1−2(35)21-2\left(\frac{3}{5}\right)^2

$$1-2\left(\frac{3}{5}\right)^2$$

Explication

La formule de duplication du cosinus donne cos⁡(2a)=1−2sin⁡2a\cos(2a)=1-2\sin^2 a, d’où 1−2(35)21-2\left(\frac{3}{5}\right)^2. L’expression avec cos⁡a\cos a correspond à la duplication du sinus, celle en 2sin⁡2a−12\sin^2 a-1 inverse les termes, et la dernière omet le facteur deux.

13. Un angle réel xx vérifie cos⁡x=cos⁡(2π9)\cos x=\cos\left(\frac{2\pi}{9}\right). Quelle forme décrit toutes les solutions dans R\mathbb{R} ?

x=2π9+kπx=\frac{2\pi}{9}+k\pi ou x=−2π9+kπx=-\frac{2\pi}{9}+k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb{Z}
x=2π9+2kπx=\frac{2\pi}{9}+2k\pi ou x=−2π9+2kπx=-\frac{2\pi}{9}+2k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb{Z}
x=2π9+2kπx=\frac{2\pi}{9}+2k\pi ou x=7π9+2kπx=\frac{7\pi}{9}+2k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb{Z}
x=2π9+2kπx=\frac{2\pi}{9}+2k\pi ou x=2π9+2kπx=\frac{2\pi}{9}+2k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb{Z}

$$x=\frac{2\pi}{9}+2k\pi$$ ou $$x=-\frac{2\pi}{9}+2k\pi$$, avec $$k\in\mathbb{Z}$$

Explication

Pour une équation de la forme cos⁡x=cos⁡a\cos x=\cos a, les angles sont aa et −a-a modulo 2π2\pi. La valeur 7π9\frac{7\pi}{9} transpose au cosinus le second angle de l’équation sinus, tandis que la période kπk\pi ou deux familles identiques ne conviennent pas.

14. Pour résoudre dans R\mathbb{R} l’équation sin⁡(3x)=sin⁡(π8)\sin(3x)=\sin\left(\frac{\pi}{8}\right), quelles familles de solutions obtient-on ?

x=π8+2kπx=\frac{\pi}{8}+2k\pi ou x=7π8+2kπx=\frac{7\pi}{8}+2k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb{Z}
x=π24+2kπ3x=\frac{\pi}{24}+\frac{2k\pi}{3} ou x=7π24+2kπ3x=\frac{7\pi}{24}+\frac{2k\pi}{3}, avec k∈Zk\in\mathbb{Z}
x=π24+2kπx=\frac{\pi}{24}+2k\pi ou x=7π24+2kπx=\frac{7\pi}{24}+2k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb{Z}
x=π24+2kπ3x=\frac{\pi}{24}+\frac{2k\pi}{3} ou x=−π24+2kπ3x=-\frac{\pi}{24}+\frac{2k\pi}{3}, avec k∈Zk\in\mathbb{Z}

$$x=\frac{\pi}{24}+\frac{2k\pi}{3}$$ ou $$x=\frac{7\pi}{24}+\frac{2k\pi}{3}$$, avec $$k\in\mathbb{Z}$$

Explication

Les angles qui ont le même sinus que π8\frac{\pi}{8} sont π8\frac{\pi}{8} et π−π8=7π8\pi-\frac{\pi}{8}=\frac{7\pi}{8}, modulo 2π2\pi. En divisant les égalités portant sur 3x3x par 3, on obtient les deux familles de période 2π3\frac{2\pi}{3} ; les angles négatifs relèvent de la règle du cosinus, et les autres choix omettent ou modifient la division.

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Comment définit-on le cercle trigonométrique ?

C’est le cercle de centre O, de rayon 1, orienté dans le sens direct.

À quoi correspond une mesure en radians de l’angle orienté de OI et OM ?

À tout réel associé au point M du cercle trigonométrique.

Dans quel intervalle se trouve l’unique mesure principale d’un angle ?

Dans l’intervalle ]−π ; π]]-\pi\,;\,\pi].

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