QCM : Cercles et tangentes dans le plan (8 questions)

Question 1

1. En complétant les carrés dans $x^2+y^2+2x-15=0$ , quels sont le centre et le rayon du cercle ?

Le centre est

I(1,0)

et le rayon vaut

4

.

Le centre est

I(-1,0)

et le rayon vaut

4

.

Le centre est

I(0,-1)

et le rayon vaut

4

.

Le centre est

I(-1,0)

et le rayon vaut

16

.

Explication

La forme canonique est $(x+1)^2+y^2=16$ , ce qui donne le centre $I(-1,0)$ et le rayon $4$ . Un rayon de $16$ confondrait la valeur du rayon avec celle de son carré.

Answer

Le centre est $$I(-1,0)$$ et le rayon vaut $$4$$.

Question 2

2. Comment déterminer si le point $K(3,0)$ appartient au cercle d’équation $x^2+y^2+2x-15=0$ ?

En remplaçant ses coordonnées, on obtient

9+0+6-15=0

, donc il appartient au cercle.

En remplaçant ses coordonnées, on obtient

9+0+6+15=0

, donc il appartient au cercle.

En remplaçant ses coordonnées, on obtient

3+0+6-15=0

, donc il appartient au cercle.

En remplaçant ses coordonnées, on obtient

9+0-6-15=0

, donc il appartient au cercle.

Explication

Les coordonnées de $K$ vérifient l’équation puisque $3^2+0^2+2\times3-15=0$ . Avec un terme $-2x$ , la substitution donnerait une expression différente et ne justifierait pas cette appartenance.

Answer

En remplaçant ses coordonnées, on obtient $$9+0+6-15=0$$, donc il appartient au cercle.

Question 3

3. Quelle est la distance entre le centre $I(-1,0)$ et la droite $\Delta:x-\sqrt3y-7=0$ ?

Elle vaut

2

.

Elle vaut

\sqrt{13}

.

Elle vaut

8

.

Elle vaut

4

.

Explication

La formule de distance donne $\frac{|(-1)-7|}{\sqrt{1+3}}=\frac{8}{2}=4$ . La valeur $8$ correspond au numérateur avant division par la norme du vecteur normal.

Answer

Elle vaut $$4$$.

Question 4

4. Pour un cercle de rayon $4$ , quelle condition sur la distance de son centre à une droite permet de conclure que cette droite est tangente ?

La distance doit être inférieure à

4

.

La distance doit être égale à

4

.

La distance doit être supérieure à

4

.

La distance doit être égale à

0

.

Explication

Une droite est tangente au cercle lorsque la distance du centre à cette droite est égale au rayon. Une distance inférieure au rayon caractérise une droite sécante, qui rencontre le cercle en deux points.

Answer

La distance doit être égale à $$4$$.

Question 5

5. Quelle relation géométrique lie le rayon aboutissant au point de tangence et la tangente en ce point ?

Le rayon et la tangente ont la même direction.

Le rayon est perpendiculaire à la tangente.

Le rayon est parallèle à la tangente.

Le rayon forme un angle de

45^\circ

avec la tangente.

Explication

La tangente en un point du cercle est perpendiculaire au rayon qui aboutit à ce point. Le vecteur normal à la tangente est parallèle au rayon, mais ce vecteur n’est pas la droite tangente elle-même.

Answer

Le rayon est perpendiculaire à la tangente.

Question 6

6. Pour le cercle de centre $I(-1,0)$ et le point $K(3,0)$ , quelle équation décrit la tangente au cercle en $K$ ?

y=3

x=3

x=-1

y=0

Explication

Le rayon $\overrightarrow{IK}=(4,0)$ est horizontal, donc la tangente en $K$ lui est perpendiculaire et a pour équation $x=3$ . L’équation $y=0$ décrit la droite du rayon, et non la tangente.

Answer

$$4$$, car une translation conserve les longueurs

Answer

$$J(-1,1)$$, car l’abscisse reste fixe et l’ordonnée augmente de $$1$$

Question 7

7. Un cercle de rayon $4$ subit une translation de vecteur $\vec v=(0,1)$ . Quel est le rayon de son image ?

\sqrt{17}

, car le rayon se combine au déplacement

3

, car le déplacement réduit le rayon d’une unité

4

, car une translation conserve les longueurs

5

, car la translation ajoute une unité au rayon

Explication

Une translation conserve la forme et les dimensions du cercle, donc son rayon reste égal à $4$ . Le déplacement du centre ne s’ajoute pas au rayon, contrairement à l’idée que le rayon deviendrait $5$ .

Question 8

8. Le centre d’un cercle est $I(-1,0)$ et on le translate selon le vecteur $(0,1)$ . Quelles sont les coordonnées de son image ?

J(0,1)

, car les coordonnées du centre sont remplacées par celles du vecteur

J(-1,-1)

, car l’abscisse reste fixe et l’ordonnée diminue de

1

J(1,-1)

, car les coordonnées sont échangées et leurs signes changés

J(-1,1)

, car l’abscisse reste fixe et l’ordonnée augmente de

1

Explication

La translation ajoute les coordonnées du vecteur à celles du centre, ce qui donne $(-1+0,0+1)=(-1,1)$ . Le point $(1,-1)$ résulte d’une conclusion erronée et ne correspond pas à l’application du vecteur donné.

QCM : Cercles et tangentes dans le plan (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. En complétant les carrés dans $x^2+y^2+2x-15=0$ , quels sont le centre et le rayon du cercle ?

2. Comment déterminer si le point $K(3,0)$ appartient au cercle d’équation $x^2+y^2+2x-15=0$ ?

3. Quelle est la distance entre le centre $I(-1,0)$ et la droite $\Delta:x-\sqrt3y-7=0$ ?

4. Pour un cercle de rayon $4$ , quelle condition sur la distance de son centre à une droite permet de conclure que cette droite est tangente ?

5. Quelle relation géométrique lie le rayon aboutissant au point de tangence et la tangente en ce point ?

6. Pour le cercle de centre $I(-1,0)$ et le point $K(3,0)$ , quelle équation décrit la tangente au cercle en $K$ ?

7. Un cercle de rayon $4$ subit une translation de vecteur $\vec v=(0,1)$ . Quel est le rayon de son image ?

8. Le centre d’un cercle est $I(-1,0)$ et on le translate selon le vecteur $(0,1)$ . Quelles sont les coordonnées de son image ?

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QCM : Cercles et tangentes dans le plan (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. En complétant les carrés dans x2+y2+2x−15=0x^2+y^2+2x-15=0x2+y2+2x−15=0, quels sont le centre et le rayon du cercle ?

2. Comment déterminer si le point K(3,0)K(3,0)K(3,0) appartient au cercle d’équation x2+y2+2x−15=0x^2+y^2+2x-15=0x2+y2+2x−15=0 ?

3. Quelle est la distance entre le centre I(−1,0)I(-1,0)I(−1,0) et la droite Δ:x−3y−7=0\Delta:x-\sqrt3y-7=0Δ:x−3​y−7=0 ?

4. Pour un cercle de rayon 444, quelle condition sur la distance de son centre à une droite permet de conclure que cette droite est tangente ?

5. Quelle relation géométrique lie le rayon aboutissant au point de tangence et la tangente en ce point ?

6. Pour le cercle de centre I(−1,0)I(-1,0)I(−1,0) et le point K(3,0)K(3,0)K(3,0), quelle équation décrit la tangente au cercle en KKK ?

7. Un cercle de rayon 444 subit une translation de vecteur v⃗=(0,1)\vec v=(0,1)v=(0,1). Quel est le rayon de son image ?

8. Le centre d’un cercle est I(−1,0)I(-1,0)I(−1,0) et on le translate selon le vecteur (0,1)(0,1)(0,1). Quelles sont les coordonnées de son image ?

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2. Comment déterminer si le point $K(3,0)$ appartient au cercle d’équation $x^2+y^2+2x-15=0$ ?

3. Quelle est la distance entre le centre $I(-1,0)$ et la droite $\Delta:x-\sqrt3y-7=0$ ?

4. Pour un cercle de rayon $4$ , quelle condition sur la distance de son centre à une droite permet de conclure que cette droite est tangente ?

6. Pour le cercle de centre $I(-1,0)$ et le point $K(3,0)$ , quelle équation décrit la tangente au cercle en $K$ ?

7. Un cercle de rayon $4$ subit une translation de vecteur $\vec v=(0,1)$ . Quel est le rayon de son image ?

8. Le centre d’un cercle est $I(-1,0)$ et on le translate selon le vecteur $(0,1)$ . Quelles sont les coordonnées de son image ?