QCM : Combinaisons et fonctions usuelles (65 questions)

Explication

Une implication impose que B soit vraie lorsqu'A est vraie : avec A vraie et B fausse, elle est fausse. La disjonction inclusive confond deux connecteurs, l’absence de contrainte néglige le cas décisif, et l’implication réciproque inverse l’ordre des assertions.

Explication

L’équivalence exige que chacune des deux assertions implique l’autre. L’implication directe seule est insuffisante, la contraposée ne fournit pas la réciproque, et le « ou » ne demande pas que les deux implications soient vraies.

Explication

La contraposée de $P \Rightarrow Q$ est $\text{non }Q \Rightarrow \text{non }P$ et lui est équivalente. $Q \Rightarrow P$ est la réciproque, tandis que les deux autres propositions ne sont pas la contraposée.

Explication

Une récurrence requiert un cas initial et la preuve du passage de la propriété au rang n à celle au rang n+1. Le passage inverse ne démontre pas la progression souhaitée, et quelques vérifications ne remplacent pas l’étape de récurrence.

Explication

L’inclusion $M \subset N$ signifie que tout élément de M appartient à N. L’inclusion inverse affirme l’autre direction, l’égalité demande les deux inclusions, et l’intersection vide décrit l’absence d’éléments communs.

Explication

L’égalité des ensembles se prouve par double inclusion, car chaque ensemble doit contenir tous les éléments de l’autre. Une seule inclusion ne suffit pas, un élément commun ne démontre pas l’égalité, et l’égalité de la réunion à X ne fournit pas la double inclusion.

Explication

Le complémentaire d’une réunion est l’intersection des complémentaires : être hors de A et hors de B signifie appartenir à $A^c \cap B^c$. La réunion des complémentaires exige d’être hors d’au moins un ensemble, tandis que les autres réponses associent incorrectement complémentaire, réunion et intersection.

Explication

La factorielle est le produit des entiers de 6 à 1 : $6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720$. La valeur 120 omet le facteur 6, 360 omet un facteur du produit et 21 correspond à une somme plutôt qu’à un produit.

Explication

Une combinaison de trois éléments est une partie contenant trois éléments, sans ordre entre eux. Une suite ordonnée introduit des rôles, tandis qu’une partie à huit éléments ou un choix parmi trois inverse les effectifs.

Explication

Le nombre de combinaisons de quatre éléments parmi neuf est $\binom{9}{4}=\frac{9!}{4!(9-4)!}=\frac{9!}{4!5!}$. L’expression $\frac{9!}{5!}$ omet le facteur $4!$, et les autres expressions placent incorrectement les facteurs de la formule.

Explication

La symétrie des coefficients donne $\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$; ici, $11-9=2$, donc $\binom{11}{9}=\binom{11}{2}$. Le complément remplace l’indice inférieur, mais l’indice supérieur reste le total de onze membres.

Explication

Le terme en $x^2$ correspond à $k=2$ dans le binôme : $\binom{4}{2}x^{4-2}2^2=6\times4x^2$, donc son coefficient est 24. La valeur 6 oublie le facteur $2^2$, tandis que 16 et 12 résultent d’une mauvaise combinaison des facteurs.

Explication

Ajouter un même réel aux deux membres conserve le sens de l’inégalité : $x-7+7<3+7$, donc $x<10$. Le sens ne s’inverse pas lors d’une addition, et modifier un seul membre ne préserve pas l’équivalence.

Explication

Diviser par le nombre négatif $-3$ inverse le sens : $x\geq \frac{12}{-3}=-4$. Garder le signe initial oublie cette règle; les bornes 4 proviennent d’une erreur de signe dans la division.

Explication

Dans l’addition des réels, chaque nombre a un opposé : $5+(-5)=0$, puis 0 est l’élément neutre, d’où $a+0=a$. L’élément neutre et l’inverse multiplicatifs concernent le produit, et l’associativité seule ne permet pas l’annulation.

Explication

La valeur absolue d’un réel négatif est son opposé, donc $|-7|=7$. $-7$ conserve le signe, $49$ correspond au carré et $0$ n’est pas la distance à zéro.

Explication

Pour $a\ge0$, $|x|>a$ équivaut à $x<-a$ ou $x>a$ : avec $a=3$, les deux bornes sont exclues. L’intervalle fermé traduit $|x|\le3$, la seule branche positive omet les valeurs négatives éloignées, et les inégalités larges incluent les bornes.

Explication

Un minorant est inférieur ou égal à chaque élément de l’ensemble, et un majorant lui est supérieur ou égal ; les inégalités données établissent donc ces rôles pour $-4$ et $6$. L’inversion échange leurs rôles, l’appartenance n’est pas garantie, et l’optimalité des bornes n’est pas établie.

Explication

Le maximum est un majorant qui appartient à l’ensemble ; les deux propriétés sont réunies pour $5$. Un minimum concerne les éléments les plus petits, tandis que l’exclusion de $A$ contredit son appartenance et qu’un supremum non maximal ne convient pas ici.

Explication

L’entier $-3$ vérifie $-3\le-2{,}4<-2$, donc il est la partie entière. $-2$ résulte d’un arrondi vers le haut, $3$ oublie le signe et $-4$ ne satisfait pas l’inégalité de définition.

Explication

Pour l’intervalle ouvert $]0,1[$, $1$ est le plus petit majorant mais n’appartient pas à l’ensemble ; le supremum existe donc sans maximum. Dire que $1$ est le maximum suppose son appartenance, tandis que $0$ décrit la borne inférieure et n’appartient pas non plus à l’intervalle.

Explication

L’intégrale définit le logarithme pour $x>0$, donc son domaine est $]0,+\infty[$. $\mathbb{R}$ est le domaine de l’exponentielle, tandis que $\mathbb{R}^*$ comprend aussi les nombres négatifs.

Explication

La condition impose $f(1)=0$, et $f'(x)=1/x>0$ sur tout le domaine rend $f$ strictement croissante. Une dérivée positive ne correspond pas à une décroissance, et ici $f'(1)=1$.

Explication

Le logarithme d’un quotient de nombres positifs vérifie $\ln(a/b)=\ln(a)-\ln(b)$. L’addition correspond au produit, tandis que la différence inversée change le signe.

Explication

La règle de dérivation donne $(\ln u)'=u'/u$ ; ici $u'=3$, donc la dérivée est $3/(3x-2)$. $1/(3x-2)$ oublie le facteur dérivé, et $3(3x-2)$ omet la division par $u$.

Explication

L’exponentielle est la réciproque du logarithme et prend tout réel comme argument pour produire une valeur strictement positive. Le logarithme a le domaine et l’ensemble d’arrivée inverses.

Explication

Comme $\exp$ est strictement croissante et que $-2<1$, on a $\exp(-2)<\exp(1)$. La décroissance inverse le sens de comparaison, et la positivité ne rend pas les valeurs égales.

Explication

Pour une base positive, la définition est $a^\alpha=\exp(\alpha\ln a)$ ; avec $a=7$ et $\alpha=\sqrt{2}$, on obtient $\exp(\sqrt{2}\,\ln 7)$. Les autres expressions ne placent pas l’exposant comme facteur de $\ln a$.

Explication

Avec un exposant négatif, la fonction puissance est décroissante, diverge vers $+\infty$ près de zéro et tend vers zéro à l’infini. Le comportement croissant et les limites opposées correspondent à un exposant positif.

Explication

À l’infini, le logarithme croît moins vite que toute puissance positive, donc le quotient tend vers $0$. La réponse $+\infty$ inverse cette comparaison, tandis que $1$ et l’absence de limite ne correspondent pas à cette limite.

Explication

La règle de dérivation donne $(u^4)'=4u^3u'$; ici $u'=3$, d’où $12(3x+1)^3$. $4(3x+1)^3$ omet le facteur $u'$, et les réponses avec l’exposant quatre ne diminuent pas l’exposant.

Explication

Quand la variable est l’exposant, $(a^x)'=a^x\ln a$; quand elle est la base, $(x^a)'=ax^{a-1}$. L’interversion applique chaque règle à la mauvaise fonction, et les autres formules omettent un facteur ou ne diminuent pas l’exposant.

Explication

La racine quatrième de $81$ est l’unique réel non négatif dont la puissance quatrième vaut $81$. $X^3=81$ utilise le mauvais indice, tandis que $X^4=-81$ et $4^X=81$ ne définissent pas cette racine.

Explication

L’écriture $z=x+iy$ est la forme algébrique; les coefficients réels donnent la partie réelle et la partie imaginaire. La forme trigonométrique fait intervenir un module et un angle, tandis que le module et l’argument sont des notions distinctes.

Explication

Le module vaut $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$. $7$ additionne directement les coordonnées, $\sqrt7$ utilise leur différence au carré et $25$ omet la racine carrée.

Explication

L’argument d’un quotient est la différence entre l’argument du numérateur et celui du dénominateur : $\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{12}$. $\frac{7\pi}{12}$ correspond à une somme, $-\frac{\pi}{12}$ inverse l’ordre et $\frac{\pi}{7}$ combine les arguments par division.

Explication

La définition exige que chaque précision ε sur les valeurs de f puisse être garantie par un voisinage de rayon α autour de a. Inverser les rôles de ε et α change les quantificateurs, imposer f(x)=ℓ demande une égalité exacte, et ne tester que x=a ne contrôle pas les valeurs au voisinage.

Explication

Lorsque la fonction n’est pas définie au point, l’existence de deux limites latérales égales suffit à établir la limite commune. L’absence de g(2) ne l’interdit pas, aucune limite latérale ne manque, et la condition g(2)=5 concerne le cas où la fonction est définie en 2.

Explication

Une limite bilatérale ne peut exister si les limites à gauche et à droite sont différentes. Leur moyenne n’est pas la limite, la limite à droite ne suffit pas, et l’existence séparée des deux limites latérales ne remplace pas leur égalité.

Explication

Pour des x positifs proches de 0, 1/x est positif et croît sans borne ; pour des x négatifs proches de 0, 1/x est négatif et décroît sans borne. Inverser les signes confond les côtés, tandis qu’une même limite infinie des deux côtés contredit ce comportement.

Explication

Une fonction est continue en un point de son domaine lorsque sa limite en ce point existe et égale sa valeur au point. La seule existence de la limite ne suffit pas, une limite égale à h(4) ne rend pas la fonction discontinue, et il n’est pas nécessaire de connaître tout son comportement ailleurs.

Explication

La continuité garantit que toute valeur intermédiaire, dont 5, est atteinte ; la stricte monotonie garantit que cette valeur ne l’est qu’une fois. La monotonie n’empêche donc pas son atteinte, et l’intervalle n’a pas besoin d’être fermé pour ce résultat.

Explication

Sur un segment fermé, la continuité assure la bornitude, l’atteinte d’un minimum et d’un maximum, ainsi que la propriété des valeurs intermédiaires. Ces conclusions n’exigent pas la stricte monotonie, et l’atteinte des bornes fait partie du résultat.

Explication

Une asymptote en +∞ est la droite affine dont l’écart avec f est un terme tendant vers zéro ; ici, cet écart est φ(x), donc la droite est y=−2x+4. φ(x) est l’écart résiduel, omettre 4 change la droite, et changer le signe de la pente contredit l’expression donnée.

Explication

La dérivabilité en $a$ se définit par l’existence d’une limite finie du taux de variation lorsque l’incrément non nul tend vers zéro. La constance du taux, une limite infinie et la limite de la seule différence ne sont pas les conditions requises.

Explication

La dérivabilité entraîne la continuité, mais la réciproque n’est pas garantie ; un point anguleux peut ainsi correspondre à une fonction continue non dérivable. La continuité ne suffit donc pas à assurer la dérivabilité, et un point anguleux ne signifie pas une discontinuité.

Explication

Pour une fonction dérivable, un extremum local en un point intérieur impose que la dérivée en ce point soit nulle. Une dérivée positive n’exprime pas cette condition, et la valeur de la fonction peut être quelconque.

Explication

Pour une fonction dérivable sur un intervalle, la croissance équivaut à la condition $f'(x)\geq 0$ en tout point. Une dérivée strictement positive est une condition suffisante de croissance stricte, mais elle n’est pas nécessaire à la croissance.

Explication

Si la fonction est continue en $a$ et que sa dérivée sur le voisinage privé admet une limite finie $\ell$, alors la fonction est dérivable en $a$ et $f'(a)=\ell$. Ici la limite vaut $-2$ ; elle ne donne pas la valeur $f(a)$ ni son opposé.

Explication

Une dérivée non négative qui ne s’annule qu’en un nombre fini de points garantit la croissance stricte. Des annulations en nombre fini n’empêchent donc pas cette conclusion, contrairement à l’idée qu’elles imposeraient la constance ou excluraient la stricte croissance.

Explication

Lorsque les deux fonctions s’annulent en $a$ et que $g'(a)\ne0$, la limite du quotient vaut $\frac{f'(a)}{g'(a)}$, soit $\frac{6}{-3}=-2$. La valeur $2$ inverse le quotient, tandis que $-9$ correspond à une différence des dérivées.

Explication

Sous les hypothèses données, une limite finie $\ell$ de $\frac{f'}{g'}$ entraîne que $\frac{f}{g}$ tend vers la même valeur $\ell$, ici $4$. La valeur $0$ confond l’annulation des fonctions en $0$ avec la limite de leur quotient.

Explication

Une fonction $n$ fois dérivable dont la dérivée d’ordre $n$ est continue est, par définition, de classe $C^n$. La classe $C^{n+1}$ demande une régularité d’ordre supérieur, tandis que la seule dérivabilité n’exprime pas la continuité de la dérivée n-ième.

Explication

La formule de Leibniz donne $(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(n-k)}g^{(k)}$ ; pour $n=4$, les coefficients sont donc ceux de $\binom{4}{k}$. L’expression sans coefficients les omet, et le produit $f^{(4)}g^{(4)}$ ne retient qu’un seul terme.

Explication

Un repère cartésien du plan est formé d’une origine et de deux vecteurs constituant une base, donc non colinéaires. La perpendicularité n’est pas exigée, contrairement à ce que suggère l’idée d’axes nécessairement orthogonaux.

Explication

Dans un repère cartésien, chaque point et chaque vecteur possède son propre couple unique de coordonnées réelles. L’existence de plusieurs couples contredit cette unicité, et un point et un vecteur ne partagent pas nécessairement les mêmes coordonnées.

Explication

L’angle géométrique a une mesure dans $[0,\pi]$ ; l’angle orienté tient compte du sens de parcours et ses mesures sont considérées modulo $2\pi$. L’intervalle $[0,\pi]$ ne décrit donc pas la mesure principale orientée.

Explication

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, et colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul. Ici le produit scalaire s’annule, mais le déterminant non nul exclut la colinéarité.

Explication

Une droite passant par un point et dirigée par un vecteur s’écrit en ajoutant à chaque coordonnée du point le paramètre multiplié par la coordonnée correspondante du vecteur directeur. Le signe inversé pour y confond le vecteur directeur avec son opposé sur cette coordonnée, tandis que l’absence du terme 3 décale la droite.

Explication

Les points du plan s’obtiennent en ajoutant à A une combinaison linéaire $su+tv$, ce qui donne les coordonnées indiquées. Intervertir les coefficients de y altère les vecteurs directeurs, et omettre la coordonnée initiale 2 décale le plan.

Explication

Dans une équation cartésienne, les coefficients de x, y et z forment un vecteur normal au plan. Le 7 est le terme constant, et échanger ou modifier le signe d’un coefficient ne donne pas, en général, un vecteur normal parallèle à celui-ci.

Explication

Lorsque les vecteurs normaux de deux plans ne sont pas proportionnels, leur intersection est une droite. Les plans confondus ont des équations équivalentes, tandis que des plans strictement parallèles ont des normaux proportionnels et une intersection vide.

Explication

Deux droites qui se coupent sont coplanaires; puisqu’elles ont un point commun et sont distinctes, elles sont sécantes. Des droites gauches ne sont pas coplanaires, et des droites parallèles distinctes ne se rencontrent pas.

Explication

En remplaçant les coordonnées de A dans le membre de gauche, on obtient $2-2+4-3=1$; la norme du vecteur normal vaut $\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=3$, donc la distance est $\frac{|1|}{3}=\frac{1}{3}$. Omettre la norme donne 1, tandis que son carré conduirait à $\frac{1}{9}$.

Explication

Pour deux droites gauches, la perpendiculaire commune qui les relie réalise leur distance minimale. Une distance mesurée le long d’une droite n’est pas la séparation entre les deux droites, et une distance nulle correspondrait à des droites sécantes.