Fiche de révision : Cinématique du point

📋 Plan du Cours

1. Repérage temporel et spatial
2. Vecteur position et trajectoire
3. Vecteur vitesse
4. Vecteur accélération
5. Base de Frenet
6. Mouvement circulaire uniforme

📖 1. Repérage temporel et spatial

🔑 Notions clés & Définitions

• Durée : La durée entre deux instants t1 et t2 est définie par $\Delta t = t_2-t_1$.
• Abscisse curviligne : L'abscisse curviligne s repère un point M le long d'une trajectoire orientée depuis une origine Ω et vérifie $s=\Omega M=\pm x_i$.

★ À maîtriser

• La trajectoire d'un point M est l'ensemble de ses positions successives, tandis que pour un système non ponctuel on étudie le mouvement de son centre d'inertie G.

Compléments

📌 Un instant t > 0 est postérieur à l'instant origine, tandis qu'un instant t < 0 lui est antérieur.

💡 Astuce mémo

t > 0 après l'origine, t < 0 avant l'origine

📖 2. Vecteur position et trajectoire

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur position : Vecteur qui repère M dans un repère orthonormé par $\overrightarrow{OM}=x\vec i+y\vec j+z\vec k$.

📝 Points essentiels

• Pour un point mobile, les coordonnées x, y et z du vecteur position dépendent du temps et s'écrivent x(t), y(t) et z(t), appelées équations horaires paramétriques du mouvement.

💡 Astuce mémo

Le point M se déplace sur une trajectoire tandis que le vecteur OM pointe vers lui

📖 3. Vecteur vitesse

★ À maîtriser

📐 Formule — Le vecteur vitesse instantanée est la dérivée temporelle du vecteur position : $\vec v=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}$.

• Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire au point M, orienté dans le sens du mouvement, et sa valeur s'exprime en m·s⁻¹.

📌 La valeur de la vitesse est constante lors d'un mouvement uniforme, tandis que le vecteur vitesse est constant seulement lors d'un mouvement rectiligne uniforme.

Compléments

📐 Formule — Dans un repère cartésien, les composantes de la vitesse vérifient $v_x=\frac{dx}{dt}$, $v_y=\frac{dy}{dt}$ et $v_z=\frac{dz}{dt}$.

💡 Astuce mémo

Variation de la position → vitesse tangente à la trajectoire

📖 4. Vecteur accélération

★ À maîtriser

📐 Formule — Le vecteur accélération instantanée est la dérivée temporelle du vecteur vitesse : $\vec a=\frac{d\vec v}{dt}$.

📌 L'accélération est nulle lorsque le mouvement est rectiligne uniforme.

📌 Le vecteur accélération est orienté vers l'intérieur de la courbure de la trajectoire et n'est parallèle à celle-ci que pour un mouvement rectiligne.

Compléments

📐 Formule — La valeur de l'accélération est $a=\lVert\vec a\rVert$ et s'exprime en m·s⁻².

💡 Astuce mémo

Variation de la vitesse → accélération orientée vers la concavité

📖 5. Base de Frenet

🔑 Notions clés & Définitions

• Base de Frenet : La base de Frenet est une base locale formée des vecteurs unitaires eT, tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement, et eN, normal à la trajectoire et orienté vers sa concavité.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans la base de Frenet, le vecteur vitesse s'écrit $\vec v=v\vec e_T$.

📐 Formule — Dans la base de Frenet, l'accélération s'écrit $\vec a=\frac{dv}{dt}\vec e_T+\frac{v^2}{\rho}\vec e_N$, où ρ est le rayon de courbure.

Compléments

📐 Formule — Les composantes de l'accélération cartésienne vérifient $a_x=\frac{dv_x}{dt}=\ddot{x}$, $a_y=\frac{dv_y}{dt}=\ddot{y}$ et $a_z=\frac{dv_z}{dt}=\ddot{z}$.

💡 Astuce mémo

eT suit la trajectoire, eN vise la concavité

📖 6. Mouvement circulaire uniforme

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement circulaire uniforme : Mouvement dont la trajectoire est un cercle et dont la valeur de la vitesse est constante.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour un cercle de rayon R, l'abscisse curviligne et l'angle orienté vérifient $s=R\alpha$, d'où $v=R\omega$ avec $\omega=\frac{d\alpha}{dt}$.

📐 Formule — La période de révolution d'un mouvement circulaire uniforme est $T=\frac{2\pi R}{v}=\frac{2\pi}{\omega}$.

• Dans un mouvement circulaire uniforme, l'accélération est normale à la trajectoire, dirigée vers le centre du cercle, et sa valeur est $a=\frac{v^2}{R}$.

💡 Astuce mémo

Angle α → abscisse s → vitesse v → vitesse angulaire ω

📊 Tableaux de synthèse

Vitesse et accélération