Fiche de révision : Cinématique des mécanismes

📋 Plan du Cours

1. Modélisation cinématique des mécanismes
2. Cinématique du point matériel
3. Position et mouvements du solide
4. Liaisons cinématiques parfaites
5. Liaisons mécaniques normalisées
6. Graphes et schémas cinématiques
7. Fermeture et résolution géométriques

📖 1. Modélisation cinématique des mécanismes

📝 Points essentiels

• 🔄 La modélisation géométrique suit ces étapes :
  1. Modéliser les degrés de liberté relatifs et les liaisons correspondantes
  2. Paramétrer les degrés de liberté
  3. Établir les relations de fermeture géométrique
  4. Résoudre les équations pour obtenir la loi entrée-sortie géométrique

💡 Astuce mémo

Modéliser, paramétrer, fermer, résoudre

📖 2. Cinématique du point matériel

🔑 Notions clés & Définitions

• Trajectoire : L’ensemble des lieux occupés par M lorsque le temps varie.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La vitesse de M dans R est la dérivée temporelle de son vecteur position observée dans R : $\overrightarrow{V}(M/\mathcal{R})=\left(\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathcal{R}}$.

📐 Formule - Avec une accélération connue et les conditions initiales x(0)=x₀ et v(0)=v₀, la vitesse et la position à l’instant t₁ sont $v(t_1)=v_0+\int_0^{t_1}a(t)\,\mathrm{d}t$ et $x(t_1)=x_0+\int_0^{t_1}v(t)\,\mathrm{d}t$.

📖 3. Position et mouvements du solide

🔑 Notions clés & Définitions

• Isométrie : Transformation bijective de l’espace sur lui-même qui conserve les distances.
• Rotation : Isométrie d’axe Δ et d’angle θ dont l’axe Δ est l’ensemble des points invariants.

📝 Points essentiels

• Un solide indéformable libre dans l’espace possède six degrés de liberté : trois translations et trois rotations.

💡 Astuce mémo

La translation ne fixe aucun point ; la rotation fixe son axe

📖 4. Liaisons cinématiques parfaites

🔑 Notions clés & Définitions

• Liaison cinématique : Modélisation du contact entre deux solides qui précise les degrés de liberté relatifs autorisés et les actions mécaniques transmissibles.
• Liaison complète : Deux solides sont en liaison complète lorsqu’ils n’ont aucun degré de liberté relatif et se comportent comme un solide unique.

📝 Points essentiels

📌 Dans une liaison parfaite, un degré de liberté relatif autorisé correspond à une action mécanique non transmissible, tandis qu’un degré de liberté interdit correspond à une action mécanique transmissible.

💡 Astuce mémo

Liberté autorisée : action non transmise ; liberté interdite : action transmise

📖 5. Liaisons mécaniques normalisées

📝 Points essentiels

• Une liaison rotule de centre P autorise les rotations α, β et γ et n’autorise aucune translation.

• Une liaison pivot glissant d’axe $(P,\vec{x})$ autorise la rotation α et la translation u selon x.

• Une liaison pivot d’axe $(P,\vec{x})$ autorise la rotation α et n’autorise aucune translation.

📐 Formule - Dans une liaison hélicoïdale de pas p et d’axe $(P,\vec{x})$, la translation axiale et la rotation vérifient $u=\frac{p}{2\pi}\alpha$.

📖 6. Graphes et schémas cinématiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Graphe de structure : Graphe non orienté représentant les relations cinématiques entre solides, chaque solide étant un nœud et chaque liaison un arc.
• Schéma cinématique : Agencement géométrique des solides et de leurs liaisons, orientées dans la base du référentiel et représentées de manière normalisée.

💡 Astuce mémo

Le graphe donne l’architecture ; le schéma donne la géométrie

📖 7. Fermeture et résolution géométriques

📝 Points essentiels

• Tout cycle du graphe cinématique, correspondant à une chaîne fermée de solides, peut être traduit par une équation de fermeture géométrique.

• Les variables géométriques d’une résolution sont les intégrales temporelles des variables cinématiques et correspondent à des angles de rotation ou à des distances de translation.

• Pour écrire une équation de fermeture géométrique, on choisit des points entraînés dans les mouvements à relier, puis on écrit une relation de Chasles fermée qui part d’un point et y revient.

• La résolution des équations de fermeture géométrique permet d’obtenir une loi entrée-sortie reliant la position du solide d’entrée à celle du solide de sortie.

💡 Astuce mémo

Cycle → Chasles → loi entrée-sortie

📊 Tableaux de synthèse

Degrés de liberté des liaisons normalisées