QCM : Cinématique et dynamique des référentiels tournants — 17 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quel mouvement décrit un point matériel soumis à une résultante des forces nulle dans un référentiel galiléen ?

Un mouvement curviligne à vitesse variable
Un mouvement rectiligne uniforme
Un mouvement circulaire uniforme
Un mouvement rectiligne uniformément accéléré

Un mouvement rectiligne uniforme

Explication

Dans un référentiel galiléen, le principe d’inertie s’applique directement : une résultante nulle produit un mouvement rectiligne uniforme. Un mouvement circulaire nécessite une accélération dirigée vers le centre.

2. Comment s’écrit la position d’un point M repérée depuis l’origine O du référentiel R ?

OM→=x′u⃗x′+y′u⃗y′+z′u⃗z′\overrightarrow{OM}=x'\vec u'_x+y'\vec u'_y+z'\vec u'_z
O′M→=x′u⃗x+y′u⃗y+z′u⃗z\overrightarrow{O'M}=x'\vec u_x+y'\vec u_y+z'\vec u_z
O′M→=xu⃗x+yu⃗y+zu⃗z\overrightarrow{O'M}=x\vec u_x+y\vec u_y+z\vec u_z
OM→=xu⃗x+yu⃗y+zu⃗z\overrightarrow{OM}=x\vec u_x+y\vec u_y+z\vec u_z

$$\overrightarrow{OM}=x\vec u_x+y\vec u_y+z\vec u_z$$

Explication

La position relative à O dans R utilise les coordonnées x,y,zx,y,z et les vecteurs de base non primés. Les coordonnées primées et les vecteurs de base primés décrivent la position relative à O’ dans R’.

3. Un référentiel R’ est en translation par rapport à R. Quelle relation donne la vitesse absolue d’un point M ?

v⃗M/R′=v⃗O′/R+v⃗M/R\vec v_{M/R'}=\vec v_{O'/R}+\vec v_{M/R}
v⃗M/R=v⃗O′/R−v⃗M/R′\vec v_{M/R}=\vec v_{O'/R}-\vec v_{M/R'}
v⃗M/R=v⃗O′/R+v⃗M/R′\vec v_{M/R}=\vec v_{O'/R}+\vec v_{M/R'}
v⃗M/R=v⃗M/R′+v⃗O/R′\vec v_{M/R}=\vec v_{M/R'}+\vec v_{O/R'}

$$\vec v_{M/R}=\vec v_{O'/R}+\vec v_{M/R'}$$

Explication

Pour une translation de R’, la vitesse absolue est la somme de la vitesse de l’origine O’ et de la vitesse relative de M. La soustraction ne correspond pas à la composition des vitesses dans ce cas.

4. Quelle expression représente la vitesse d’entraînement d’un point M dans un référentiel R’ en rotation par rapport à R ?

v⃗e=v⃗O′/R+ω⃗∧O′M→\vec v_e=\vec v_{O'/R}+\vec\omega\wedge\overrightarrow{O'M}
v⃗e=v⃗O′/R−ω⃗∧O′M→\vec v_e=\vec v_{O'/R}-\vec\omega\wedge\overrightarrow{O'M}
v⃗e=v⃗M/R′+ω⃗∧OM→\vec v_e=\vec v_{M/R'}+\vec\omega\wedge\overrightarrow{OM}
v⃗e=v⃗M/R+ω⃗∧O′M→\vec v_e=\vec v_{M/R}+\vec\omega\wedge\overrightarrow{O'M}

$$\vec v_e=\vec v_{O'/R}+\vec\omega\wedge\overrightarrow{O'M}$$

Explication

La vitesse d’entraînement combine la translation de l’origine O’ et la contribution due à la rotation des axes autour de O’. La vitesse relative de M ne constitue pas cette contribution d’entraînement.

5. Quelle relation générale relie la vitesse absolue, la vitesse relative et la vitesse d’entraînement ?

v⃗e=v⃗M/R−v⃗M/R′\vec v_e=\vec v_{M/R}-\vec v_{M/R'}
v⃗M/R=v⃗e−v⃗M/R′\vec v_{M/R}=\vec v_e-\vec v_{M/R'}
v⃗M/R=v⃗M/R′+v⃗e\vec v_{M/R}=\vec v_{M/R'}+\vec v_e
v⃗M/R′=v⃗M/R+v⃗e\vec v_{M/R'}=\vec v_{M/R}+\vec v_e

$$\vec v_{M/R}=\vec v_{M/R'}+\vec v_e$$

Explication

La vitesse absolue est obtenue en additionnant la vitesse relative et la vitesse d’entraînement. La relation proposée avec une soustraction inverse les rôles des contributions cinématiques.

6. De quelle grandeur dépend directement l’accélération de Coriolis a⃗c=2ω⃗∧v⃗M/R′\vec a_c=2\vec\omega\wedge\vec v_{M/R'} ?

De la variation temporelle de ω⃗\vec\omega
De la position de M par rapport à O’
De l’accélération de l’origine O’
De la vitesse relative de M dans R’

De la vitesse relative de M dans R’

Explication

L’accélération de Coriolis contient explicitement la vitesse relative v⃗M/R′\vec v_{M/R'} et la vitesse angulaire ω⃗\vec\omega. La position intervient dans le terme centrifuge, tandis que ω⃗˙\dot{\vec\omega} intervient dans le terme d’Euler.

7. Quel terme de l’accélération d’entraînement est associé à la variation de la vitesse angulaire ?

a⃗O′/R\vec a_{O'/R}
ω⃗˙∧O′M→\dot{\vec\omega}\wedge\overrightarrow{O'M}
2ω⃗∧v⃗M/R′2\vec\omega\wedge\vec v_{M/R'}
ω⃗∧(ω⃗∧O′M→)\vec\omega\wedge(\vec\omega\wedge\overrightarrow{O'M})

$$\dot{\vec\omega}\wedge\overrightarrow{O'M}$$

Explication

Le terme ω⃗˙∧O′M→\dot{\vec\omega}\wedge\overrightarrow{O'M} est le terme d’Euler, lié à la variation de la vitesse angulaire. Le terme doublement croisé avec ω⃗\vec\omega correspond à l’effet centrifuge.

8. Quelles expressions correspondent respectivement aux forces d’inertie de Coriolis et centrifuge dans un référentiel non galiléen ?

f⃗ic=−2mω⃗∧v⃗M/R′\vec f_{ic}=-2m\vec\omega\wedge\vec v_{M/R'} et f⃗ie=−mω⃗∧(ω⃗∧O′M→)\vec f_{ie}=-m\vec\omega\wedge(\vec\omega\wedge\overrightarrow{O'M})
f⃗ic=−mω⃗˙∧O′M→\vec f_{ic}=-m\dot{\vec\omega}\wedge\overrightarrow{O'M} et f⃗ie=−2mω⃗∧v⃗M/R′\vec f_{ie}=-2m\vec\omega\wedge\vec v_{M/R'}
f⃗ic=2mω⃗∧v⃗M/R′\vec f_{ic}=2m\vec\omega\wedge\vec v_{M/R'} et f⃗ie=mω⃗∧(ω⃗∧O′M→)\vec f_{ie}=m\vec\omega\wedge(\vec\omega\wedge\overrightarrow{O'M})
f⃗ic=−mω⃗∧(ω⃗∧O′M→)\vec f_{ic}=-m\vec\omega\wedge(\vec\omega\wedge\overrightarrow{O'M}) et f⃗ie=−2mω⃗∧v⃗M/R′\vec f_{ie}=-2m\vec\omega\wedge\vec v_{M/R'}

$$\vec f_{ic}=-2m\vec\omega\wedge\vec v_{M/R'}$$ et $$\vec f_{ie}=-m\vec\omega\wedge(\vec\omega\wedge\overrightarrow{O'M})$$

Explication

La force de Coriolis est opposée à 2mω⃗∧v⃗M/R′2m\vec\omega\wedge\vec v_{M/R'}, tandis que la force centrifuge est opposée au terme doublement croisé en ω⃗\vec\omega et O′M→\overrightarrow{O'M}. Les signes et l’association des termes distinguent ces deux forces d’inertie.

9. Dans un référentiel tournant, comment s’écrit la force fictive totale agissant sur un objet ?

f⃗i=f⃗ie+f⃗ic−f⃗i Euler\vec f_i=\vec f_{ie}+\vec f_{ic}-\vec f_{i\,\text{Euler}}
f⃗i=f⃗ie×f⃗ic+f⃗i Euler\vec f_i=\vec f_{ie}\times\vec f_{ic}+\vec f_{i\,\text{Euler}}
f⃗i=f⃗ie−f⃗ic+f⃗i Euler\vec f_i=\vec f_{ie}-\vec f_{ic}+\vec f_{i\,\text{Euler}}
f⃗i=f⃗ie+f⃗ic+f⃗i Euler\vec f_i=\vec f_{ie}+\vec f_{ic}+\vec f_{i\,\text{Euler}}

$$\vec f_i=\vec f_{ie}+\vec f_{ic}+\vec f_{i\,\text{Euler}}$$

Explication

La force fictive totale additionne les contributions centrifuge, de Coriolis et d’Euler. Elle ne constitue donc pas une force élémentaire unique, contrairement à une confusion fréquente.

10. Une voiture immobile par rapport à la route est observée successivement depuis la route et depuis la voiture : quelle relation décrit leurs accélérations relatives ?

Les deux accélérations relatives sont nulles, car les deux référentiels ont toujours le même mouvement.
L’accélération de la voiture par rapport à la route est l’opposée de celle de la route par rapport à la voiture.
L’accélération de la voiture par rapport à la route est nulle, et la relation inverse est son opposée.
L’accélération de la voiture par rapport à la route est égale à celle de la route par rapport à la voiture.

L’accélération de la voiture par rapport à la route est nulle, et la relation inverse est son opposée.

Explication

Lorsque la voiture est immobile par rapport à la route, son accélération relative à la route est nulle, tandis que l’accélération inverse est l’opposée de celle de la voiture par rapport à la route. Les deux référentiels ne possèdent pas pour autant le même mouvement dans toute situation.

11. Quelle équation radiale décrit la masse liée à un axe tournant dans la situation considérée ?

r¨−rω2−gsin⁡α=0\ddot r-r\omega^2-g\sin\alpha=0
r¨+rω2−gsin⁡α=0\ddot r+r\omega^2-g\sin\alpha=0
r¨+rω2+gsin⁡α=0\ddot r+r\omega^2+g\sin\alpha=0
r¨−rω2+gsin⁡α=0\ddot r-r\omega^2+g\sin\alpha=0

$$\ddot r-r\omega^2+g\sin\alpha=0$$

Explication

L’équation radiale associe l’accélération radiale r¨\ddot r, le terme de rotation −rω2-r\omega^2 et la contribution gravitationnelle gsin⁡αg\sin\alpha. Le terme lié à la rotation ne doit donc pas être confondu avec celui de la pesanteur.

12. Quelle condition caractérise la position d’équilibre d’une masse liée à un axe tournant ?

cos⁡α=rω2g\cos\alpha=\frac{r\omega^2}{g}
sin⁡α=grω2\sin\alpha=\frac{g}{r\omega^2}
sin⁡α=rω2g\sin\alpha=\frac{r\omega^2}{g}
sin⁡α=rgω2\sin\alpha=\frac{r g}{\omega^2}

$$\sin\alpha=\frac{r\omega^2}{g}$$

Explication

À l’équilibre, la condition obtenue est sin⁡α=rω2g\sin\alpha=\frac{r\omega^2}{g}, ce qui relie l’inclinaison à la rotation et à la pesanteur. Inverser le rapport ou remplacer le sinus par le cosinus donne une relation différente.

13. Comment classer l’équilibre selon la comparaison entre rω2r\omega^2 et gg ?

Il est stable si rω2=gr\omega^2=g, limite si rω2<gr\omega^2<g et instable si rω2>gr\omega^2>g.
Il est limite si rω2>gr\omega^2>g, stable si rω2<gr\omega^2<g et instable si rω2=gr\omega^2=g.
Il est stable si rω2<gr\omega^2<g, instable si rω2>gr\omega^2>g et limite si rω2=gr\omega^2=g.
Il est instable si rω2<gr\omega^2<g, stable si rω2>gr\omega^2>g et limite si rω2=gr\omega^2=g.

Il est stable si $$r\omega^2<g$$, instable si $$r\omega^2>g$$ et limite si $$r\omega^2=g$$.

Explication

La stabilité correspond à une contribution rotationnelle inférieure à la pesanteur, tandis que l’instabilité apparaît lorsqu’elle lui est supérieure ; l’égalité définit le cas limite. La confusion la plus fréquente consiste à intervertir les cas stable et instable.

14. De quelles contributions résulte la pesanteur apparente à la surface de la Terre ?

De la pesanteur gravitationnelle et de l’accélération centrifuge terrestre.
De la pesanteur gravitationnelle et de l’accélération de Coriolis terrestre.
De l’accélération centrifuge terrestre et de l’accélération d’Euler.
De la pesanteur gravitationnelle et de l’accélération tangentielle terrestre.

De la pesanteur gravitationnelle et de l’accélération centrifuge terrestre.

Explication

La pesanteur apparente est la résultante de la pesanteur gravitationnelle et de l’accélération centrifuge produite par la rotation terrestre. Elle ne se réduit donc pas à la gravitation mesurée isolément.

15. Quelle expression vectorielle décrit l’accélération apparente à la surface terrestre ?

g⃗a=g⃗−Ω⃗∧(Ω⃗∧HO→)\vec g_a=\vec g-\vec\Omega\wedge(\vec\Omega\wedge\overrightarrow{HO})
g⃗a=g⃗+HO→∧(Ω⃗∧Ω⃗)\vec g_a=\vec g+\overrightarrow{HO}\wedge(\vec\Omega\wedge\vec\Omega)
g⃗a=g⃗+Ω⃗∧(Ω⃗∧HO→)\vec g_a=\vec g+\vec\Omega\wedge(\vec\Omega\wedge\overrightarrow{HO})
g⃗a=g⃗+Ω⃗∧HO→\vec g_a=\vec g+\vec\Omega\wedge\overrightarrow{HO}

$$\vec g_a=\vec g+\vec\Omega\wedge(\vec\Omega\wedge\overrightarrow{HO})$$

Explication

L’accélération apparente additionne g⃗\vec g et le terme centrifuge Ω⃗∧(Ω⃗∧HO→)\vec\Omega\wedge(\vec\Omega\wedge\overrightarrow{HO}). Utiliser un signe moins ou supprimer l’un des produits vectoriels ne représente pas la contribution centrifuge terrestre indiquée.

16. Quelle expression décrit la force de Coriolis exercée sur une masse mm animée d’une vitesse v⃗\vec v dans le référentiel terrestre en rotation à la vitesse angulaire Ω⃗\vec\Omega ?

f⃗ic=mΩ⃗2∧v⃗\vec f_{ic}=m\vec\Omega^2\wedge\vec v
f⃗ic=−mΩ⃗∧v⃗\vec f_{ic}=-m\vec\Omega\wedge\vec v
f⃗ic=2mΩ⃗⋅v⃗\vec f_{ic}=2m\vec\Omega\cdot\vec v
f⃗ic=−2mΩ⃗∧v⃗\vec f_{ic}=-2m\vec\Omega\wedge\vec v

$$\vec f_{ic}=-2m\vec\Omega\wedge\vec v$$

Explication

La force de Coriolis s’écrit comme le produit vectoriel −2mΩ⃗∧v⃗-2m\vec\Omega\wedge\vec v, ce qui montre qu’elle dépend de la masse, de la rotation terrestre et de la vitesse. L’expression fondée sur un produit scalaire ne décrit pas cette force, car sa direction résulte d’un produit vectoriel.

17. Un objet est immobile par rapport au sol terrestre. Quelle conclusion peut-on tirer concernant la force de Coriolis qui lui est associée ?

Elle conserve une direction vers l’est à latitude constante
Elle atteint sa valeur maximale près de l’équateur
Elle s’annule parce que sa vitesse relative est nulle
Elle est remplacée par une force centrifuge horizontale

Elle s’annule parce que sa vitesse relative est nulle

Explication

La force de Coriolis est proportionnelle à la vitesse v⃗\vec v dans le référentiel terrestre ; elle est donc nulle pour un objet immobile dans ce référentiel. La force centrifuge constitue un autre effet du référentiel en rotation et ne remplace pas la force de Coriolis.

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Qu'est-ce qu'un référentiel galiléen ?

Un référentiel où un point sans force subit un mouvement rectiligne uniforme.

Comment s'exprime la position d'un point M dans un référentiel R ?

Par OM→=xu⃗x+yu⃗y+zu⃗z\overrightarrow{OM}=x\vec u_x+y\vec u_y+z\vec u_z.

Quelle relation lie la vitesse absolue dans deux référentiels en translation ?

v⃗M/R=v⃗O′/R+v⃗M/R′\vec v_{M/R}=\vec v_{O'/R}+\vec v_{M/R'}.

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