Fiche de révision : Cinématique du point matériel

📋 Plan du Cours

1. Mouvement, repères et trajectoire
2. Position et équations du mouvement
3. Vitesse et accélération cartésiennes
4. Mouvements rectilignes
5. Coordonnées polaires et cylindriques
6. Mouvements circulaires
7. Repère de Frenet
8. Mouvements relatif et absolu

📖 1. Mouvement, repères et trajectoire

🔑 Notions clés & Définitions

• Cinématique : Étude du mouvement des corps dans l’espace en fonction du temps, sans s’intéresser aux causes qui le produisent.
• Repère d’espace : Constitué d’un point O appelé origine et de trois vecteurs formant une base, le plus souvent orthonormée directe.
• Référentiel : Constitué d’un repère d’espace et d’un repère de temps, et servant d’objet de référence pour étudier un mouvement.
• Trajectoire : Ensemble des positions successives occupées par un mobile pendant son mouvement, représenté par une courbe dans l’espace.
• Repère de temps : Constitué d’un instant d’origine et d’une échelle de temps.

★ À maîtriser

• Étudier le mouvement d’un mobile consiste à : déterminer l’équation de sa trajectoire, déterminer la relation entre sa position et le temps, déterminer la relation entre sa vitesse et le temps, déterminer la relation entre son accélération et le temps

Compléments

• En cinématique, les corps de faibles dimensions sont assimilés à des points appelés mobiles.

• Les grandeurs physiques de la cinématique sont :

  • le temps
  • la position
  • la vitesse
  • l’accélération

• Le référentiel terrestre et le référentiel du train en marche sont deux référentiels distincts pour étudier le mouvement d’une personne dans un train.

• Des exemples de référentiels sont :

  • le référentiel héliocentrique
  • le référentiel terrestre
  • le référentiel géocentrique

💡 Astuce mémo

Le repère situe ; le référentiel situe et date.

📖 2. Position et équations du mouvement

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation de trajectoire : Relation entre les coordonnées du point, indépendante du temps, de la forme $f(x,y,z)=0$.
• Coordonnées cartésiennes : Coordonnées x, y et z d’un point M dans un repère orthonormé.

★ À maîtriser

• Dans un repère orthonormé, la position du mobile M est donnée à chaque instant par les coordonnées x, y et z de son vecteur position.

📐 Formule - Dans la base cartésienne, le vecteur position s’écrit $\overrightarrow{OM}=x\vec e_x+y\vec e_y+z\vec e_z$.

📌 Un point M est en mouvement dans un repère orthonormé si au moins une de ses coordonnées change au cours du temps.

📐 Formule - Les équations horaires du mouvement sont $x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t)$.

Compléments

• Dans le plan, une trajectoire rectiligne peut s’écrire $y=ax+b$, une trajectoire parabolique $y=ax^2+bx+c$ et une trajectoire circulaire de centre O et de rayon R $x^2+y^2=R^2$.

📖 3. Vitesse et accélération cartésiennes

🔑 Notions clés & Définitions

• Vitesse moyenne : La vitesse moyenne vectorielle entre les instants $t_1$ et $t_2$ est le déplacement $\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1}$ divisé par la durée $t_2-t_1$.
• Accélération moyenne : L’accélération moyenne est la variation du vecteur vitesse divisée par la durée correspondante, soit $\vec a_{moy}=\frac{\vec v_2-\vec v_1}{t_2-t_1}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La vitesse instantanée est $\vec v_M(t)=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta\overrightarrow{OM}}{\Delta t}$.

• Le vecteur vitesse en un point est tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.

📐 Formule - Dans une base cartésienne fixe, la vitesse s’écrit $\vec v_M=\dot x\vec e_x+\dot y\vec e_y+\dot z\vec e_z$, avec $v_x=\dot x,\ v_y=\dot y,\ v_z=\dot z$.

📐 Formule - L’accélération instantanée est $\vec a_M=\frac{d\vec v_M}{dt}=\frac{d^2\overrightarrow{OM}}{dt^2}$.

📐 Formule - Dans une base cartésienne fixe, $\vec a_M=\ddot x\vec e_x+\ddot y\vec e_y+\ddot z\vec e_z$, avec $a_x=\ddot x,\ a_y=\ddot y,\ a_z=\ddot z$.

Compléments

📐 Formule - Le module de la vitesse cartésienne est $v_M=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$ et s’exprime en m/s.

📐 Formule - Le module de l’accélération cartésienne est $a_M=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$ et s’exprime en m/s².

• La position s’obtient par intégration de la vitesse et la vitesse par intégration de l’accélération, avec des constantes fixées par les conditions initiales de position et de vitesse.

💡 Astuce mémo

Position → dérivée : vitesse → dérivée : accélération.

📖 4. Mouvements rectilignes

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement rectiligne uniforme : Suit une droite avec un vecteur vitesse constant.
• Mouvement rectiligne uniformément varié : Suit une droite et possède un vecteur accélération constant.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un mouvement rectiligne uniforme, l’accélération est nulle et la position vérifie $x(t)=v_0t+x_0$.

📐 Formule - Dans un mouvement rectiligne uniformément varié, la vitesse vérifie $v(t)=a_0t+v_0$.

📐 Formule - Dans un mouvement rectiligne uniformément varié, la position vérifie $x(t)=\frac12a_0t^2+v_0t+x_0$.

Compléments

📐 Formule - Dans un mouvement rectiligne uniformément varié, la relation indépendante du temps est $v^2-v_0^2=2a_0(x-x_0)$.

📌 Dans un mouvement rectiligne uniformément accéléré, $\vec v\cdot\vec a>0$, tandis que dans un mouvement rectiligne uniformément retardé, $\vec v\cdot\vec a<0$.

💡 Astuce mémo

MRU : vitesse constante ; MRUV : accélération constante.

📖 5. Coordonnées polaires et cylindriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées polaires : Les coordonnées polaires d’un point sont la distance $r=\|\overrightarrow{OM}\|$, avec $r\geq0$, et l’angle $\theta=(\overrightarrow{Ox};\overrightarrow{OM})$, avec $0\leq\theta\leq2\pi$.
• Coordonnées cylindriques : Les coordonnées cylindriques d’un point M sont $r=\|OH\|$, l’angle $\theta=(\overrightarrow{Ox};\overrightarrow{OH})$ et la coordonnée verticale $z=\overrightarrow{HM}\cdot\vec e_z$.

★ À maîtriser

📐 Formule - En coordonnées polaires, $\overrightarrow{OM}=r\vec e_r$ et $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$.

📐 Formule - En coordonnées cylindriques, $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ z=z$ et $\overrightarrow{OM}=r\vec e_r+z\vec e_z$.

📐 Formule - En coordonnées cylindriques, $\vec v_M=\dot r\vec e_r+r\dot\theta\vec e_\theta+\dot z\vec e_z$.

📐 Formule - En coordonnées cylindriques, $\vec a_M=(\ddot r-r\dot\theta^2)\vec e_r+(2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta)\vec e_\theta+\ddot z\vec e_z$.

Compléments

• Les coordonnées polaires $r,\theta$ repèrent un point dans un plan et sont adaptées notamment aux mouvements circulaires et elliptiques.

• La base polaire $(\vec e_r,\vec e_\theta)$ est locale et varie avec le point M.

📐 Formule - Dans la base cylindrique mobile, $\frac{d\vec e_r}{dt}=\dot\theta\vec e_\theta$ et $\frac{d\vec e_\theta}{dt}=-\dot\theta\vec e_r$.

💡 Astuce mémo

Dans le plan, imaginez un rayon tournant autour de O ; en cylindrique, ajoutez la hauteur z.

📖 6. Mouvements circulaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement circulaire : A pour trajectoire un cercle de centre O et de rayon R.
• Mouvement circulaire uniforme : Un mouvement circulaire est uniforme lorsque la vitesse angulaire $\dot\theta=\omega_0$ est constante, et alors $\theta(t)=\omega_0t+\theta_0$.
• Mouvement circulaire uniformément varié : Un mouvement circulaire est uniformément varié lorsque l’accélération angulaire $\ddot\theta=\ddot\theta_0$ est constante, avec $\dot\theta(t)=\ddot\theta_0t+\dot\theta_0$ et $\theta(t)=\frac12\ddot\theta_0t^2+\dot\theta_0t+\theta_0$.
• Période : Temps nécessaire pour effectuer un tour complet.
• Fréquence : La fréquence f d’un mouvement circulaire uniforme est le nombre de tours effectués par seconde et vérifie $f=\frac1T=\frac{v}{2\pi R}$.
• Pendule simple : Masse ponctuelle fixée à l’extrémité d’un fil sans masse et inextensible, qui oscille sans frottements sous l’effet de la pesanteur autour d’une position d’équilibre.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un mouvement circulaire de rayon constant R dans le plan, $r=R,\ z=0,\ \theta=\theta(t)$, et $\vec v=R\dot\theta\vec e_\theta,\ \vec a=-R\dot\theta^2\vec e_r+R\ddot\theta\vec e_\theta$.

📐 Formule - En mouvement circulaire uniforme, $v=R\omega_0$ et l’accélération est centripète, de module $a=R\omega_0^2=\frac{v^2}{R}$, dirigée vers le centre et modifiant la direction de la vitesse.

Compléments

📐 Formule - Pour le pendule simple, la vitesse et le module de l’accélération sont $v_M=l\dot\theta$ et $a_M=\sqrt{(l\dot\theta^2)^2+(l\ddot\theta)^2}$.

💡 Astuce mémo

En circulaire uniforme, la vitesse garde son module mais l’accélération change sa direction.

📖 7. Repère de Frenet

🔑 Notions clés & Définitions

• Abscisse curviligne : Mesure algébrique de l’arc AM sur la trajectoire, définie après choix d’une origine A et d’un sens positif.
• Repère de Frenet : Repère mobile d’origine M attaché à une trajectoire plane, dont $\vec e_T$ est tangent à la trajectoire dans le sens positif et $\vec e_N$ est normal à la trajectoire, perpendiculaire à $\vec e_T$ et orienté vers l’intérieur de la courbure.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans la base de Frenet, la vitesse est tangentielle et s’écrit $\vec v_M=v_T\vec e_T=\dot s\vec e_T$, avec $v_T=\frac{ds}{dt}$.

📐 Formule - Dans la base de Frenet, l’accélération vaut $\vec a_M=\frac{dv_T}{dt}\vec e_T+\frac{v_T^2}{R_C}\vec e_N$, avec $a_T=\ddot s$ et $a_N=\frac{v_T^2}{R_C}$.

Compléments

📌 L’utilisation de l’abscisse curviligne exige de connaître la trajectoire du mobile.

📐 Formule - L’équation horaire du mouvement exprimée par l’abscisse curviligne est $s=f(t)$.

• Pour un mouvement circulaire uniforme, l’accélération de Frenet est centripète et vaut $\vec a_M=R\omega_0^2\vec e_N=\frac{v_M^2}{R}\vec e_N$.

💡 Astuce mémo

Tangent : variation du module ; normal : variation de direction.

📖 8. Mouvements relatif et absolu

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement relatif : Mouvement de M par rapport au référentiel mobile $\mathcal R'$.
• Mouvement absolu : Mouvement de M par rapport au référentiel $\mathcal R$ considéré comme fixe.
• Mouvement d’entraînement : Mouvement du référentiel mobile $\mathcal R'$ par rapport au référentiel fixe $\mathcal R$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La vitesse absolue est la somme de la vitesse d’entraînement et de la vitesse relative : $\vec v_a=\vec v_e+\vec v_r$.

📐 Formule - Dans le cas étudié, l’accélération absolue est la somme de l’accélération d’entraînement et de l’accélération relative : $\vec a_a=\vec a_e+\vec a_r$.

Compléments

• Dans la situation décrite, $\mathcal R$ est le référentiel absolu et $\mathcal R'$ est le référentiel relatif.