Fiche de révision : Équations et inéquations

📋 Plan du Cours

1. Rédaction et calcul numérique
2. Manipulation des expressions littérales
3. Résolution des équations exponentielles
4. Équations produit nul
5. Équations du second degré
6. Équations avec puissances
7. Règles générales des inéquations
8. Intervalles et solutions
9. Exponentielle et logarithme en inéquation
10. Tableaux de signes
11. Proportions et variations
12. Coefficients et évolutions successives
13. Suites arithmétiques et géométriques
14. Valeurs et taux financiers
15. Changement de base de temps
16. Constitution d’un capital par annuités
17. Remboursement et amortissement des emprunts
18. Calcul des annuités et emprunts

📖 1. Rédaction et calcul numérique

★ À maîtriser

• Pour présenter un calcul, on l’introduit par une notation ou une formule, on écrit les étapes successives sur des lignes distinctes avec les signes égal alignés, puis on met en valeur le résultat ; un calcul court peut tenir sur une seule ligne.

• 🔄 L’ordre des opérations est le suivant :

  1. Effectuer le contenu des parenthèses.
  2. Calculer les puissances.
  3. Effectuer les multiplications et divisions.
  4. Effectuer les additions et soustractions dans l’ordre de lecture.

📐 Formule - Pour les puissances, $x^a\times x^b=x^{a+b}$, $(x^a)^b=x^{ab}$ et $x^a y^a=(xy)^a$ lorsque les opérations sont définies.

Compléments

• Les calculs à savoir effectuer sans calculatrice comprennent : les opérations élémentaires et les tables d’additions, de soustractions, de multiplications et de divisions associées, les carrés jusqu’à 12² et leurs racines carrées associées, les additions avec au plus une retenue, les multiplications et divisions par 2 avec au plus une retenue, les multiplications et divisions par des puissances de 10, les simplifications de fractions, les mises au même dénominateur et les opérations sur les fractions, les compléments à 1, 10 et 100, les valeurs décimales de 1/2, 1/4, 1/5 et 1/10ᵏ, ainsi que les valeurs particulières de ln et de l’exponentielle

• La juxtaposition d’un nombre, d’une variable ou d’une parenthèse fermante avec une variable ou une parenthèse ouvrante indique une multiplication implicite, comme dans $3xy=3\times x\times y$ et $(x+1)(x+2)=(x+1)\times(x+2)$.

• Pour un réel x non nul et un entier positif n, l’exposant négatif vérifie $x^{-n}=\frac{1}{x^n}$.

• Pour x positif et des entiers positifs a et b, la puissance fractionnaire vérifie $x^{a/b}=(x^a)^{1/b}=(x^{1/b})^a$, et $x^{1/n}=\sqrt[n]{x}$.

• Dans une puissance imbriquée sans parenthèses, l’exposant est lui-même prioritaire : $3^{3^3}=3^{(3^3)}=3^{27}$, ce qui diffère de $(3^3)^3=3^9$.

• Dans une fraction, le numérateur et le dénominateur sont prioritaires sur la division ; on évite le symbole ÷ pour prévenir les ambiguïtés.

📖 2. Manipulation des expressions littérales

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement : Consiste à transformer une expression en produit en une somme d’éléments.
• Factorisation : Consiste à transformer une somme d’éléments en une expression sous forme de produit.

★ À maîtriser

📌 Lors d’une substitution, l’expression substituée doit être mise entre parenthèses par défaut, en particulier si elle contient un nombre négatif ou une addition.

📐 Formule - La distributivité simple et la double distributivité s’écrivent $a(b+c)=ab+ac$ et $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

📐 Formule - Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Compléments

📌 Les parenthèses d’une substitution peuvent être retirées si elles ne contiennent qu’un nombre ou une variable ne commençant pas par un signe moins, si aucun autre facteur ne les multiplie et qu’elles ne portent pas de puissance, ou si elles forment tout un numérateur, dénominateur ou exposant.

• Pour factoriser, on recherche d’abord un facteur commun, éventuellement en réécrivant des termes ou en mettant un signe moins en facteur ; on recherche ensuite une identité remarquable et, en dernier recours, on développe avant de tenter une factorisation.

💡 Astuce mémo

Développer transforme un produit en somme ; factoriser transforme une somme en produit.

📖 3. Résolution des équations exponentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Symbole somme : Le symbole $\sum_{k=p}^{n}x_k$ désigne la somme des termes $x_k$ pour k allant de p à n inclus, soit $x_p+x_{p+1}+\cdots+x_n$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Une somme de l’indice p à l’indice n contient $n-p+1$ termes ; en particulier, $\sum_{k=p}^{n}a=a(n-p+1)$.

📐 Formule - La linéarité des sommes vérifie $\sum_{k=p}^{n}(a x_k)=a\sum_{k=p}^{n}x_k$ et $\sum_{k=p}^{n}(x_k+y_k)=\sum_{k=p}^{n}x_k+\sum_{k=p}^{n}y_k$.

📐 Formule - La relation de Chasles pour les sommes s’écrit $\sum_{k=p}^{n}x_k+\sum_{k=n+1}^{m}x_k=\sum_{k=p}^{m}x_k$.

📌 Pour résoudre une équation exponentielle ou logarithmique, il faut isoler le terme contenant l’inconnue avant d’appliquer le logarithme ou l’exponentielle aux deux membres.

📌 On ne peut appliquer le logarithme aux deux membres d’une équation que si les deux membres sont strictement positifs.

Compléments

• L’équation $3e^x=6$ se résout en $e^x=2$, puis en $x=\ln(2)$.

• L’équation $-2e^x+5=11$ conduit à $e^x=-3$ et n’a pas de solution, car $e^x>0$ pour tout réel x.

• L’équation $5\times 2^{3x}-4=0$ conduit à $2^{3x}=\frac45$, puis à $x=\frac{\ln(4/5)}{3\ln(2)}$ en appliquant le logarithme.

📖 4. Équations produit nul

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation produit nul : Équation dont un membre est nul et dont l’autre est un produit de facteurs.

★ À maîtriser

📌 Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.

Compléments

📐 Formule - $A\times B=0\iff A=0\text{ ou }B=0$.

📌 Une fraction $\frac AB$ est nulle si et seulement si $A=0$ et $B\ne0$.

• L’équation $-x(x+2)(2x-3)=0$ a pour solutions $-2$, $0$ et $1{,}5$.

📖 5. Équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression du second degré : De la forme $ax^2+bx+c$, où a, b et c sont réels et $a\ne0$.
• Racine : Valeur de x qui annule cette expression.

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation du second degré, on regroupe d’abord tous les termes dans un membre afin que l’autre soit nul, puis on examine le discriminant.

📐 Formule - Le discriminant d’un trinôme $ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si $\Delta>0$, l’équation du second degré a deux racines $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

📌 Si $\Delta=0$, l’équation du second degré a une racine $x_0=-\frac b{2a}$.

Compléments

📌 Si $\Delta<0$, l’équation du second degré n’a pas de racine réelle.

• Lorsque $c=0$, l’expression $ax^2+bx$ se factorise par x et l’équation peut se ramener à un produit nul.

📖 6. Équations avec puissances

★ À maîtriser

• Pour une équation $A^n=b$ avec n entier positif, si n est pair et $b>0$, alors $A=b^{1/n}$ ou $A=-b^{1/n}$.

• Pour une équation $A^n=b$ avec n entier positif, si n est impair, alors $A=b^{1/n}$.

• Lorsque A est positif, $b\ge0$ et $n>0$, l’équation $A^n=b$ équivaut à $A=b^{1/n}$, même si n n’est pas entier.

Compléments

• Pour une équation $A^n=b$ avec n entier positif, si n est pair et $b<0$, il n’y a pas de solution réelle.

• Pour une équation $A^n=b$, si $b=0$, alors $A=0$.

• Lorsque n est strictement négatif dans une équation $A^n=b$, les règles précédentes restent valables sauf pour $b=0$, qui n’a pas de solution.

• Lorsque A est positif, si $b<0$, l’équation $A^n=b$ n’a pas de solution.

📖 7. Règles générales des inéquations

★ À maîtriser

• Dans une inéquation, ajouter ou retirer la même quantité aux deux membres conserve une inéquation équivalente.

• Multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par une même quantité strictement positive conserve le sens de l’inégalité.

• Multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par une même quantité strictement négative impose de changer le sens de l’inégalité.

Compléments

• La résolution de $x+7<3x+5$ conduit à $x>1$, car les deux membres sont divisés par $-2$, ce qui inverse l’inégalité.

💡 Astuce mémo

Multiplier par un positif conserve le sens ; par un négatif, le renverse.

📖 8. Intervalles et solutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Un intervalle $[a;b]$, $]a;b[$, $[a;b[$ ou $]a;b]$ contient les réels entre a et b, avec inclusion des bornes indiquée par les crochets.

★ À maîtriser

📌 Dans la notation d’un intervalle, un crochet tourné vers l’intérieur indique que la borne est incluse, tandis qu’un crochet tourné vers l’extérieur indique qu’elle est exclue.

Compléments

📌 Les bornes infinies d’un intervalle sont toujours indiquées par des crochets tournés vers l’extérieur.

• L’ensemble des réels s’écrit $]-\infty;+\infty[$.

📌 Plusieurs intervalles solutions se réunissent avec le symbole d’union $\cup$.

📖 9. Exponentielle et logarithme en inéquation

★ À maîtriser

📌 On peut appliquer la fonction exponentielle aux deux membres d’une inéquation pour obtenir une inéquation équivalente.

📌 On peut appliquer le logarithme népérien aux deux membres d’une inéquation seulement si les deux membres sont strictement positifs.

Compléments

• Si $0<a<1$, alors $\ln(a)<0$, ce qui peut inverser le sens d’une inégalité lorsqu’on divise par $\ln(a)$.

• L’inéquation $3\times0{,}1^{-5x}<1$ équivaut à $x<\frac{\ln(1/3)}{-5\ln(0{,}1)}$, car $-5\ln(0{,}1)>0$.

📖 10. Tableaux de signes

★ À maîtriser

• Le tableau de signe d’une expression indique son signe selon les valeurs d’un paramètre.

• Pour construire un tableau de signe simple, on place d’abord les valeurs interdites, puis les zéros, et enfin on détermine le signe dans chaque intervalle.

📌 Dans un produit ou un quotient, un nombre impair de facteurs négatifs donne un résultat négatif.

Compléments

• Dans un tableau de signe, $+$ indique une expression positive, $-$ une expression négative, une barre verticale avec 0 indique une expression nulle et une double barre verticale indique une valeur où l’expression n’existe pas.

• Pour une expression affine $ax+b$, le signe de a apparaît à la fin du tableau et le signe opposé au début.

• Une division par zéro correspond à une valeur interdite, tandis que zéro divisé par une quantité non nulle donne zéro.

• Une puissance impaire conserve le signe de sa base, tandis qu’une puissance paire est positive ou nulle lorsque la base est nulle.

📖 11. Proportions et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportion : Quotient de la quantité b par la quantité a, avec a non nul, donc $p = \frac{b}{a}$, et $b = a \times p$.
• Variation absolue : Différence entre la valeur finale et la valeur initiale : $\Delta V = VF - VI$.
• Coefficient multiplicateur : Quotient de la valeur finale VF par la valeur initiale VI : $k = \frac{VF}{VI}$, donc $VF = k \times VI$.
• Variation relative : Quotient de la variation absolue par la valeur initiale : $t = \frac{\Delta V}{VI} = \frac{VF - VI}{VI}$.
• Pourcentage : Autre notation de la division par cent : $a\% = \frac{a}{100}$.

📝 Points essentiels

• Pour calculer un pourcentage d’une quantité, on multiplie cette quantité par le pourcentage, par exemple 10 % de 300 vaut 30.

• Une variation absolue positive correspond à une augmentation de ΔV, tandis qu’une variation négative correspond à une diminution de valeur absolue |ΔV|.

📐 Formule - La valeur finale se retrouve à partir de la valeur initiale et de la variation absolue par $VF = VI + \Delta V$.

• Un coefficient multiplicateur s’exprime avec un signe, sans unité, et généralement sous forme décimale.

• Une variation relative s’exprime avec un signe, sans unité, et généralement sous forme de pourcentage ou de fraction simple.

💡 Astuce mémo

Variation absolue : une différence ; variation relative : un rapport.

📖 12. Coefficients et évolutions successives

★ À maîtriser

📐 Formule - Le taux d’évolution et le coefficient multiplicateur sont liés par $k=1+t$ et $t=k-1$.

• Pour des évolutions successives de coefficients $k_1,\ldots,k_n$, le coefficient total est leur produit $k=k_1\times\cdots\times k_n$, puis le taux total vaut $t=k-1$.

Compléments

• Un prix qui augmente de 30 %, puis de 10 %, puis diminue de 20 % subit une hausse totale de 14,4 %.

📐 Formule - Pour n évolutions à taux constant, le coefficient total est $K=k^n$ et la valeur finale est $V_F=V_I\times k^n$.

• Cinq hausses consécutives de salaire de 10 % correspondent à une multiplication par environ 1,61, soit une hausse totale de 61 %.

📐 Formule - Pour annuler une évolution de coefficient $k_1$, le coefficient inverse est $k_2=1/k_1$.

📖 13. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique vérifie $u_{n+1}=u_n+r$ pour tout n, où r est un réel constant appelé raison.
• Suite géométrique : Une suite géométrique vérifie $u_{n+1}=q\times u_n$ pour tout n, où q est un réel constant appelé raison.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le terme général d’une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison r est $u_n=u_0+nr$.

📐 Formule - Le terme général d’une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison q est $u_n=u_0\times q^n$.

Compléments

📐 Formule - La somme des termes d’une suite géométrique de raison q est $\sum_{k=0}^{n}u_k=u_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

• Dans une suite indexée à partir de 0, le cinquantième terme est d’indice 49.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : on ajoute r ; géométrique : on multiplie par q.

📖 14. Valeurs et taux financiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur actuelle : La valeur actuelle d’un produit financier est la quantité d’argent disponible aujourd’hui qui a la même valeur que ce produit.
• Valeur acquise : La valeur acquise d’un produit financier est la somme à la date finale prévue qui a la même valeur que ce produit.
• Taux d’intérêt : Le taux d’intérêt est le coefficient de proportionnalité appliqué au capital pour calculer l’intérêt d’une période; sa période doit être précisée.

📝 Points essentiels

• L’intérêt total est la différence entre la valeur acquise et la valeur actuelle, soit $I=K_n-K_0$.

📌 En intérêts simples, les intérêts ne sont pas ajoutés au capital pour calculer ceux des périodes suivantes, tandis qu’en intérêts composés ils sont capitalisés et produisent eux-mêmes des intérêts.

📐 Formule - En intérêts simples, l’intérêt total est $I=K_0\times i\times n$ et la valeur acquise est $K_n=K_0(1+i\times n)$.

📐 Formule - En intérêts composés, la valeur acquise est $K_n=K_0(1+i)^n$ et l’intérêt total est $I=K_0((1+i)^n-1)$.

📖 15. Changement de base de temps

★ À maîtriser

📌 Pour des périodes courtes sans capitalisation des intérêts, le changement de période utilise des taux proportionnels; avec capitalisation à chaque période courte, il utilise des taux équivalents.

📐 Formule - Si la période A contient k périodes B, les taux proportionnels vérifient $i_A=k\times i_B$ et les taux équivalents vérifient $i_A=(1+i_B)^k-1$.

• Pour un taux annuel de 10 %, le taux bimestriel proportionnel est 10 %/6, soit environ 1,667 %, car une année comprend six bimestres.

• Pour un taux annuel de 9 %, le taux semestriel équivalent est $(1+0{,}09)^{1/2}-1$, soit environ 4,40 %.

📌 Lorsque les intérêts sont versés annuellement, ils ne sont pas composés sur les périodes trimestrielles intermédiaires ; on utilise donc le calcul proportionnel, qui donne 1,5 % par trimestre pour un taux annuel de 6 %.

Compléments

• Une année financière compte 360 jours, soit 12 mois de 30 jours chacun.

📌 Pour calculer une date ou un nombre de jours entre deux dates séparées de moins d’un an, on utilise la durée réelle des mois plutôt que la convention de 360 jours.

• Lorsque la période A est un mois et la période B une année, le rapport A = k × B utilise k = 1/12.

💡 Astuce mémo

Simple : taux proportionnel ; composé : taux équivalent.

📖 16. Constitution d’un capital par annuités

🔑 Notions clés & Définitions

• Annuités : Versements effectués à intervalles de temps constants afin de constituer un capital ou de rembourser un emprunt.

★ À maîtriser

📌 Dans les calculs d’annuités, les versements destinés à constituer un capital sont effectués en fin de période, et le dernier versement ne produit donc pas d’intérêts avant la date finale.

📌 Le taux périodique utilisé pour une suite d’annuités doit avoir la même base de temps que l’intervalle entre les versements ; on convertit le taux au moyen du taux équivalent si nécessaire.

📐 Formule - La valeur acquise à la date n d’une suite d’annuités est $A_n=a_1(1+i)^{n-1}+a_2(1+i)^{n-2}+\cdots+a_n$.

📐 Formule - Pour des annuités constantes a versées pendant n périodes, la valeur acquise est $A_n=a\times\frac{(1+i)^n-1}{i}$.

Compléments

• Pour obtenir 100 000 € en 3 ans avec des versements mensuels et un taux annuel de 4,5 % capitalisé mensuellement, il faut convertir le taux annuel en taux mensuel équivalent et effectuer 36 versements mensuels.

📌 Un taux équivalent arrondi peut être utilisé dans les calculs à condition de conserver un chiffre après le premier chiffre non nul du taux.

📖 17. Remboursement et amortissement des emprunts

🔑 Notions clés & Définitions

• Dette vivante : Capital qu’il reste à rembourser après p périodes.
• Tableau d’amortissement : Tableau présentant, pour chaque période d’un prêt, le capital restant dû, les intérêts, l’annuité et l’amortissement.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un emprunt K_0 remboursé en n annuités a_1,\ldots,a_n au taux périodique i, l’équation actuarielle est $K_0=\sum_{p=1}^{n}a_p(1+i)^{-p}$.

📐 Formule - Pour un emprunt K_0 remboursé en n annuités constantes a au taux périodique i, on a $K_0=a\times\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$.

📐 Formule - La dette vivante après p périodes est la différence entre la valeur acquise de l’emprunt et celle des remboursements effectués, soit $V_p=K_p-A_p$.

📐 Formule - Dans un tableau d’amortissement, les relations de calcul sont $M_p=a_p-I_p$, $I_p=iV_{p-1}$ et $V_p=V_{p-1}-M_p$.

Compléments

• Le capital emprunté est égal à la somme des amortissements, l’emprunt est remboursé à l’échéance n lorsque V_n=0, et son coût absolu est égal à la somme des intérêts ou à la somme des annuités moins le capital emprunté.

• Le coût relatif d’un emprunt est le rapport entre son coût absolu et le capital emprunté.

📖 18. Calcul des annuités et emprunts

★ À maîtriser

📐 Formule - La valeur actuelle d’un emprunt remboursé par des annuités constantes est $K_0 = a\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$, où $a$ est l’annuité, $i$ le taux par période et $n$ le nombre de périodes.

📌 Les mensualités d’une année ne sont pas équivalentes à un versement annuel égal à leur somme, car chaque mensualité produit des intérêts à partir de sa date de dépôt.

• Dans un tableau d’amortissement, l’intérêt d’une période est égal au taux d’intérêt multiplié par le capital restant dû au début de cette période.

Compléments

📐 Formule - Pour calculer le taux périodique équivalent à un taux annuel $i_a$ sur des périodes de durée égale au douzième d’année, on utilise $i_m=(1+i_a)^{1/12}-1$.

• Pour déterminer la durée d’un emprunt à partir du capital emprunté, de l’annuité et du taux périodique, on isole la puissance dans la formule de valeur actuelle puis on applique le logarithme : $n=\frac{\ln\left(1-\frac{K_0 i}{a}\right)}{-\ln(1+i)}$.

• Pour un emprunt de 113 616,14 € remboursé par 216 mensualités de 600 €, le total remboursé est de 129 600 €, le coût absolu est d’environ 15 983,86 € et le coût relatif est d’environ 14,06 %.

📐 Formule - Dans un tableau d’amortissement, l’amortissement est égal à l’annuité diminuée de l’intérêt, soit $M_p=a_p-I_p$.

📊 Tableaux de synthèse

Signe du discriminant et racines réelles