QCM : Fonctions polynômes du second degré — 17 questions

Explication

Une fonction polynôme du second degré s’écrit $ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$, ce qui correspond à la première expression. Une fonction affine, comme $3x-5$, ne comporte pas de terme en $x^2$.

Explication

La représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré est une parabole dotée d’un axe de symétrie. Une droite correspond notamment à la représentation d’une fonction affine, et non à celle d’un trinôme du second degré.

Explication

Lorsque $a<0$, la parabole est tournée vers le bas : la fonction croît jusqu’à son sommet, puis décroît. Le comportement décroissant puis croissant correspond au cas $a>0$.

Explication

Avec $a=2$, $b=6$ et $c=-4$, on obtient $\alpha=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}$ et $\beta=\frac{-b^2+4ac}{4a}=-\frac{17}{2}$. Le discriminant, lui, se calcule par $b^2-4ac$ et ne donne pas directement la valeur de $\alpha$.

Explication

La forme canonique s’obtient en mettant d’abord $a$ en facteur, puis en complétant le carré grâce à une identité remarquable et en regroupant les constantes. Mettre $a$ en facteur constitue une étape préparatoire, mais ne suffit pas à lui seul.

Explication

Le discriminant est défini par $\Delta=b^2-4ac$. L’expression $\frac{-b^2+4ac}{4a}$ intervient dans la valeur constante de la forme canonique, et non dans le calcul du discriminant.

Explication

Son discriminant vaut $\Delta=2^2-4\times3\times5=-56$, donc il est négatif et l’équation ne possède aucune solution réelle. Une valeur positive du discriminant donnerait deux solutions réelles distinctes.

Explication

Le discriminant vaut $\Delta=(-8)^2-4\times2\times8=0$, donc l’équation possède une solution double égale à $x=-\frac{b}{2a}=2$. La valeur $x=4$ correspond au coefficient opposé de $b$, mais elle ne respecte pas la formule du sommet.

Explication

Ici, $\Delta=(-5)^2-4\times1\times4=9>0$, donc les solutions sont $x_1=\frac{5-3}{2}=1$ et $x_2=\frac{5+3}{2}=4$. Les expressions utilisant $\sqrt{41}$ ou un signe incorrect devant $b$ ne correspondent pas au discriminant ni à la formule appropriée.

Explication

Lorsque $a>0$, la parabole est tournée vers le haut et son extremum est donc un minimum atteint en $x=-\frac{b}{2a}$. Le maximum correspond au cas $a<0$, et non à un coefficient dominant positif.

Explication

Ici, $a=-2<0$, donc la fonction possède un maximum en $x=-\frac{8}{2(-2)}=2$, et sa valeur vaut $5$. Un coefficient dominant négatif entraîne une parabole tournée vers le bas, incompatible avec un minimum.

Explication

L’axe de symétrie est une droite verticale, d’équation $x=-\frac{b}{2a}$. Les expressions en $y$ ne conviennent pas, car elles décriraient des droites horizontales.

Explication

La condition $\Delta<0$ signifie que l’équation associée n’a aucune solution réelle, donc le trinôme ne peut pas être factorisé en facteurs linéaires réels. Une racine double et une forme carrée correspondent au cas $\Delta=0$.

Explication

Pour $\Delta=0$, le trinôme possède une racine double et s’écrit $a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$. La forme avec deux facteurs de signes opposés ne représente pas la factorisation générale d’une racine double.

Explication

Avec $\Delta<0$, le trinôme n’a aucune racine réelle et conserve donc partout le signe de son coefficient $a$. Le changement de signe entre deux racines concerne le cas $\Delta>0$.

Explication

Lorsque $\Delta=0$, le trinôme possède une racine double en $x=-\frac{b}{2a}$; il vaut donc zéro à cette valeur et conserve ailleurs le signe de $a$. Deux annulations distinctes et un changement de signe caractérisent plutôt $\Delta>0$.

Explication

Lorsque $\Delta>0$, le trinôme est du signe de $a$ à l’extérieur des deux racines et du signe de $-a$ entre elles. L’extérieur de l’intervalle conserve donc le signe de $a$, contrairement à la région située entre les racines.