Fiche de révision : Cercles et tangentes dans le plan

📋 Plan du Cours

1. Équation et caractéristiques du cercle
2. Tangence d’une droite au cercle
3. Tangente en un point du cercle
4. Translation du cercle

📖 1. Équation et caractéristiques du cercle

★ À maîtriser

📐 Formule - L’équation $x^2+y^2+2x-15=0$ se réécrit $(x+1)^2+y^2=16$, donc le cercle a pour centre $I(-1{,}0)$ et pour rayon $R=4$.

Compléments

• Le point $K(3{,}0)$ appartient au cercle car ses coordonnées vérifient $3^2+0^2+2\times3-15=0$.

📖 2. Tangence d’une droite au cercle

★ À maîtriser

📐 Formule - La distance du centre $I(-1{,}0)$ à la droite $\Delta:x-\sqrt3y-7=0$ vaut $d(I,\Delta)=\frac{|1\times(-1)-\sqrt3\times0-7|}{\sqrt{1^2+(-\sqrt3)^2}}=4$.

📌 Une droite est tangente à un cercle lorsque la distance entre le centre du cercle et la droite est égale au rayon.

Compléments

• La droite $\Delta:x-\sqrt3y-7=0$ est tangente au cercle de centre $I(-1{,}0)$ et de rayon $4$.

• L’unique point d’intersection de $\Delta$ et du cercle est $A(1,-2\sqrt3)$.

💡 Astuce mémo

Distance au centre égale au rayon → tangence

📖 3. Tangente en un point du cercle

★ À maîtriser

📌 La tangente à un cercle en un point est perpendiculaire au rayon qui aboutit à ce point.

Compléments

• Un vecteur normal à une droite d’équation $ax+by+c=0$ est $\vec n(a,b)$.

📐 Formule - Pour $I(-1{,}0)$ et $K(3{,}0)$, $\overrightarrow{IK}=(4{,}0)$, ce qui conduit à l’équation de la tangente $T:4x-12=0$, soit $x=3$.

📖 4. Translation du cercle

★ À maîtriser

• La translation de vecteur $\vec v=(0{,}1)$ conserve le rayon du cercle, qui reste égal à $4$.

Compléments

📐 Formule - L’image du centre $I(-1{,}0)$ par la translation de vecteur $(0{,}1)$ est $J(-1{,}1)$, car $\overrightarrow{IJ}=(0{,}1)$.