Fiche de révision : Combinaisons et fonctions usuelles

📋 Plan du Cours

1. Opérations logiques et démonstrations
2. Relations et applications
3. Combinaisons et triangle de Pascal
4. Opérations et ordre sur les réels
5. Valeur absolue et distance
6. Bornes et partie entière
7. Logarithme népérien
8. Exponentielle et puissances réelles
9. Fonctions trigonométriques et formules
10. Nombres complexes et formes trigonométriques
11. Limites finies et limites latérales
12. Continuité et asymptotes
13. Dérivabilité et accroissements finis
14. Variations et limites des dérivées
15. Dérivées successives et régularité
16. Vecteurs, angles et produit scalaire
17. Représentations paramétriques et cartésiennes
18. Intersections de droites et de plans

📖 1. Opérations logiques et démonstrations

🔑 Notions clés & Définitions

• Implication : L’implication $A \Rightarrow B$ est équivalente à $\text{non }A \text{ ou } B$ et impose que B soit vraie lorsque A est vraie.
• Quantificateur existentiel : Le quantificateur existentiel $\exists x, A(x)$ affirme qu’il existe au moins un x pour lequel A(x) est vraie.
• Quantificateur universel : Le quantificateur universel $\forall x, A(x)$ affirme que A(x) est vraie pour tout x.
• Existence unique : La notation $\exists!x, A(x)$ affirme qu’il existe un unique x pour lequel A(x) est vraie.

★ À maîtriser

• L’équivalence $A \Leftrightarrow B$ signifie que les deux implications $A \Rightarrow B$ et $B \Rightarrow A$ sont vraies.

📌 La contraposée de $A \Rightarrow B$ est $\text{non }B \Rightarrow \text{non }A$, et elle lui est équivalente.

• Une démonstration par récurrence établit d’abord le cas initial, puis prouve que, pour tout entier n, la propriété au rang n implique celle au rang n+1.

📌 Pour nier une assertion quantifiée, on remplace chaque $\exists$ par $\forall$ et chaque $\forall$ par $\exists$, puis on nie l’assertion finale.

Compléments

📌 Dans $A \Rightarrow B$, A est une condition suffisante pour B, tandis que B est une condition nécessaire pour A.

📌 La négation de $A \Rightarrow B$ est $A \text{ et non }B$.

• Pour prouver une assertion universelle $\forall x, A(x)$ par contre-exemple, il suffit de trouver un x pour lequel A(x) est fausse.

• L’ordre de quantificateurs de natures différentes change le sens d’une assertion, comme dans $\forall a\in\mathbb{R},\exists x\in\mathbb{R}$ et $\exists x\in\mathbb{R},\forall a\in\mathbb{R}$.

📖 2. Relations et applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Inclusion : L’inclusion $A\subset B$ signifie que tout élément de A appartient à B.
• Fonction : Une fonction de E vers F associe à chaque élément de E au plus un élément de F, appelé son image, et un élément de F peut avoir plusieurs antécédents.
• Application : Une fonction f de E vers F est une application lorsque son ensemble de définition est tout E.
• Ensemble des parties : L’ensemble des parties de E, noté $\mathcal{P}(E)$, est l’ensemble de tous les sous-ensembles de E, et $X\in\mathcal{P}(E)$ équivaut à $X\subset E$.
• Différence symétrique : La différence symétrique $A\Delta B$ contient les éléments appartenant à A ou à B, mais pas aux deux, et vaut $(A\setminus B)\cup(B\setminus A)=(A\cup B)\setminus(A\cap B)$.
• Produit cartésien : Le produit cartésien $A\times B$ est l’ensemble des couples $(a,b)$ tels que $a\in A$ et $b\in B$.
• Relation : Une relation entre E et F est représentée par une partie $\Gamma$ de $E\times F$, avec $xRy$ si et seulement si $(x,y)\in\Gamma$.
• Ensemble de définition : L’ensemble de définition $D_f$ d’une fonction f est l’ensemble des éléments de son ensemble de départ qui ont une image par f.
• Bijection : Une application est bijective si elle est à la fois injective et surjective ; sa réciproque associe à chaque élément de F son unique antécédent dans E.
• Image directe : Pour une partie A de E, son image directe est $f(A)=\{y\in F\mid \exists x\in A,\ y=f(x)\}$.
• Image réciproque : Pour une partie B de F, son image réciproque est $f^{-1}(B)=\{x\in E\mid f(x)\in B\}$, même si f n’est pas bijective.

📝 Points essentiels

• Pour prouver $A\subset B$, on prend un élément quelconque de A et on montre qu’il appartient à B ; pour prouver $A=B$, on établit les deux inclusions.

• L’intersection $A\cap B$ contient les éléments communs à A et B, tandis que la réunion $A\cup B$ contient les éléments appartenant à au moins l’un des deux ensembles.

• Les formules de De Morgan sont $(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$ et $(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$.

• Pour des fonctions $f:E\to F$ et $g:F\to G$, la composée vérifie $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ et son domaine est $D_{g\circ f}=\{x\in D_f\mid f(x)\in D_g\}$.

📌 Une application est injective si deux éléments distincts de E ont des images distinctes, et surjective si tout élément de F possède au moins un antécédent dans E.

💡 Astuce mémo

Injection : au plus un antécédent ; surjection : au moins un.

📖 3. Combinaisons et triangle de Pascal

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorielle : Pour $n\in\mathbb{N}^*$, $n!=n(n-1)\cdots2\cdot1$, et par convention $0!=1$.
• Combinaison : Partie d’un ensemble à n éléments contenant p éléments.
• Entiers relatifs : L’ensemble des entiers relatifs est noté $\mathbb{Z}$, et $\mathbb{Z}^*=\mathbb{Z}\setminus\{0\}$.
• Nombres rationnels : L’ensemble des rationnels $\mathbb{Q}$ contient les nombres $r=\frac{p}{q}$ avec $p\in\mathbb{Z}$ et $q\in\mathbb{N}^*$ ; $\mathbb{Q}^+=\{r\in\mathbb{Q}:r\ge0\}$ et $\mathbb{Q}^- =\{r\in\mathbb{Q}:r\le0\}$.

★ À maîtriser

• Pour des entiers naturels a et b avec $b\ne0$, la division euclidienne donne un unique couple d’entiers q et r tel que $a=bq+r$ et $0\le r<b$.

• Tout entier naturel $n\ge2$ s’écrit de façon unique comme produit de puissances de nombres premiers distincts, avec les facteurs premiers rangés dans l’ordre croissant et des exposants entiers non nuls.

📐 Formule - Pour $0\le p\le n$, le nombre de combinaisons vérifie $\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$.

📐 Formule - Pour $0\le p\le n$, $\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$.

Compléments

• Pour des entiers relatifs a et b avec $b\ne0$, la division euclidienne donne un unique couple d’entiers q et r tel que $a=bq+r$ et $0\le r<|b|$.

📐 Formule - La factorielle vérifie $\forall n\in\mathbb{N},\ (n+1)!=(n+1)n!$.

• Choisir 3 étudiants parmi 5 donne $\binom{5}{3}=10$ groupes, car chaque groupe est compté 3! fois lorsqu’on tient compte de l’ordre.

📐 Formule - Pour tout entier naturel n, $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$ et $\binom{n}{1}=\binom{n}{n-1}=n$.

• Pour établir la relation de Pascal, on sépare les choix de p éléments selon qu’ils contiennent un élément fixé a ou non : les deux nombres de choix sont $\binom{n-1}{p-1}$ et $\binom{n-1}{p}$.

• Le triangle de Pascal se construit avec la relation de Pascal et ses lignes sont symétriques par la propriété $\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$.

💡 Astuce mémo

Choisir un groupe ignore l’ordre ; désigner successivement les étudiants le compte.

📖 4. Opérations et ordre sur les réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Symbole somme : Le symbole somme $\sum_{k=0}^{n}k$ représente l’addition des termes de k allant de 0 à n.
• Symbole produit : Le symbole produit $\prod_{k=1}^{n}k$ représente la multiplication des entiers de 1 à n et vaut $n!$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le binôme de Newton s’écrit $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ pour un entier naturel n.

• Dans $\mathbb{R}$, l’addition est commutative et associative, admet 0 comme élément neutre, et chaque réel possède un opposé.

• Dans $\mathbb{R}^*$, la multiplication est commutative et associative, admet 1 comme élément neutre, et chaque réel non nul possède un inverse.

📌 On peut ajouter ou soustraire un même réel aux deux membres d’une inégalité sans en changer le sens.

📌 Multiplier les deux membres d’une inégalité par un réel positif conserve son sens, tandis que les multiplier par un réel négatif l’inverse.

Compléments

• Les coefficients du développement du binôme de Newton se lisent sur la n-ième ligne du triangle de Pascal.

• Le développement de $(a+b)^5$ est $a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$.

• La multiplication est distributive sur l’addition dans $\mathbb{R}$, qui forme ainsi un corps commutatif.

• On peut additionner membre à membre deux inégalités de même sens, mais pas les soustraire membre à membre.

• On peut multiplier membre à membre des inégalités de même sens lorsque tous leurs membres sont positifs.

• Pour $0<x\le y$, les inverses vérifient $0<\frac1y\le\frac1x$.

📖 5. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La valeur absolue d’un réel x est le réel positif $|x|=\max(-x,x)$, égal à x si $x\ge0$ et à −x si $x<0$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $a\ge0$, $|x|\le a$ équivaut à $-a\le x\le a$ et $|x|>a$ équivaut à $x<-a$ ou $x>a$.

Compléments

📐 Formule - Pour tous réels x et y, $|xy|=|x||y|$ et $|−x|=|x|$.

• La quantité $|x-y|$ mesure la distance entre x et y sur l’axe réel.

💡 Astuce mémo

Sur l’axe réel, |x − x₀| ≤ a décrit l’intervalle centré en x₀, de rayon a.

📖 6. Bornes et partie entière

🔑 Notions clés & Définitions

• Majorant et minorant : Un majorant de A est un réel M tel que tout élément de A est inférieur ou égal à M ; un minorant est un réel m tel que tout élément de A est supérieur ou égal à m.
• Maximum et minimum : Le maximum de A est un majorant qui appartient à A, et le minimum de A est un minorant qui appartient à A.
• Partie entière : La partie entière $\lfloor x\rfloor$ est l’unique entier vérifiant $\lfloor x\rfloor\le x<\lfloor x\rfloor+1$.
• Borne supérieure : La borne supérieure de A est le plus petit de ses majorants, notée $\sup A$.
• Ensemble borné : Ensemble à la fois majoré et minoré.
• Borne inférieure : La borne inférieure de A est le plus grand de ses minorants, notée $\inf A$.

★ À maîtriser

📌 Un maximum appartient à A, tandis qu’un supremum peut ne pas appartenir à A ; si le maximum existe, il est égal au supremum.

Compléments

📐 Formule - Une partie A de $\mathbb{R}$ est bornée si et seulement s’il existe M réel tel que $|x|\le M$ pour tout $x\in A$.

• Toute partie non vide de $\mathbb{N}$ possède un plus petit élément ; toute partie non vide et majorée de $\mathbb{N}$ possède un plus grand élément.

• La partie entière de −2,4 est −3, et non −2.

• Pour un entier relatif a et un entier naturel non nul b, le quotient de la division euclidienne de a par b est la partie entière de $a/b$.

📐 Formule - Pour un ensemble non vide A, $S=\sup A$ équivaut à $x\le S$ pour tout $x\in A$ et à l’existence, pour tout $\varepsilon>0$, d’un $x\in A$ tel que $S-\varepsilon<x\le S$.

💡 Astuce mémo

Un supremum peut ne pas appartenir à l’ensemble ; un maximum, lui, y appartient.

📖 7. Logarithme népérien

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : Le logarithme népérien est la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par $\ln(x)=\int_1^x\frac{1}{t}\,dt$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La fonction logarithme vérifie $\ln(1)=0$ et $(\ln)'(x)=1/x>0$ pour $x>0$.

📐 Formule - Pour a,b strictement positifs, $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$, $\ln(a/b)=\ln(a)-\ln(b)$ et $\ln(1/b)=-\ln(b)$.

📐 Formule - Pour une fonction dérivable u strictement positive, $(\ln u)'=u'/u$ ; si u ne s’annule pas, $(\ln|u|)'=u'/u$.

Compléments

📐 Formule - Pour $a>0$, $n\in\mathbb{N}$ et $p\in\mathbb{Z}, q\in\mathbb{N}^*$, $\ln(a^n)=n\ln(a)$ et $\ln(a^{p/q})=(p/q)\ln(a)$.

• Le logarithme népérien est une bijection de $]0,+\infty[$ sur $\mathbb{R}$ et l’unique réel e vérifie $\ln(e)=1$.

📐 Formule - Les limites du logarithme sont $\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$.

📐 Formule - Les limites vérifient $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0^+$ et $\lim_{x\to0^+}x\ln x=0^-$.

📖 8. Exponentielle et puissances réelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle est la réciproque du logarithme népérien, définie sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $]0,+\infty[$.
• Puissance réelle : Pour $a>0$ et $\alpha\in\mathbb{R}$, la puissance réelle est définie par $a^\alpha=\exp(\alpha\ln a)$.

• Fonction puissance : Pour $\alpha\in\mathbb{R}$, la fonction puissance est définie sur $]0,+\infty[$ par $h_\alpha(x)=x^\alpha$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La fonction exponentielle est dérivable et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, avec $(\exp x)'=\exp x>0$.

📐 Formule - Pour tout $\alpha\in\mathbb{R}$ et $x>0$, $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$.

📌 Si $\alpha<0$, la fonction $x^\alpha$ est décroissante, tend vers $+\infty$ en 0 et vers 0 en $+\infty$ ; si $\alpha>0$, elle est croissante, tend vers 0 en 0 et vers $+\infty$ en $+\infty$.

Compléments

📐 Formule - Pour tout réel x, $\ln(\exp x)=x$, et pour tout $y>0$, $\exp(\ln y)=y$.

📐 Formule - Les limites de l’exponentielle sont $\lim_{x\to+\infty}\exp(x)=+\infty$, $\lim_{x\to-\infty}\exp(x)=0$ et $\lim_{x\to+\infty}\exp(x)/x=+\infty$.

📐 Formule - Pour une fonction dérivable u, $(\exp(u))'=u'\exp(u)$.

📐 Formule - Pour $a,a'>0$ et $b,b'\in\mathbb{R}$, les puissances vérifient $1^b=1$, $(a^b)^{b'}=a^{bb'}$, $a^ba^{b'}=a^{b+b'}$, $a^b/a^{b'}=a^{b-b'}$, $(aa')^b=a^b(a')^b$ et $(a/a')^b=a^b/(a')^b$.

• Pour $\alpha>0$, la fonction puissance se prolonge continûment en 0 en posant $h_\alpha(0)=0$.

• Pour $0<\alpha<1$, la courbe de la puissance prolongée en 0 possède une tangente verticale en 0 ; pour $\alpha>1$, elle possède une tangente horizontale en 0.

💡 Astuce mémo

La définition a^α = exp(α ln a) étend les exposants réels et préserve les règles usuelles.

📖 9. Fonctions trigonométriques et formules

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine n-ième : Pour n ∈ ℕ \ {0, 1} et x ≥ 0, la racine n-ième de x est l’unique réel X ≥ 0 tel que X^n = x.
• Cosinus et sinus : Le cosinus et le sinus associent à tout réel x l’abscisse et l’ordonnée du point du cercle trigonométrique correspondant à l’angle orienté x modulo 2π.
• Exponentielle de base a : La fonction définie sur ℝ par x ↦ a^x = e^{x\ln a}, pour a > 0, s’appelle la fonction exponentielle de base a.
• Tangente : La tangente est définie par $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ pour tout x ∈ ℝ \ {π/2 + kπ ; k ∈ ℤ}.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour α > 0, $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^\alpha}=0$, $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^\alpha}=+\infty$, $\lim_{x\to+\infty}e^x\ln x=+\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}x^\alpha e^{-x}=0$.

📐 Formule - Si u est dérivable sur I et à valeurs strictement positives, alors u^α est dérivable sur I et $(u^\alpha)'=\alpha u^{\alpha-1}u'$.

📌 Pour a > 0, la dérivée de la fonction exponentielle de base a est $(a^x)'=a^x\ln a$, tandis que pour x > 0, la dérivée de x^a est $(x^a)'=a x^{a-1}$.

📐 Formule - Pour tout réel x, $\cos^2 x+\sin^2 x=1$.

📐 Formule - Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur ℝ et vérifient $(\sin x)'=\cos x$ et $(\cos x)'=-\sin x$.

📐 Formule - Les formules d’addition et de différence sont $\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b$ et $\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b$.

📌 Les solutions de cos x = cos α sont x = α + 2kπ ou x = −α + 2kπ, celles de sin x = sin α sont x = α + 2kπ ou x = π − α + 2kπ, et celles de tan x = tan α sont x = α + kπ, avec k ∈ ℤ.

Compléments

📐 Formule - Pour x > 0 et n ∈ ℕ \ {0, 1}, $\sqrt[n]{x}=x^{1/n}=e^{(1/n)\ln x}$.

📐 Formule - Pour n ∈ ℕ \ {0, 1}, la fonction racine n-ième est dérivable sur ℝ*+ et $(\sqrt[n]{x})'=\frac{1}{n}x^{1/n-1}$, mais elle n’est pas dérivable en zéro.

📐 Formule - Pour tout x ∈ ℝ, $\sqrt{x^2}=|x|$.

📐 Formule - Sur son domaine, la tangente est dérivable et $(\tan x)'=1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$.

📐 Formule - La formule d’addition de la tangente est $\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$ lorsqu’elle est définie.

📖 10. Nombres complexes et formes trigonométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme algébrique : La forme algébrique d’un nombre complexe z est son écriture z = x + iy avec x, y ∈ ℝ; x est sa partie réelle et y sa partie imaginaire.

• Module : Le réel positif |z| = √(x² + y²).
• Argument : Un argument d’un complexe non nul z est un réel θ tel que z = |z|(cos θ + i sin θ); ses arguments diffèrent de multiples de 2π.
• Affixe : Le nombre complexe z = x + iy.
• Conjugué : Le nombre complexe z = x + iy.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux complexes z et z′, $|zz′|=|z||z′|$ et $|z+z′|\leq |z|+|z′|$.

📐 Formule - Pour des complexes non nuls z et z′, $\arg(zz′)=\arg(z)+\arg(z′)\ [2\pi]$ et $\arg(z/z′)=\arg(z)-\arg(z′)\ [2\pi]$.

• Pour n ∈ ℕ*, les n racines d’un complexe non nul z = re^{iθ} sont $Z_k=\sqrt[n]{r}\,e^{i(\theta/n+2k\pi/n)}$ pour k = 0, …, n − 1.

📐 Formule - Les solutions de az² + bz + c = 0, avec a ≠ 0 et Δ = b² − 4ac, sont $z=\frac{-b+\delta}{2a}$ et $z=\frac{-b-\delta}{2a}$, où δ² = Δ.

• Tout polynôme non constant de ℂ[X] possède au moins une racine dans ℂ, selon le théorème de d’Alembert-Gauss.

Compléments

• Pour z = x + iy et z′ = x′ + iy′, leur somme est z + z′ = (x + x′) + i(y + y′) et leur produit est zz′ = (xx′ − yy′) + i(xy′ + x′y).

• Pour deux points A et B d’affixes z_A et z_B, l’affixe du vecteur AB est z_B − z_A.

📐 Formule - Pour z ≠ 0, $\frac{1}{z}=\frac{\overline z}{|z|^2}$.

📌 Pour z = x + iy, z² = x² − y² + 2ixy, tandis que |z|² = x² + y².

• Tout complexe non nul s’écrit z = re^{iθ}, avec r = |z| > 0 et θ un argument de z.

📐 Formule - Si z = re^{iθ} avec r > 0, alors pour tout entier n, $z^n=r^n e^{in\theta}$.

📖 11. Limites finies et limites latérales

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie en a : Une fonction f définie sur D admet la limite ℓ en a si, pour tout ε > 0, il existe α > 0 tel que, pour tout x ∈ D, |x − a| ≤ α implique |f(x) − ℓ| ≤ ε.
• Limite suivant une partie : La fonction f admet pour limite ℓ en a suivant A si, pour tout ε>0, il existe α>0 tel que, pour tout x∈A∩D, |x−a|≤α implique |f(x)−ℓ|≤ε.
• Limite infinie en un point : f tend vers +∞ en a si, pour tout A∈ℝ, il existe α>0 tel que, pour tout x∈D, |x−a|≤α implique f(x)≥A ; elle tend vers −∞ si l’implication impose f(x)≤A.
• Limite à gauche : La fonction f admet ℓ pour limite à gauche en a si, pour tout ε > 0, il existe α > 0 tel que a − α ≤ x < a implique |f(x) − ℓ| ≤ ε pour tout x ∈ D.

★ À maîtriser

📌 Si f n’est pas définie en a, elle admet une limite en a si et seulement si ses limites à gauche et à droite existent et sont égales; si f est définie en a, ces deux limites doivent être égales à f(a).

• Si les limites à gauche et à droite d’une fonction en a sont différentes, la fonction n’admet pas de limite en a.

📌 Quand x tend vers 0 par la droite, 1/x tend vers +∞, tandis que quand x tend vers 0 par la gauche, 1/x tend vers −∞ ; sa limite en 0 n’existe donc pas.

Compléments

📌 Pour que la limite de f en a ait un sens, a doit appartenir à l’adhérence de son domaine D, c’est-à-dire que tout voisinage de a rencontre D.

📌 Si f est croissante et majorée sur ]a, b[, alors sa limite à gauche en b est $\sup_{]a,b[} f$.

• La fonction partie entière n’admet de limite en aucun point de ℤ.

• La fonction définie par f(x)=x²+1 si x≥0 et f(x)=x²−1 si x<0 n’admet pas de limite en 0, car ses limites à droite et à gauche valent respectivement 1 et −1.

• La fonction valant 1 en 0 et 0 ailleurs n’a pas de limite en 0 selon la définition du cours, mais sa limite en 0 suivant ℝ∖{0} vaut 0.

• Si f tend vers +∞ en a, alors 1/f tend vers 0⁺ en a ; si f tend vers −∞, alors 1/f tend vers 0⁻.

• Quand x tend vers 0, 1/x² tend vers +∞.

• Pour une fonction croissante sur ]a,b[, la non-minoration entraîne une limite à droite en a égale à −∞, et la non-majoration entraîne une limite à gauche en b égale à +∞.

• Le changement de variable x=1/t transforme x→+∞ en t→0⁺ et x→−∞ en t→0⁻.

📖 12. Continuité et asymptotes

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : Une fonction f est continue en a∈D si sa limite en a existe et vaut f(a), c’est-à-dire si limₓ→ₐ f(x)=f(a).

• Asymptote oblique : La droite y=ax+b est asymptote à la courbe de f en +∞ si f(x)=ax+b+φ(x), avec φ(x) tendant vers 0 quand x tend vers +∞.
• Prolongement par continuité : Si a n’appartient pas au domaine de f et si f admet une limite ℓ en a, la fonction prolongée par f(a)=ℓ est l’unique prolongement continu en a qui coïncide avec f sur son domaine.

★ À maîtriser

📌 Une fonction continue sur un intervalle prend toutes les valeurs comprises entre ses valeurs en deux points de cet intervalle ; si elle est strictement monotone, chaque valeur intermédiaire est atteinte une seule fois.

📌 Une fonction continue sur un segment [a,b] est bornée, atteint son minimum et son maximum, et prend toutes les valeurs intermédiaires.

Compléments

• Si une fonction continue sur un intervalle prend une valeur positive et une valeur négative, elle s’annule au moins une fois sur cet intervalle.

• Les limites des sommes, produits et multiples de fonctions se calculent par les opérations correspondantes sur leurs limites ; les formes +∞−∞ et 0×∞ sont indéterminées.

• Pour une limite de quotient, une limite de dénominateur non nulle permet le quotient des limites ; les formes ∞/∞ et 0/0 sont indéterminées.

• Si f≤g au voisinage de +∞ et g tend vers −∞, alors f tend vers −∞ ; si f≥h et h tend vers +∞, alors f tend vers +∞.

• Si h≤f≤g au voisinage de +∞ et si h et g tendent vers la même limite ℓ, alors f tend vers ℓ.

📐 Formule - Si une asymptote y=ax+b existe en +∞, alors $a=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$ et $b=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-ax)$ ; réciproquement, l’existence de ces deux limites finies établit l’asymptote.

• La position de la courbe par rapport à une asymptote y=ax+b se détermine par le signe de f(x)−(ax+b).

💡 Astuce mémo

Continuité sur un segment → image segment : bornes atteintes et valeurs intermédiaires.

📖 13. Dérivabilité et accroissements finis

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : f est dérivable en a si la limite finie du taux $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand h tend vers 0 avec h≠0 existe ; cette limite est le nombre dérivé f′(a).

• Taux de variation : Pour a≠b, le taux de variation de f entre a et b est $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, coefficient directeur de la sécante reliant les points d’abscisses a et b.
• Extremum local : f présente un maximum local en c si f(x)≤f(c) dans un voisinage de c, et un minimum local si f(x)≥f(c) dans un voisinage de c ; un extremum global vérifie la même inégalité sur tout le domaine.

★ À maîtriser

• Une fonction dérivable en a est continue en a, mais une fonction continue en a n’est pas nécessairement dérivable en a.

📐 Formule - La dérivée d’une somme est $(u+v)'=u'+v'$, celle d’un produit est $(uv)'=u'v+uv'$, celle d’un quotient est $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ lorsque v ne s’annule pas, et celle d’une composée est $(f\circ u)'=(f'\circ u)u'$.

• Si une fonction dérivable présente un extremum local en un point intérieur de son intervalle, sa dérivée y est nulle.

• Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et f(a)=f(b), le théorème de Rolle garantit un c∈]a,b[ tel que f′(c)=0.

• Si f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, le théorème des accroissements finis garantit un c∈]a,b[ tel que $f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)$.

Compléments

📐 Formule - Pour un entier n, $(u^n)'=n u^{n-1}u'$ lorsque la fonction est définie et dérivable ; pour un réel α si u>0, $(u^\alpha)'=\alpha u^{\alpha-1}u'$, et $(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ si u>0.

📌 Si m≤f′(x)≤M sur un intervalle et a≤b, alors m(b−a)≤f(b)−f(a)≤M(b−a) ; si |f′|≤k, alors |f(y)−f(x)|≤k|y−x|.

💡 Astuce mémo

Extremum intérieur dérivable → dérivée nulle ; dérivée nulle ne garantit pas un extremum.

📖 14. Variations et limites des dérivées

★ À maîtriser

• Si f est dérivable sur un intervalle I, alors f est constante sur I si f′(x)=0 pour tout x∈I.

• Pour une fonction dérivable sur un intervalle I, f est croissante sur I si et seulement si f′(x)≥0 sur I.

• Si f est dérivable sur I et f′(x)>0 sur I, alors f est strictement croissante sur I.

• Si f est continue en a et dérivable sur I{a}, et si f′ admet une limite finie ℓ en a, alors f est dérivable en a et f′(a)=ℓ; les versions à droite et à gauche sont également valables.

Compléments

📌 Si f′(x)≥0 sur I et ne s’annule qu’en un nombre fini de points, alors f est strictement croissante sur I.

• Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et f′>0 sur ]a,b[, alors f est une bijection strictement croissante de [a,b] sur [f(a),f(b)].

• Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et f′<0 sur ]a,b[, alors f est une bijection strictement décroissante de [a,b] sur [f(b),f(a)].

• Pour f(0)=0 et f(x)=x² sin(1/x) si x≠0, f est dérivable en 0 avec f′(0)=0, mais f′ n’a pas de limite en 0.

💡 Astuce mémo

Dérivée positive : croissance stricte ; dérivée nulle : fonction constante

📖 15. Dérivées successives et régularité

🔑 Notions clés & Définitions

• Classe Cⁿ : Une fonction n fois dérivable dont la dérivée n-ième est continue est dite de classe Cⁿ.
• Dérivées successives : Les dérivées successives de f sont définies par f⁽⁰⁾=f, f⁽¹⁾=f′, f⁽²⁾=(f′)′=f″, puis f⁽ⁿ⁺¹⁾=(f⁽ⁿ⁾)′ lorsque f⁽ⁿ⁾ est dérivable.
• Classe C⁰ : Une fonction continue sur I est dite de classe C⁰ sur I.
• Classe C∞ : Une fonction de classe Cⁿ pour tout entier naturel n est dite de classe C∞.

★ À maîtriser

📌 Si f et g sont dérivables en a, f(a)=g(a)=0 et g′(a)≠0, alors la limite de f(x)/g(x) lorsque x tend vers a avec x≠a vaut f′(a)/g′(a).

📌 Si f et g sont continues sur un intervalle ouvert I, dérivables sur I{a}, s’annulent en a, et si g(x)≠0, g′(x)≠0 sur I{a}, alors l’existence d’une limite finie ℓ de f′(x)/g′(x) en a entraîne que f(x)/g(x) tend vers ℓ.

📐 Formule - Pour deux fonctions f et g n fois dérivables sur I, la formule de Leibniz donne $(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(n-k)}g^{(k)}$.

Compléments

• En appliquant plusieurs fois la règle de L’Hôpital, on obtient $\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}=-\frac{1}{6}$.

• Les fonctions polynômes, cos, sin et exp sont de classe C∞ sur ℝ.

📖 16. Vecteurs, angles et produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère cartésien : Un repère cartésien du plan est un triplet (O,$\overrightarrow{i}$,$\overrightarrow{j}$) où O est l’origine et où $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ forment une base, donc ne sont pas colinéaires.
• Produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\|\overrightarrow{u}\|\|\overrightarrow{v}\|\cos((\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}))$, et il vaut 0 si l’un des vecteurs est nul.
• Déterminant : Le déterminant de deux vecteurs non nuls est $\det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\|\overrightarrow{u}\|\|\overrightarrow{v}\|\sin((\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}))$, et il vaut 0 si l’un des vecteurs est nul.
• Vecteur : Un vecteur est l’ensemble des bipoints équipollents à un bipoint donné; deux bipoints (A,B) et (C,D) sont équipollents lorsque ABDC est un parallélogramme.
• Norme d’un vecteur : La norme d’un vecteur $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ est la longueur AB; un vecteur de norme 1 est unitaire.

★ À maîtriser

• Dans un repère cartésien, tout point et tout vecteur possèdent un unique couple de coordonnées réelles.

📌 L’angle géométrique de deux vecteurs a une mesure dans [0,π], tandis que la mesure principale d’un angle orienté dépend du sens de parcours et est prise modulo 2π.

📌 Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, et ils sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.

• La droite passant par A et dirigée par un vecteur non nul $\overrightarrow{u}$ est l’ensemble des points M tels que $\overrightarrow{AM}=\alpha\overrightarrow{u}$ pour un réel α.

Compléments

📐 Formule - Dans une base orthonormale, si $\overrightarrow{u}=(x,y)$, alors $\|\overrightarrow{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}$.

📐 Formule - Dans une base orthonormale, pour $\overrightarrow{u}=(x,y)$ et $\overrightarrow{v}=(x′,y′)$, on a $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=xx′+yy′$.

📐 Formule - Dans une base orthonormale directe, pour $\overrightarrow{u}=(x,y)$ et $\overrightarrow{v}=(x′,y′)$, on a $\det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=xy′-yx′$.

📐 Formule - L’aire du triangle ABC vaut $\frac{1}{2}\left|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\right|$.

📐 Formule - Le projeté orthogonal de $\overrightarrow{u}$ sur la droite vectorielle engendrée par $\overrightarrow{v}\neq\overrightarrow{0}$ est $p(\overrightarrow{u})=\frac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}}{\|\overrightarrow{v}\|^2}\overrightarrow{v}$.

📖 17. Représentations paramétriques et cartésiennes

★ À maîtriser

📐 Formule - La droite de l’espace passant par A(x_A,y_A,z_A) et dirigée par (x_u,y_u,z_u) admet la représentation $x=x_A+\alpha x_u,\quad y=y_A+\alpha y_u,\quad z=z_A+\alpha z_u,\quad \alpha\in\mathbb{R}$.

📐 Formule - Le plan de l’espace passant par A(x_A,y_A,z_A) et dirigé par deux vecteurs non colinéaires u et v admet la représentation $\begin{cases}x=x_A+\alpha x_u+\beta x_v\y=y_A+\alpha y_u+\beta y_v\z=z_A+\alpha z_u+\beta z_v\end{cases},\quad (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2$.

📐 Formule - Dans l’espace, un plan d’équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$, avec $(a,b,c)\ne(0{,}0{,}0)$, a pour vecteur normal $(a,b,c)$.

Compléments

📌 Dans une représentation paramétrique d’une droite du plan, le paramètre doit être précisé comme appartenant à ℝ ; le restreindre à un intervalle peut décrire un segment plutôt qu’une droite.

📐 Formule - La droite passant par A(x_A,y_A) et dirigée par (x_u,y_u) admet la représentation paramétrique $x=x_A+\alpha x_u,\quad y=y_A+\alpha y_u,\quad \alpha\in\mathbb{R}$.

📐 Formule - Pour une droite du plan d’équation cartésienne $ax+by+c=0$, si $(a,b)\ne(0{,}0)$, un vecteur directeur est $(-b,a)$ et un vecteur normal est $(a,b)$.

• L’ensemble défini par $ax+by+c=0$ est tout le plan si a=b=c=0, est vide si a=b=0 et c≠0, et est une droite si $(a,b)\ne(0{,}0)$.

• Deux équations cartésiennes du plan $ax+by+c=0$ et $a'x+b'y+c'=0$ définissent la même droite si et seulement si les triplets (a,b,c) et (a′,b′,c′) sont proportionnels, avec leurs deux premiers coefficients non simultanément nuls.

• Deux équations cartésiennes $ax+by+cz+d=0$ et $a'x+b'y+c'z+d'=0$ définissent le même plan si et seulement si leurs quadruplets de coefficients sont proportionnels, avec des vecteurs normaux non nuls.

💡 Astuce mémo

Une droite de l’espace : un paramètre ; un plan : deux paramètres.

📖 18. Intersections de droites et de plans

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance d’un point à un plan : La distance d’un point A à un plan P est la longueur AH, où H est le projeté orthogonal de A sur P ; cette longueur est la plus petite distance entre A et un point du plan.
• Distance d’un point à une droite : La distance d’un point A à une droite D est la longueur AH, où H est le projeté orthogonal de A sur D ; cette longueur est la plus petite distance de A aux points de D.

★ À maîtriser

📌 Dans l’espace, l’intersection de deux plans est une droite lorsque leurs vecteurs normaux ne sont pas proportionnels, est le plan entier lorsqu’ils sont confondus, et est vide lorsqu’ils sont strictement parallèles.

📌 Si deux droites de l’espace se coupent, elles sont coplanaires ; deux droites coplanaires sont soit parallèles, soit sécantes.

📐 Formule - Pour un plan $ax+by+cz+d=0$ et un point A(x_A,y_A,z_A), la distance vaut $d(A,P)=\frac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.

📐 Formule - Pour une droite D(B,u) de l’espace et un point A, la distance vaut $d(A,D)=\sqrt{\|\overrightarrow{AB}\|^2-\frac{(u\cdot\overrightarrow{AB})^2}{\|u\|^2}}$.

📌 Pour deux droites parallèles, leur distance est la distance d’un point de l’une à l’autre ; pour deux droites sécantes, leur distance est nulle ; pour deux droites non coplanaires, elle est la plus petite distance entre un point de chaque droite.

• Pour deux droites gauches, la perpendiculaire commune les reliant réalise leur distance minimale.

Compléments

• L’intersection d’un plan et d’une droite de l’espace est soit un point, soit la droite entière si elle est incluse dans le plan, soit l’ensemble vide si elle lui est strictement parallèle.

• Pour tester si deux droites données par des représentations paramétriques sont sécantes, on égalise leurs coordonnées et on résout le système obtenu ; une solution commune donne leur point d’intersection, tandis qu’un système incompatible montre qu’elles ne se coupent pas.

📌 Un système de deux équations cartésiennes dans l’espace représente une droite si et seulement si les vecteurs des coefficients des variables ne sont pas proportionnels.

📐 Formule - Dans le plan, la distance d’un point A(x_A,y_A) à la droite $ax+by+c=0$ vaut $d(A,D)=\frac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

• Pour deux droites gauches, on détermine un vecteur non nul w orthogonal à leurs deux vecteurs directeurs, puis on cherche des points H et H′ des deux droites tels que le vecteur HH′ soit colinéaire à w ; la distance entre les droites est alors la longueur HH′.

📐 Formule - Pour deux droites parallèles D(A,u) et D′(A′,u′), leur distance vaut $d(D,D')=\sqrt{\|\overrightarrow{AA'}\|^2-\frac{(u'\cdot\overrightarrow{AA'})^2}{\|u'\|^2}}$.

💡 Astuce mémo

Deux droites coplanaires se coupent ou sont parallèles ; des droites non coplanaires sont gauches.