QCM : Équations et inéquations (57 questions)

Question 1

1. Pour calculer $3+2\times(5-1)^2$ , dans quel ordre faut-il effectuer les opérations ?

Effectuer d’abord la puissance, puis l’addition, ensuite la parenthèse et enfin la multiplication.

Effectuer d’abord l’addition, puis la parenthèse, ensuite la puissance et enfin la multiplication.

Calculer d’abord la parenthèse, puis la puissance, ensuite la multiplication et enfin l’addition.

Calculer d’abord la multiplication, puis la puissance, ensuite l’addition et enfin la parenthèse.

Explication

Les parenthèses sont traitées en premier, puis les puissances, les multiplications et enfin les additions. Commencer par l’addition ne respecte pas cet ordre de priorité.

Answer

Calculer d’abord la parenthèse, puis la puissance, ensuite la multiplication et enfin l’addition.

Question 2

2. Quelle présentation convient à un calcul comportant plusieurs étapes successives ?

Écrire chaque étape sur une ligne distincte, aligner les signes égal et mettre le résultat en valeur.

Regrouper toutes les étapes sur une seule ligne et distinguer le résultat par une parenthèse.

Écrire chaque étape sur une ligne distincte, aligner les signes opératoires et omettre le résultat final.

Présenter d’abord le résultat, puis écrire les étapes sur des lignes distinctes sans notation initiale.

Explication

Un calcul en plusieurs étapes se présente sur des lignes distinctes, avec les signes égal alignés et le résultat mis en valeur. L’alignement attendu concerne les signes égal, pas l’ensemble des signes opératoires.

Answer

Écrire chaque étape sur une ligne distincte, aligner les signes égal et mettre le résultat en valeur.

Question 3

3. Pour des opérations définies, comment simplifier $x^3\times x^5$ ?

x^2

, car les exposants se soustraient lorsqu’on multiplie des puissances de même base.

x^8

, car les exposants s’additionnent lorsqu’on multiplie des puissances de même base.

2x^8

, car les puissances de même base se combinent en additionnant leurs coefficients.

x^{15}

, car les exposants se multiplient lorsqu’on multiplie des puissances de même base.

Explication

Lorsqu’on multiplie des puissances de même base, on conserve la base et on additionne les exposants. Multiplier les exposants correspond plutôt à la puissance d’une puissance.

Answer

$$x^8$$, car les exposants s’additionnent lorsqu’on multiplie des puissances de même base.

Question 4

4. Dans l’expression $3x$ , on remplace $x$ par $-2+5$ ; quelle écriture applique correctement la règle de substitution ?

3- (2+5)

3-2+5

3(-2)+5

3(-2+5)

Explication

L’expression substituée contient une addition et doit donc être placée entre parenthèses : $3(-2+5)$ . Écrire $3-2+5$ ne conserve pas le produit de 3 par toute l’expression.

Answer

$$3(-2+5)$$

Question 5

5. Comment appelle-t-on la transformation qui convertit une expression sous forme de produit en une somme ?

Le développement

La factorisation

La réduction

La substitution

Explication

Le développement transforme un produit en une somme d’éléments. La factorisation effectue la transformation inverse, d’une somme vers un produit.

Answer

Le développement

Question 6

6. Quelle expression est égale à $(x+2)(y+3)$ après double distributivité ?

xy+2x+3y+6

xy+3x+2y+6

xy+3x+2y+5

xy+5x+5y+6

Explication

Chaque terme de la première parenthèse se multiplie par chaque terme de la seconde, ce qui donne $xy+3x+2y+6$ . L’expression $xy+2x+3y+6$ intervertit les coefficients associés à $x$ et à $y$ .

Answer

$$xy+3x+2y+6$$

Question 7

7. Quelle identité remarquable permet de développer $(a-b)^2$ ?

a^2-b^2

a^2-2b+b^2

a^2+2ab+b^2

a^2-2ab+b^2

Explication

Le carré d’une différence se développe en $a^2-2ab+b^2$ . L’expression $a^2+2ab+b^2$ correspond au carré d’une somme.

Answer

$$a^2-2ab+b^2$$

Question 8

8. Pour résoudre $e^x=7$ à l’aide du logarithme, quelle démarche faut-il suivre ?

Appliquer d’abord le logarithme à une partie de l’équation, puis isoler

x

.

Appliquer l’exponentielle aux deux membres, puis prendre le logarithme d’un seul membre.

Remplacer immédiatement

e^x

par

x

, puis isoler le terme constant.

Isoler le terme contenant

x

, puis appliquer le logarithme aux deux membres.

Explication

Il faut d’abord isoler le terme contenant l’inconnue, ici $e^x$ , puis appliquer le logarithme aux deux membres. Prendre le logarithme avant d’avoir isolé ce terme ne suit pas la démarche requise.

Answer

Isoler le terme contenant $$x$$, puis appliquer le logarithme aux deux membres.

Question 9

9. Dans quelle situation peut-on appliquer le logarithme aux deux membres d’une équation ?

Lorsque l’inconnue apparaît sous une exponentielle, quel que soit le signe des membres.

Lorsque les deux membres de l’équation sont strictement positifs.

Lorsque le membre de gauche est positif et que le membre de droite est nul.

Lorsque les deux membres sont non négatifs, même si l’un est nul.

Explication

Le logarithme peut être appliqué aux deux membres lorsque chacun est strictement positif. La simple non-négativité ne suffit pas, car le logarithme de zéro n’est pas défini.

Answer

Lorsque les deux membres de l’équation sont strictement positifs.

Question 10

10. Que représente $\sum_{k=2}^{5}x_k$ ?

x_2+x_3+x_4

x_5-x_2

x_2+x_3+x_4+x_5

x_1+x_2+x_3+x_4+x_5

Explication

La somme inclut tous les termes dont l’indice va de 2 à 5, bornes comprises. L’expression $x_2+x_3+x_4$ omet le terme correspondant à la borne supérieure.

Answer

$$x_2+x_3+x_4+x_5$$

Question 11

11. Quelle égalité exprime la linéarité d’une somme lorsqu’on multiplie chaque terme par une constante $a$ ?

\sum_{k=p}^{n}(a x_k)=\sum_{k=p}^{n}a+\sum_{k=p}^{n}x_k

\sum_{k=p}^{n}(a x_k)=a\sum_{k=p}^{n}x_k

\sum_{k=p}^{n}(a x_k)=a+\sum_{k=p}^{n}x_k

\sum_{k=p}^{n}(a x_k)=\sum_{k=p}^{n}x_k+a

Explication

La constante multiplicative peut être mise en facteur hors du symbole de somme. La placer en dehors de la somme comme un terme additif ne respecte pas la linéarité.

Answer

$$\sum_{k=p}^{n}(a x_k)=a\sum_{k=p}^{n}x_k$$

Question 12

12. Quelle caractéristique définit une équation produit nul ?

Les deux membres sont des expressions du second degré.

Les deux membres sont des produits de facteurs non nuls.

Un membre est une somme et l’autre est un produit de facteurs.

Un membre est nul et l’autre est un produit de facteurs.

Explication

Une équation produit nul met en égalité zéro et un produit de facteurs. Une équation avec une somme dans un membre ne répond pas à cette définition.

Answer

Un membre est nul et l’autre est un produit de facteurs.

Question 13

13. Pour résoudre une équation où un produit de facteurs est égal à zéro, quelle règle faut-il appliquer ?

Au moins un facteur doit être nul.

Au moins un facteur doit être non nul.

Tous les facteurs doivent être positifs.

Tous les facteurs doivent être nuls.

Explication

Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul. Exiger que tous les facteurs s’annulent confond cette règle avec une condition plus restrictive.

Answer

Au moins un facteur doit être nul.

Question 14

14. Quelle démarche faut-il suivre au début de la résolution d’une équation du second degré ?

Calculer les racines des termes séparément, puis additionner leurs valeurs.

Regrouper les termes dans un membre pour obtenir zéro dans l’autre, puis examiner le discriminant.

Examiner le discriminant avant de transformer l’équation, puis isoler chaque terme.

Factoriser chaque membre, puis comparer directement les coefficients de

x^2

.

Explication

On commence par ramener les termes dans un membre afin que l’autre soit nul, puis on examine le discriminant. Calculer des racines terme par terme ne constitue pas la méthode indiquée.

Answer

Regrouper les termes dans un membre pour obtenir zéro dans l’autre, puis examiner le discriminant.

Question 15

15. Quelle expression donne le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ ?

c^2-4ab

a^2-4bc

b^2-4ac

b^2+4ac

Explication

Le discriminant se calcule par $\Delta=b^2-4ac$ . Remplacer le signe moins par un plus modifie la formule et peut changer le nombre de racines obtenu.

Answer

$$b^2-4ac$$

Question 16

16. Une équation du second degré a un discriminant positif. Combien de racines possède-t-elle ?

Aucune racine réelle, car le discriminant est positif.

Deux racines réelles données par les formules avec

-b\pm\sqrt{\Delta}

au numérateur.

Une racine réelle donnée par

-\frac{b}{2a}

.

Deux racines réelles données par les formules avec

-b\pm\Delta

au numérateur.

Explication

Lorsque $\Delta>0$ , l’équation possède deux racines, obtenues avec $\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ . La formule comportant $-\frac{b}{2a}$ correspond au cas où le discriminant est nul.

Answer

Deux racines réelles données par les formules avec $$-b\pm\sqrt{\Delta}$$ au numérateur.

Question 17

17. Si $n$ est un entier positif pair et $b>0$ , quelles solutions vérifient $A^n=b$ ?

A=b^n

ou

A=-b^n

A=b^{1/n}

ou

A=-b^{1/n}

A=b^{1/n}

uniquement parmi les deux racines réelles.

A=0

ou

A=b^{1/n}

Explication

Pour un exposant entier positif pair et un second membre positif, les deux valeurs opposées $b^{1/n}$ et $-b^{1/n}$ conviennent. Ne retenir que la racine positive écarte à tort la solution négative.

Answer

$$A=b^{1/n}$$ ou $$A=-b^{1/n}$$

Question 18

18. Pour un entier positif impair $n$ , comment résoudre $A^n=b$ ?

En prenant

A=\sqrt[n]{|b|}

, quel que soit le signe de

b

.

En prenant

A=b^{1/n}

.

En prenant

A=b^n

.

En prenant

A=b^{1/n}

ou

A=-b^{1/n}

.

Explication

Lorsque l’exposant positif est impair, la solution est $A=b^{1/n}$ , y compris lorsque $b$ est négatif. Ajouter systématiquement la valeur opposée ferait généralement apparaître une valeur dont la puissance vaut $-b$ .

Answer

En prenant $$A=b^{1/n}$$.

Question 19

19. Si $A>0$ , $b\ge0$ et $n>0$ , quelle équation est équivalente à $A^n=b$ , même lorsque $n$ n’est pas entier ?

A=b^{1/n}

A=b^n

A=\pm b^{1/n}

A^n=b^{1/n}

Explication

Sous les conditions données, extraire la puissance revient à écrire $A=b^{1/n}$ , sans exiger que $n$ soit entier. La forme avec les deux signes ne convient pas ici puisque $A$ est positif.

Answer

$$A=b^{1/n}$$

Question 20

20. Quelle transformation conserve une inéquation équivalente sans modifier le sens de l’inégalité ?

Échanger les deux membres sans inverser l’inégalité

Ajouter une quantité différente à chaque membre

Ajouter ou retirer la même quantité aux deux membres

Multiplier les deux membres par une quantité négative

Explication

Ajouter ou retirer la même quantité des deux côtés préserve l’équivalence de l’inéquation. Multiplier par une quantité négative, en revanche, exige d’inverser le sens de l’inégalité.

Answer

Ajouter ou retirer la même quantité aux deux membres

Question 21

21. Pour isoler une variable, on divise les deux membres d’une inéquation par $4$ . Que devient le sens de l’inégalité ?

Il reste inchangé, car le diviseur est positif

Il devient une égalité lorsque le diviseur est positif

Il s’inverse, car toute division inverse l’inégalité

Il reste inchangé seulement si les membres sont positifs

Explication

La division des deux membres par une même quantité strictement positive conserve le sens de l’inégalité. C’est une division par une quantité négative qui imposerait de l’inverser.

Answer

Il reste inchangé, car le diviseur est positif

Question 22

22. En multipliant les deux membres d’une inéquation par $-3$ , quelle précaution faut-il prendre ?

Remplacer l’inégalité par une égalité

Conserver le sens de l’inégalité

Ajouter

3

aux deux membres

Inverser le sens de l’inégalité

Explication

Multiplier les deux membres par une même quantité strictement négative impose de changer le sens de l’inégalité. Une quantité positive, contrairement à $-3$ , conserverait ce sens.

Answer

Inverser le sens de l’inégalité

Question 23

23. Dans la notation d’un intervalle, comment reconnaît-on qu’une borne est incluse ?

Le crochet est tourné vers l’extérieur de l’intervalle

Le crochet est tourné vers l’intérieur de l’intervalle

La borne est accompagnée d’un signe d’inégalité

La borne est écrite après un point-virgule

Explication

Un crochet tourné vers l’intérieur signale que la borne appartient à l’intervalle. Un crochet tourné vers l’extérieur indique au contraire que la borne est exclue.

Answer

Le crochet est tourné vers l’intérieur de l’intervalle

Question 24

24. Quelle notation convient à une borne infinie dans un intervalle ?

Un crochet tourné vers l’extérieur

Un crochet carré indiquant une inclusion

Une parenthèse tournée vers la borne

Un crochet tourné vers l’intérieur

Explication

Les bornes infinies sont notées avec des crochets tournés vers l’extérieur, car l’infini n’est pas une borne réelle incluse. Pour une borne réelle, l’inclusion dépend de l’orientation du crochet.

Answer

Un crochet tourné vers l’extérieur

Question 25

25. Pour transformer une inéquation en appliquant l’exponentielle à ses deux membres, quelle condition faut-il vérifier ?

Les deux membres doivent être inférieurs à

1

Les deux membres doivent être strictement négatifs

Aucune condition de positivité des membres n’est requise

Les deux membres doivent être strictement positifs

Explication

L’exponentielle peut être appliquée aux deux membres d’une inéquation pour obtenir une inéquation équivalente, sans exiger que ces membres soient positifs. La condition de positivité concerne l’application du logarithme népérien.

Answer

Aucune condition de positivité des membres n’est requise

Question 26

26. Dans quel cas peut-on appliquer le logarithme népérien aux deux membres d’une inéquation ?

Lorsque les deux membres sont strictement positifs

Lorsque les deux membres sont non négatifs

Lorsque les deux membres sont strictement négatifs

Lorsque les deux membres sont inférieurs à

1

Explication

Le logarithme népérien peut être appliqué aux deux membres seulement si chacun est strictement positif. Des membres simplement non négatifs ne suffisent pas, car le logarithme n’est pas défini en zéro.

Answer

Lorsque les deux membres sont strictement positifs

Question 27

27. À quoi sert le tableau de signe d’une expression dépendant d’un paramètre ?

À donner la valeur exacte de l’expression pour chaque paramètre.

À montrer comment l’expression varie lorsque le paramètre augmente.

À indiquer le signe de l’expression selon les valeurs du paramètre.

À déterminer les valeurs du paramètre qui rendent l’expression entière.

Explication

Un tableau de signe récapitule si l’expression est positive, négative ou nulle selon les valeurs du paramètre. Il ne donne pas nécessairement sa valeur exacte pour chacune de ces valeurs.

Answer

À indiquer le signe de l’expression selon les valeurs du paramètre.

Question 28

28. Pour construire le tableau de signe simple d’une expression, dans quel ordre faut-il organiser les étapes initiales ?

Repérer les zéros, déterminer les signes, puis placer les valeurs interdites.

Déterminer le signe sur chaque intervalle, placer les zéros, puis repérer les valeurs interdites.

Placer les valeurs interdites, déterminer le signe sur chaque intervalle, puis repérer les zéros.

Placer les valeurs interdites, repérer les zéros, puis déterminer le signe sur chaque intervalle.

Explication

La construction commence par le placement des valeurs interdites, puis des zéros, avant de déterminer le signe dans chaque intervalle. Déterminer les signes avant d’avoir repéré ces valeurs inverse les étapes nécessaires.

Answer

Placer les valeurs interdites, repérer les zéros, puis déterminer le signe sur chaque intervalle.

Question 29

29. Dans un quotient, si un nombre impair de facteurs du numérateur et du dénominateur sont négatifs, quel est le signe du résultat ?

Il dépend du nombre de facteurs positifs présents dans le quotient.

Il est négatif, car un nombre impair de facteurs négatifs donne un résultat négatif.

Il est nul, car un facteur négatif annule le quotient.

Il est positif, car les facteurs négatifs se compensent par paires.

Explication

Un nombre impair de facteurs négatifs donne un produit négatif, et la règle s’applique aussi au signe d’un quotient. La compensation par paires ne laisse un signe positif que lorsque le nombre de facteurs négatifs est pair.

Answer

Il est négatif, car un nombre impair de facteurs négatifs donne un résultat négatif.

Question 30

30. Une quantité initiale non nulle vaut 80 et une quantité représentée vaut 20 ; quelle est la proportion de la seconde par rapport à la première ?

80 \times 20

\frac{80}{20}

\frac{20}{80}

\frac{80-20}{80}

Explication

La proportion se calcule en divisant la quantité représentée par la quantité de référence, soit $\frac{20}{80}$ . Le quotient $\frac{80}{20}$ inverse le rôle des deux quantités.

Answer

$$\frac{20}{80}$$

Question 31

31. Une valeur passe de 45 à 60 unités ; quelle expression donne sa variation absolue ?

45-60

\frac{60-45}{45}

60-45

\frac{60}{45}

Explication

La variation absolue est la valeur finale moins la valeur initiale, soit $60-45$ , et s’exprime dans la même unité que la valeur. Le quotient $\frac{60-45}{45}$ est une variation relative, sans unité.

Answer

$$\frac{230}{200}$$

Answer

$$\frac{65-50}{50}$$

Answer

$$1{,}08-1=0{,}08$$

Answer

Multiplier les coefficients pour obtenir le coefficient total, puis retrancher 1.

Answer

$$u_{n+1}=u_n+r$$

Answer

$$u_{n+1}=q\times u_n$$

Answer

$$u_n=5\times 2^n$$

Answer

À la somme disponible aujourd’hui qui équivaut au produit

Answer

La valeur acquise

Answer

$$I=K_n-K_0$$

Answer

En intérêts simples, les intérêts ne sont pas capitalisés ; en intérêts composés, ils produisent eux-mêmes des intérêts.

Answer

Le taux proportionnel

Answer

$$i_A=(1+i_B)^k-1$$

Answer

Environ 1,667 %

Answer

Environ 4,40 %

Answer

Des versements à intervalles constants destinés à constituer un capital ou à rembourser un emprunt

Answer

Il ne produit pas d’intérêts avant cette date, car il est effectué à la fin de la dernière période

Answer

Le taux trimestriel équivalent, afin que la période du taux corresponde à celle des versements

Answer

$$A_n=a\times\frac{(1+i)^n-1}{i}$$

Answer

$$K_0=\sum_{p=1}^{n}a_p(1+i)^{-p}$$

Answer

Le capital qu’il reste à rembourser à cet instant

Answer

Le capital restant dû, les intérêts, l’annuité et l’amortissement

Answer

En soustrayant les intérêts de l’annuité : $$M_p=a_p-I_p$$

Answer

$$K_0=a\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$$

Answer

Chaque mensualité commence à produire des intérêts dès sa date de dépôt, tandis que le versement annuel intervient en fin d’année

Answer

En multipliant le taux périodique par le capital restant dû au début de la période : $$I_p=iV_{p-1}$$

Question 32

32. Un capital passe de 200 euros à 230 euros ; quel quotient représente son coefficient multiplicateur ?

\frac{230}{200}

\frac{230-200}{200}

230-200

\frac{200}{230}

Explication

Le coefficient multiplicateur est le quotient de la valeur finale par la valeur initiale, ici $\frac{230}{200}$ . Le quotient $\frac{230-200}{200}$ mesure plutôt la variation relative.

Question 33

33. Une quantité passe de 50 à 65 ; quelle expression donne son taux d’évolution ?

\frac{65-50}{65}

65-50

\frac{65}{50}

\frac{65-50}{50}

Explication

Le taux d’évolution est la variation absolue divisée par la valeur initiale, soit $\frac{65-50}{50}$ . Diviser par la valeur finale, comme dans $\frac{65-50}{65}$ , ne donne pas le taux défini par rapport à la valeur initiale.

Question 34

34. Le coefficient multiplicateur d’une évolution est $1{,}08$ ; quel est le taux d’évolution correspondant ?

1{,}08+1=2{,}08

\frac{1}{1{,}08}

1-1{,}08=-0{,}08

1{,}08-1=0{,}08

Explication

Le taux d’évolution s’obtient en retranchant 1 au coefficient multiplicateur, donc le taux est $0{,}08$ , soit 8 %. Ajouter 1 au coefficient ne convertit pas celui-ci en taux.

Question 35

35. Deux évolutions successives ont pour coefficients multiplicateurs $1{,}2$ et $0{,}9$ ; comment déterminer leur coefficient total puis leur taux total ?

Soustraire les coefficients pour obtenir le coefficient total, puis retrancher 1.

Multiplier les coefficients pour obtenir le coefficient total, puis retrancher 1.

Multiplier les coefficients pour obtenir le taux total, puis ajouter 1.

Additionner les coefficients pour obtenir le coefficient total, puis retrancher 1.

Explication

Les coefficients d’évolutions successives se multiplient : le coefficient total est $1{,}2\times0{,}9$ , puis le taux total s’obtient en retranchant 1. Additionner les coefficients ne représente pas l’enchaînement des évolutions.

Question 36

36. Quelle relation caractérise une suite arithmétique de raison constante $r$ ?

u_{n+1}=u_n^2+r

u_{n+1}=r\times u_n

u_{n+1}=u_n+r

u_n=u_0\times r^n

Explication

Dans une suite arithmétique, on obtient chaque terme en ajoutant la raison constante au terme précédent. La multiplication par une raison constante caractérise plutôt une suite géométrique.

Question 37

37. Quelle règle de récurrence définit une suite géométrique de raison constante $q$ ?

u_{n+1}=q\times u_n

u_{n+1}=u_n^q

u_n=u_0+nq

u_{n+1}=u_n+q

Explication

Une suite géométrique se construit en multipliant chaque terme par la même raison $q$ . Ajouter une constante au terme précédent correspond à la règle d’une suite arithmétique.

Question 38

38. Une suite géométrique a pour premier terme $u_0=5$ et pour raison $q=2$ . Quelle formule donne son terme d’indice $n$ ?

u_n=5\times 2^n

u_n=5+2n

u_n=5\times n^2

u_n=2\times 5^n

Explication

Le terme général d’une suite géométrique est le premier terme multiplié par la raison élevée à l’indice. La formule $5+2n$ décrit plutôt une suite arithmétique de raison 2.

Question 39

39. À quoi correspond la valeur actuelle d’un produit financier ?

Au taux appliqué au capital pendant une période donnée

À la différence entre le capital initial et les intérêts produits

À la somme prévue à la date finale qui équivaut au produit

À la somme disponible aujourd’hui qui équivaut au produit

Explication

La valeur actuelle exprime en argent disponible aujourd’hui la valeur équivalente du produit financier. La somme équivalente à la date finale prévue est sa valeur acquise.

Question 40

40. Un placement doit être évalué à sa date finale prévue. Quelle valeur financière désigne alors la somme équivalente à cette date ?

La valeur acquise

L’intérêt total

La valeur actuelle

Le taux périodique

Explication

La valeur acquise correspond à la somme équivalente à la date finale prévue. La valeur actuelle est, elle, exprimée en argent disponible aujourd’hui.

Question 41

41. Si un capital passe de $K_0$ à $K_n$ , comment calcule-t-on l’intérêt total ?

I=K_n+K_0

I=K_n-K_0

I=K_n\times K_0

I=K_0-K_n

Explication

L’intérêt total est l’augmentation du capital entre sa valeur initiale et sa valeur acquise, soit $K_n-K_0$ . Soustraire la valeur acquise de la valeur initiale inverserait le sens de cette différence.

Question 42

42. Quelle différence distingue les intérêts simples des intérêts composés ?

En intérêts simples, les intérêts ne sont pas capitalisés ; en intérêts composés, ils produisent eux-mêmes des intérêts.

En intérêts simples, les intérêts sont calculés sur la valeur finale ; en intérêts composés, sur le capital initial.

En intérêts simples, le taux varie à chaque période ; en intérêts composés, le taux reste constant.

En intérêts simples, le capital diminue à chaque période ; en intérêts composés, il reste inchangé.

Explication

Avec les intérêts simples, les intérêts antérieurs ne sont pas ajoutés au capital pour calculer les intérêts suivants ; avec les intérêts composés, ils sont capitalisés. Le contraste porte donc sur la capitalisation, et non nécessairement sur une variation du taux.

Question 43

43. Un placement produit des intérêts sans capitalisation pendant de courtes périodes. Quel mode de conversion des taux convient ?

Le taux proportionnel

Le taux actuariel continu

Le taux composé annuel

Le taux équivalent

Explication

Sans capitalisation des intérêts sur les périodes courtes, le changement de période s’effectue avec des taux proportionnels. Les taux équivalents s’emploient lorsque les intérêts sont capitalisés à chaque période courte.

Question 44

44. Une période A contient $k$ périodes B. Quelle relation exprime le taux équivalent de A à partir du taux de B ?

i_A=1+k+i_B

i_A=i_B^k

i_A=k\times i_B

i_A=(1+i_B)^k-1

Explication

Avec une capitalisation à chaque période B, le taux équivalent sur A est $i_A=(1+i_B)^k-1$ . La relation $i_A=k\times i_B$ donne plutôt le taux proportionnel.

Question 45

45. Avec un taux annuel de 10 % et une conversion proportionnelle, quel taux bimestriel obtient-on ?

Environ 5 %

Environ 10,833 %

Environ 1,667 %

Environ 0,833 %

Explication

Une année comprend six bimestres ; le taux proportionnel par bimestre est donc $10\%/6$ , soit environ 1,667 %. Un taux de 5 % correspondrait à diviser le taux annuel en deux périodes, comme des semestres.

Question 46

46. Quel est le taux semestriel équivalent à un taux annuel de 9 % ?

9 %

4,50 %

Environ 2,25 %

Environ 4,40 %

Explication

Le taux semestriel équivalent se calcule par $(1+0,09)^{1/2}-1$ , ce qui donne environ 4,40 %. Le taux de 4,50 % est le résultat d’une division proportionnelle par deux, pas du calcul équivalent.

Question 47

47. Dans le cadre financier, que désigne une suite d’annuités ?

Des versements effectués à intervalles variables pour constituer un capital

Des paiements ponctuels versés à la fin d’un emprunt pour solder la dette

Des versements à montants constants destinés uniquement à réduire les intérêts d’un emprunt

Des versements à intervalles constants destinés à constituer un capital ou à rembourser un emprunt

Explication

Une suite d’annuités est formée de versements espacés par des intervalles de temps constants et peut servir à constituer un capital ou à rembourser un emprunt. Des versements à intervalles variables ne répondent pas à cette définition.

Question 48

48. Lorsqu’une épargne est constituée par des versements en fin de période, quel effet le dernier versement a-t-il sur le capital à la date finale ?

Il produit une période d’intérêts, comme le premier versement de la série

Il est versé au début de la période finale et produit des intérêts pendant cette période

Il produit des intérêts depuis le début de la série, comme tous les versements antérieurs

Il ne produit pas d’intérêts avant cette date, car il est effectué à la fin de la dernière période

Explication

Le dernier versement intervient en fin de période et n’a donc pas le temps de produire des intérêts avant la date finale. Un versement antérieur, contrairement au dernier, fructifie pendant une ou plusieurs périodes.

Question 49

49. Des versements sont effectués chaque trimestre, mais le taux disponible est annuel : quel taux faut-il employer pour calculer leur accumulation ?

Le taux annuel inchangé, afin que les versements soient évalués sur une base annuelle

Le taux mensuel équivalent, car toute suite de versements doit être calculée mensuellement

Le taux trimestriel équivalent, afin que la période du taux corresponde à celle des versements

Le taux annuel divisé par le nombre total de versements, quelle que soit leur fréquence

Explication

Le taux périodique doit avoir la même base de temps que l’intervalle séparant les versements ; il faut donc convertir le taux annuel en taux trimestriel équivalent. Le taux annuel inchangé ne correspond pas à la périodicité trimestrielle.

Question 50

50. Une personne verse un montant constant $a$ à la fin de chacune de $n$ périodes, au taux périodique $i$ . Quelle expression donne la valeur acquise à la fin de la dernière période ?

A_n=a\times\frac{(1+i)^n+1}{i}

A_n=a\times\frac{(1+i)^{n-1}-1}{i}

A_n=a\times\frac{(1+i)^n-1}{i}

A_n=a\times\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}

Explication

La formule de valeur acquise d’annuités constantes est $A_n=a\times\frac{(1+i)^n-1}{i}$ . L’expression faisant intervenir $1-(1+i)^{-n}$ correspond à la valeur actuelle d’une suite de paiements, et non à sa valeur acquise.

Question 51

51. Un emprunt $K_0$ est remboursé par des annuités variables $a_1,\ldots,a_n$ au taux périodique $i$ . Quelle relation exprime l’équivalence financière à la date de l’emprunt ?

K_0=\sum_{p=1}^{n}a_p(1+i)^{-(p-1)}

K_0=\sum_{p=1}^{n}a_p(1+i)^{-p}

K_0=\sum_{p=1}^{n}a_p(1+i)^p

K_0=\sum_{p=1}^{n}a_p\frac{1-(1+i)^{-p}}{i}

Explication

Chaque annuité est actualisée de sa période jusqu’à la date initiale, ce qui donne $K_0=\sum_{p=1}^{n}a_p(1+i)^{-p}$ . Utiliser des puissances positives capitaliserait les paiements au lieu de les ramener à la date de l’emprunt.

Question 52

52. Après $p$ périodes de remboursement, que représente la dette vivante d’un emprunt ?

Le montant initial de l’emprunt augmenté des intérêts futurs

La somme des amortissements déjà effectués sur le prêt

Le total des intérêts versés depuis le début du prêt

Le capital qu’il reste à rembourser à cet instant

Explication

La dette vivante, aussi appelée capital restant dû, est le capital qui demeure à rembourser après $p$ périodes. La somme des amortissements déjà effectués mesure au contraire la part du capital déjà remboursée.

Question 53

53. Quelles informations principales un tableau d’amortissement présente-t-il pour chaque période d’un prêt ?

Le montant des versements futurs, les pénalités, les assurances et le taux d’inflation

Le taux annuel, les frais de dossier, les garanties et la valeur du bien

Le capital restant dû, les intérêts, l’annuité et l’amortissement

Le capital initial, le revenu de l’emprunteur, les intérêts et la durée restante

Explication

Pour chaque période, le tableau d’amortissement suit le capital restant dû, les intérêts, l’annuité et l’amortissement. Les revenus de l’emprunteur ou la valeur du bien ne sont pas les composantes périodiques décrites par cette définition.

Question 54

54. Dans une période de remboursement, l’annuité est $a_p$ et les intérêts sont $I_p$ . Comment obtient-on l’amortissement de la période ?

En soustrayant les intérêts de l’annuité :

M_p=a_p-I_p

En divisant le capital restant dû par l’annuité :

M_p=V_{p-1}/a_p

En multipliant l’annuité par le taux :

M_p=a_p i

En ajoutant les intérêts à l’annuité :

M_p=a_p+I_p

Explication

L’annuité comprend une part d’intérêts et une part de remboursement du capital ; l’amortissement est donc $M_p=a_p-I_p$ . Ajouter les intérêts à l’annuité compterait les intérêts une seconde fois plutôt que d’isoler le remboursement du capital.

Question 55

55. Un emprunt est remboursé par des annuités constantes $a$ pendant $n$ périodes au taux périodique $i$ . Quelle formule donne son capital initial ?

K_0=a\frac{(1+i)^{-n}}{i}

K_0=a\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}

K_0=a\frac{1-(1+i)^n}{i}

K_0=a\frac{(1+i)^n-1}{i}

Explication

Le capital initial est la valeur actuelle des annuités constantes, soit $K_0=a\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$ . La formule avec $((1+i)^n-1)/i$ calcule une valeur acquise, et non la valeur actuelle de l’emprunt.

Question 56

56. Pourquoi douze mensualités versées au cours d’une année ne sont-elles pas équivalentes à un versement annuel unique égal à leur somme ?

Chaque mensualité commence à produire des intérêts dès sa date de dépôt, tandis que le versement annuel intervient en fin d’année

Le versement annuel produit des intérêts chaque mois, tandis que les mensualités ne fructifient qu’en fin d’année

Le versement annuel est actualisé sur douze périodes, tandis que les mensualités sont évaluées sans taux

Les mensualités sont nécessairement de montants différents, tandis que le versement annuel est constant

Explication

Les mensualités sont déposées à des dates différentes et chacune produit des intérêts à partir de son dépôt ; leur accumulation diffère donc de celle d’un versement annuel en fin d’année. L’affirmation selon laquelle les mensualités ne fructifient qu’en fin d’année inverse cette distinction.

Question 57

57. Au début d’une période, le capital restant dû est $V_{p-1}$ et le taux d’intérêt périodique est $i$ . Comment calcule-t-on l’intérêt de cette période ?

En multipliant le taux périodique par le capital restant dû au début de la période :

I_p=iV_{p-1}

En multipliant le taux périodique par le capital restant dû à la fin de la période :

I_p=iV_p

En multipliant le taux périodique par le capital remboursé pendant la période :

I_p=iM_p

En multipliant le taux périodique par l’annuité versée pendant la période :

I_p=ia_p

Explication

L’intérêt d’une période est calculé sur le capital restant dû au début de cette période, d’où $I_p=iV_{p-1}$ . Le capital restant dû à la fin de la période tient déjà compte de l’amortissement réalisé pendant celle-ci.

QCM : Équations et inéquations (57 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour calculer 3+2×(5−1)23+2\times(5-1)^23+2×(5−1)2, dans quel ordre faut-il effectuer les opérations ?

2. Quelle présentation convient à un calcul comportant plusieurs étapes successives ?

3. Pour des opérations définies, comment simplifier x3×x5x^3\times x^5x3×x5 ?

4. Dans l’expression 3x3x3x, on remplace xxx par −2+5-2+5−2+5; quelle écriture applique correctement la règle de substitution ?

5. Comment appelle-t-on la transformation qui convertit une expression sous forme de produit en une somme ?

6. Quelle expression est égale à (x+2)(y+3)(x+2)(y+3)(x+2)(y+3) après double distributivité ?

7. Quelle identité remarquable permet de développer (a−b)2(a-b)^2(a−b)2 ?

8. Pour résoudre ex=7e^x=7ex=7 à l’aide du logarithme, quelle démarche faut-il suivre ?

9. Dans quelle situation peut-on appliquer le logarithme aux deux membres d’une équation ?

10. Que représente ∑k=25xk\sum_{k=2}^{5}x_k∑k=25​xk​ ?

11. Quelle égalité exprime la linéarité d’une somme lorsqu’on multiplie chaque terme par une constante aaa ?

12. Quelle caractéristique définit une équation produit nul ?

13. Pour résoudre une équation où un produit de facteurs est égal à zéro, quelle règle faut-il appliquer ?

14. Quelle démarche faut-il suivre au début de la résolution d’une équation du second degré ?

15. Quelle expression donne le discriminant du trinôme ax2+bx+cax^2+bx+cax2+bx+c ?

16. Une équation du second degré a un discriminant positif. Combien de racines possède-t-elle ?

17. Si nnn est un entier positif pair et b>0b>0b>0, quelles solutions vérifient An=bA^n=bAn=b ?

18. Pour un entier positif impair nnn, comment résoudre An=bA^n=bAn=b ?

19. Si A>0A>0A>0, b≥0b\ge0b≥0 et n>0n>0n>0, quelle équation est équivalente à An=bA^n=bAn=b, même lorsque nnn n’est pas entier ?

20. Quelle transformation conserve une inéquation équivalente sans modifier le sens de l’inégalité ?

21. Pour isoler une variable, on divise les deux membres d’une inéquation par 444. Que devient le sens de l’inégalité ?

22. En multipliant les deux membres d’une inéquation par −3-3−3, quelle précaution faut-il prendre ?

23. Dans la notation d’un intervalle, comment reconnaît-on qu’une borne est incluse ?

24. Quelle notation convient à une borne infinie dans un intervalle ?

25. Pour transformer une inéquation en appliquant l’exponentielle à ses deux membres, quelle condition faut-il vérifier ?

26. Dans quel cas peut-on appliquer le logarithme népérien aux deux membres d’une inéquation ?

27. À quoi sert le tableau de signe d’une expression dépendant d’un paramètre ?

28. Pour construire le tableau de signe simple d’une expression, dans quel ordre faut-il organiser les étapes initiales ?

29. Dans un quotient, si un nombre impair de facteurs du numérateur et du dénominateur sont négatifs, quel est le signe du résultat ?

30. Une quantité initiale non nulle vaut 80 et une quantité représentée vaut 20 ; quelle est la proportion de la seconde par rapport à la première ?

31. Une valeur passe de 45 à 60 unités ; quelle expression donne sa variation absolue ?

32. Un capital passe de 200 euros à 230 euros ; quel quotient représente son coefficient multiplicateur ?

33. Une quantité passe de 50 à 65 ; quelle expression donne son taux d’évolution ?

34. Le coefficient multiplicateur d’une évolution est 1,081{,}081,08 ; quel est le taux d’évolution correspondant ?

35. Deux évolutions successives ont pour coefficients multiplicateurs 1,21{,}21,2 et 0,90{,}90,9 ; comment déterminer leur coefficient total puis leur taux total ?

36. Quelle relation caractérise une suite arithmétique de raison constante rrr ?

37. Quelle règle de récurrence définit une suite géométrique de raison constante qqq ?

38. Une suite géométrique a pour premier terme u0=5u_0=5u0​=5 et pour raison q=2q=2q=2. Quelle formule donne son terme d’indice nnn ?

39. À quoi correspond la valeur actuelle d’un produit financier ?

40. Un placement doit être évalué à sa date finale prévue. Quelle valeur financière désigne alors la somme équivalente à cette date ?

41. Si un capital passe de K0K_0K0​ à KnK_nKn​, comment calcule-t-on l’intérêt total ?

42. Quelle différence distingue les intérêts simples des intérêts composés ?

43. Un placement produit des intérêts sans capitalisation pendant de courtes périodes. Quel mode de conversion des taux convient ?

44. Une période A contient kkk périodes B. Quelle relation exprime le taux équivalent de A à partir du taux de B ?

45. Avec un taux annuel de 10 % et une conversion proportionnelle, quel taux bimestriel obtient-on ?

46. Quel est le taux semestriel équivalent à un taux annuel de 9 % ?

47. Dans le cadre financier, que désigne une suite d’annuités ?

48. Lorsqu’une épargne est constituée par des versements en fin de période, quel effet le dernier versement a-t-il sur le capital à la date finale ?

49. Des versements sont effectués chaque trimestre, mais le taux disponible est annuel : quel taux faut-il employer pour calculer leur accumulation ?

50. Une personne verse un montant constant aaa à la fin de chacune de nnn périodes, au taux périodique iii. Quelle expression donne la valeur acquise à la fin de la dernière période ?

51. Un emprunt K0K_0K0​ est remboursé par des annuités variables a1,…,ana_1,\ldots,a_na1​,…,an​ au taux périodique iii. Quelle relation exprime l’équivalence financière à la date de l’emprunt ?

52. Après ppp périodes de remboursement, que représente la dette vivante d’un emprunt ?

53. Quelles informations principales un tableau d’amortissement présente-t-il pour chaque période d’un prêt ?

54. Dans une période de remboursement, l’annuité est apa_pap​ et les intérêts sont IpI_pIp​. Comment obtient-on l’amortissement de la période ?

55. Un emprunt est remboursé par des annuités constantes aaa pendant nnn périodes au taux périodique iii. Quelle formule donne son capital initial ?

56. Pourquoi douze mensualités versées au cours d’une année ne sont-elles pas équivalentes à un versement annuel unique égal à leur somme ?

57. Au début d’une période, le capital restant dû est Vp−1V_{p-1}Vp−1​ et le taux d’intérêt périodique est iii. Comment calcule-t-on l’intérêt de cette période ?

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Crée tes propres QCM

1. Pour calculer $3+2\times(5-1)^2$ , dans quel ordre faut-il effectuer les opérations ?

3. Pour des opérations définies, comment simplifier $x^3\times x^5$ ?

4. Dans l’expression $3x$ , on remplace $x$ par $-2+5$ ; quelle écriture applique correctement la règle de substitution ?

6. Quelle expression est égale à $(x+2)(y+3)$ après double distributivité ?

7. Quelle identité remarquable permet de développer $(a-b)^2$ ?

8. Pour résoudre $e^x=7$ à l’aide du logarithme, quelle démarche faut-il suivre ?

10. Que représente $\sum_{k=2}^{5}x_k$ ?

11. Quelle égalité exprime la linéarité d’une somme lorsqu’on multiplie chaque terme par une constante $a$ ?

15. Quelle expression donne le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ ?

17. Si $n$ est un entier positif pair et $b>0$ , quelles solutions vérifient $A^n=b$ ?

18. Pour un entier positif impair $n$ , comment résoudre $A^n=b$ ?

19. Si $A>0$ , $b\ge0$ et $n>0$ , quelle équation est équivalente à $A^n=b$ , même lorsque $n$ n’est pas entier ?

21. Pour isoler une variable, on divise les deux membres d’une inéquation par $4$ . Que devient le sens de l’inégalité ?

22. En multipliant les deux membres d’une inéquation par $-3$ , quelle précaution faut-il prendre ?

34. Le coefficient multiplicateur d’une évolution est $1{,}08$ ; quel est le taux d’évolution correspondant ?

35. Deux évolutions successives ont pour coefficients multiplicateurs $1{,}2$ et $0{,}9$ ; comment déterminer leur coefficient total puis leur taux total ?

36. Quelle relation caractérise une suite arithmétique de raison constante $r$ ?

37. Quelle règle de récurrence définit une suite géométrique de raison constante $q$ ?

38. Une suite géométrique a pour premier terme $u_0=5$ et pour raison $q=2$ . Quelle formule donne son terme d’indice $n$ ?

41. Si un capital passe de $K_0$ à $K_n$ , comment calcule-t-on l’intérêt total ?

44. Une période A contient $k$ périodes B. Quelle relation exprime le taux équivalent de A à partir du taux de B ?

50. Une personne verse un montant constant $a$ à la fin de chacune de $n$ périodes, au taux périodique $i$ . Quelle expression donne la valeur acquise à la fin de la dernière période ?

51. Un emprunt $K_0$ est remboursé par des annuités variables $a_1,\ldots,a_n$ au taux périodique $i$ . Quelle relation exprime l’équivalence financière à la date de l’emprunt ?

52. Après $p$ périodes de remboursement, que représente la dette vivante d’un emprunt ?

54. Dans une période de remboursement, l’annuité est $a_p$ et les intérêts sont $I_p$ . Comment obtient-on l’amortissement de la période ?

55. Un emprunt est remboursé par des annuités constantes $a$ pendant $n$ périodes au taux périodique $i$ . Quelle formule donne son capital initial ?

57. Au début d’une période, le capital restant dû est $V_{p-1}$ et le taux d’intérêt périodique est $i$ . Comment calcule-t-on l’intérêt de cette période ?