Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentation graphique
2. Forme canonique du trinôme
3. Discriminant et résolution
4. Extremum et axe de symétrie
5. Factorisation selon le discriminant
6. Signe du trinôme

📖 1. Définition et représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction qui associe à tout réel x un réel de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$, où a, b et c sont les coefficients du polynôme.

★ À maîtriser

• La représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré est une parabole possédant un axe de symétrie.

📌 Si $a>0$, la fonction est d'abord décroissante puis croissante, tandis que si $a<0$, elle est d'abord croissante puis décroissante.

Compléments

• Dans le polynôme $7x^2+8x-4$, les coefficients a, b et c sont respectivement 7, 8 et −4, tandis que dans $\sqrt{2}x^2-3$, ils sont respectivement $\sqrt{2}$, 0 et −3.

💡 Astuce mémo

a > 0 : minimum ; a < 0 : maximum

📖 2. Forme canonique du trinôme

★ À maîtriser

📐 Formule — Tout trinôme du second degré s'écrit sous la forme canonique $ax^2+bx+c=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=\frac{-b^2+4ac}{4a}$.

Compléments

• 🔄 Pour obtenir la forme canonique, il faut: mettre a en facteur, compléter le carré grâce à l'identité remarquable, regrouper les termes constants

💡 Astuce mémo

Développer → compléter le carré → regrouper

📖 3. Discriminant et résolution

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le discriminant de l'équation $ax^2+bx+c=0$, avec $a\ne0$, est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si $\Delta<0$, l'équation $ax^2+bx+c=0$ ne possède aucune solution réelle.

📌 Si $\Delta=0$, l'équation possède une solution réelle double égale à $x=-\frac{b}{2a}$.

📐 Formule — Si $\Delta>0$, l'équation possède deux solutions $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

💡 Astuce mémo

Δ : négatif, nul, positif = 0, 1 ou 2 solutions

📖 4. Extremum et axe de symétrie

📝 Points essentiels

📌 Si $a>0$, la fonction possède un minimum atteint pour $x=-\frac{b}{2a}$, et sa valeur minimale est $\frac{-b^2+4ac}{4a}$.

📌 Si $a<0$, la fonction possède un maximum atteint pour $x=-\frac{b}{2a}$, et sa valeur maximale est $\frac{-b^2+4ac}{4a}$.

📐 Formule — Dans tous les cas, l'axe de symétrie de la parabole a pour équation $x=-\frac{b}{2a}$.

💡 Astuce mémo

Parabole ouverte vers le haut : minimum ; vers le bas : maximum

📖 5. Factorisation selon le discriminant

📝 Points essentiels

📌 Si $\Delta<0$, le trinôme ne peut pas être factorisé sur les réels car l'équation associée n'a aucune solution réelle.

📐 Formule — Si $\Delta=0$, le trinôme se factorise sous la forme $ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$.

💡 Astuce mémo

Δ < 0 : impossible ; Δ = 0 : carré ; Δ > 0 : deux facteurs

📖 6. Signe du trinôme

📝 Points essentiels

• Si $\Delta<0$, le trinôme garde partout le signe de a.

• Si $\Delta=0$, le trinôme est du signe de a sauf en $x=-\frac{b}{2a}$, où il s'annule.

• Si $\Delta>0$, le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines $x_1$ et $x_2$ et du signe de −a entre elles.

💡 Astuce mémo

Entre deux racines, le signe est celui de −a ; à l’extérieur, celui de a

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant