Fiche de révision : Cinématique et dynamique des référentiels tournants

📋 Plan du Cours

1. Changement de référentiel galiléen
2. Vitesse dans un référentiel tournant
3. Accélération et forces d’inertie
4. Applications mécaniques de la rotation
5. Pendule et équilibre relatif
6. Référentiel terrestre et pesanteur
7. Effet de Coriolis terrestre

📖 1. Changement de référentiel galiléen

🔑 Notions clés & Définitions

• Référentiel galiléen : Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le mouvement d’un point matériel soumis à une résultante des forces nulle est rectiligne uniforme.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La position d’un point M s’écrit $\overrightarrow{OM}=x\vec u_x+y\vec u_y+z\vec u_z$ dans le référentiel R et $\overrightarrow{O'M}=x'\vec u'_x+y'\vec u'_y+z'\vec u'_z$ dans le référentiel R’.

📐 Formule — La vitesse absolue vérifie $\vec v_{M/R}=\vec v_{O'/R}+\vec v_{M/R'}$ lorsque R’ est en translation par rapport à R.

💡 Astuce mémo

Référentiel galiléen : vitesse composée sans terme de rotation ; référentiel tournant : apparition de termes d’inertie.

📖 2. Vitesse dans un référentiel tournant

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un référentiel R’ en rotation d’instantanée $\vec\omega$ par rapport à R, la vitesse d’entraînement est $\vec v_e=\vec v_{O'/R}+\vec\omega\wedge\overrightarrow{O'M}$.

📐 Formule — La relation générale des vitesses est $\vec v_{M/R}=\vec v_{M/R'}+\vec v_e$.

Compléments

📐 Formule — Pour une grandeur vectorielle $\vec A$, sa dérivée dans R vérifie $\left(\frac{d\vec A}{dt}\right)_R=\left(\frac{d\vec A}{dt}\right)_{R'}+\vec\omega\wedge\vec A$.

💡 Astuce mémo

Rotation des axes → vitesse d’entraînement et terme d’Euler.

📖 3. Accélération et forces d’inertie

★ À maîtriser

📐 Formule — L’accélération absolue s’écrit $\vec a_{M/R}=\vec a_{M/R'}+\vec a_e+\vec a_c$, où $\vec a_c=2\vec\omega\wedge\vec v_{M/R'}$ est l’accélération de Coriolis.

📐 Formule — L’accélération d’entraînement comprend $\vec a_e=\vec a_{O'/R}+\dot{\vec\omega}\wedge\overrightarrow{O'M}+\vec\omega\wedge(\vec\omega\wedge\overrightarrow{O'M})$.

📐 Formule — Dans un référentiel non galiléen, les forces d’inertie comprennent la force de Coriolis $\vec f_{ic}=-2m\vec\omega\wedge\vec v_{M/R'}$ et la force centrifuge $\vec f_{ie}=-m\vec\omega\wedge(\vec\omega\wedge\overrightarrow{O'M})$.

Compléments

📐 Formule — La force d’inertie d’Euler vaut $\vec f_{i\,\text{Euler}}=-m\dot{\vec\omega}\wedge\overrightarrow{O'M}$ lorsque la vitesse angulaire varie.

💡 Astuce mémo

Translation, Coriolis, centrifuge, Euler.

📖 4. Applications mécaniques de la rotation

📝 Points essentiels

📐 Formule — La force fictive totale dans le référentiel tournant vérifie $\vec f_i=\vec f_{ie}+\vec f_{ic}+\vec f_{i\,\text{Euler}}$.

• Pour une voiture observée depuis la route, l’accélération de la voiture par rapport à la route est nulle et l’accélération de la route par rapport à la voiture est l’opposée de celle de la voiture par rapport à la route.

📖 5. Pendule et équilibre relatif

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une masse liée à un axe tournant, l’équation radiale donnée est $\ddot r-r\omega^2+g\sin\alpha=0$.

📐 Formule — La position d’équilibre vérifie $\sin\alpha=\frac{r\omega^2}{g}$.

📌 L’équilibre est stable si $r\omega^2<g$, instable si $r\omega^2>g$ et limite si $r\omega^2=g$.

💡 Astuce mémo

Équilibre stable si la position est au-dessus du seuil ; instable si elle est au-dessous.

📖 6. Référentiel terrestre et pesanteur

🔑 Notions clés & Définitions

• Pesanteur apparente : La résultante de la pesanteur gravitationnelle et de l’accélération centrifuge due à la rotation terrestre.

★ À maîtriser

📐 Formule — À la surface terrestre, l’accélération apparente vérifie $\vec g_a=\vec g+\vec\Omega\wedge(\vec\Omega\wedge\overrightarrow{HO})$.

Compléments

• La vitesse angulaire de rotation de la Terre vaut approximativement $\Omega=7{,}3\times10^{-5}\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$.

• La différence relative entre la pesanteur à l’équateur et aux pôles est d’environ 0,34 %.

💡 Astuce mémo

Rotation terrestre → accélération centrifuge → pesanteur apparente diminuée.

📖 7. Effet de Coriolis terrestre

★ À maîtriser

📐 Formule — La force de Coriolis terrestre s’écrit $\vec f_{ic}=-2m\vec\Omega\wedge\vec v$.

Compléments

• Pour une vitesse verticale, la composante horizontale de la force de Coriolis est proportionnelle à $2m\Omega v_z\sin\lambda$.

📐 Formule — Pour un projectile horizontal, la force de Coriolis est également donnée par $\vec f_{ic}=-2m\vec\Omega\wedge\vec v$ et dépend donc de la direction de la vitesse.

• Lors d’une chute verticale dans le référentiel terrestre, la force de Coriolis dévie le mobile vers l’est.

• Dans l’exemple numérique fourni, une chute de hauteur 100 m à la latitude 45° produit une déviation d’environ 1,5 cm.

💡 Astuce mémo

Une chute verticale est légèrement déviée vers l’est par la force de Coriolis.

📊 Tableaux de synthèse

Forces d’inertie en référentiel tournant