Fiche de révision : Compacité et différentiabilité

📋 Plan du Cours

1. Normes et distances
2. Produits scalaires et normes associées
3. Boules et parties bornées
4. Suites et continuité
5. Ouverts, fermés et compacts
6. Parties compactes
7. Équivalence des normes
8. Limites et dérivées partielles
9. Dérivées directionnelles et jacobienne
10. Différentiabilité et différentielle
11. Accroissements finis
12. Différentiabilité et dérivées partielles
13. Définitions des courbes paramétrées
14. Exemples et représentation plane
15. Longueur et intégrales curvilignes
16. Repère de Frenet plan
17. Repère de Frenet spatial

📖 1. Normes et distances

🔑 Notions clés & Définitions

• Norme : Application N:E→R vérifiant la positivité, la séparation, l’homogénéité $N(\lambda x)=|\lambda|N(x)$ et l’inégalité triangulaire $N(x+y)\leq N(x)+N(y)$.
• Distance associée : Application définie par $d(x,y)=\|x-y\|$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Sur $\mathbb{K}^n$, les normes usuelles sont $\|x\|_\infty=\max\{|x_1|,\ldots,|x_n|\}$, $\|x\|_1=|x_1|+\cdots+|x_n|$ et, pour $p\geq1$, $\|x\|_p=(|x_1|^p+\cdots+|x_n|^p)^{1/p}$.

Compléments

📐 Formule — Dans tout espace vectoriel normé, l’inégalité triangulaire inversée est $\left|\|x\|-\|y\|\right|\leq\|x-y\|$.

📐 Formule — Pour une fonction bornée f:X→K, la norme uniforme est $\|f\|_\infty=\sup_{x\in X}|f(x)|$.

💡 Astuce mémo

Une norme mesure : positivité, séparation, homogénéité, triangle.

📖 2. Produits scalaires et normes associées

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire réel : Application bilinéaire, symétrique, positive et définie, et sa norme associée est $\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$.
• Produit scalaire hermitien : Produit linéaire dans une variable, à symétrie hermitienne, positif et défini, et sa norme associée est $\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — L’inégalité de Cauchy-Schwarz, valable pour les produits scalaires réels et hermitiens, est $|\langle x,y\rangle|\leq\|x\|\,\|y\|$.

Compléments

• Sur $\mathbb{R}^n$, le produit scalaire euclidien est $\langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^n x_i y_i$ et sa norme associée est la norme $\|\cdot\|_2$.

💡 Astuce mémo

Réel : symétrie ; complexe : symétrie hermitienne.

📖 3. Boules et parties bornées

🔑 Notions clés & Définitions

• Boule ouverte : La boule ouverte de centre a et de rayon r>0 est $B(a,r)=\{x\in E;\|x-a\|<r\}$.
• Boule fermée : La boule fermée de centre a et de rayon r>0 est $\overline{B}(a,r)=\{x\in E;\|x-a\|\leq r\}$.
• Partie bornée : S’il existe R>0 tel que $\|x\|\leq R$ pour tout x∈A, ce qui équivaut à dire qu’elle est contenue dans une boule centrée en zéro.

📝 Points essentiels

📌 Toute réunion finie de parties bornées est bornée, et toute intersection, finie ou infinie, de parties bornées est bornée.

💡 Astuce mémo

Boule ouverte : < r ; boule fermée : ≤ r.

📖 4. Suites et continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite convergente : Une suite (x_n) d’éléments de E converge vers ℓ∈E si, pour tout ε>0, il existe N∈N tel que n≥N implique $\|x_n-\ell\|\leq\varepsilon$.
• Suite de Cauchy : Une suite (x_n) est de Cauchy si, pour tout ε>0, il existe N∈N tel que n,m≥N impliquent $\|x_n-x_m\|\leq\varepsilon$.
• Application continue : Application qui, pour tout ε>0, admet η>0 tel que $\|x-a\|_E\leq\eta$ implique $\|f(x)-f(a)\|_F\leq\varepsilon$.
• Application lipschitzienne : Une application f:A→F est lipschitzienne s’il existe k>0 tel que $\|f(x)-f(y)\|_F\leq k\|x-y\|_E$ pour tous x,y∈A.

📝 Points essentiels

📌 Dans un espace vectoriel normé, la limite d’une suite convergente est unique et toute suite convergente est bornée.

💡 Astuce mémo

Contrôle par la norme → convergence, puis continuité.

📖 5. Ouverts, fermés et compacts

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie ouverte : Une partie U de E est ouverte si tout point x∈U possède un rayon r>0 tel que $B(x,r)\subset U$.
• Partie fermée : Une partie V de E est fermée si son complémentaire E∖V est une partie ouverte.
• Partie compacte : Partie telle que toute suite d’éléments de K possède une suite extraite convergeant vers un élément de K.

★ À maîtriser

📌 Une partie V de E est fermée si et seulement si la limite de toute suite convergente d’éléments de V appartient encore à V.

Compléments

📌 Si f:E→F est continue, l’image réciproque par f d’un ouvert ou d’un fermé de F est respectivement un ouvert ou un fermé de E.

• Dans R, les segments fermés [a,b] avec a<b sont compacts, tandis que l’espace E et les boules ouvertes de E ne sont pas compacts.

💡 Astuce mémo

Fermé : toute limite reste dedans ; compact : une sous-suite converge dedans.

📖 6. Parties compactes

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie compacte : Toute suite d’éléments de K possède une sous-suite convergeant vers un point de K.

★ À maîtriser

📌 L’image directe d’une partie compacte par une application continue est compacte, tandis que l’image réciproque d’une partie compacte ne l’est pas nécessairement.

📌 En dimension infinie, une partie fermée et bornée peut ne pas être compacte, tandis qu’en dimension finie une partie est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.

Compléments

📌 Toute partie fermée contenue dans une partie compacte est compacte.

💡 Astuce mémo

Fermée et bornée ne suffit pas en dimension infinie, mais suffit en dimension finie

📖 7. Équivalence des normes

🔑 Notions clés & Définitions

• Normes équivalentes : Deux normes ∥·∥ et ∥·∥′ sur E sont équivalentes s’il existe deux réels positifs c et C tels que, pour tout x ∈ E, $c\|x\|\leq\|x\|'\leq C\|x\|$.

★ À maîtriser

• Deux normes équivalentes donnent les mêmes: parties bornées, suites convergentes, parties ouvertes, parties fermées, parties compactes, fonctions continues

📌 Sur un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

Compléments

• Sur C([0,1],R), les normes ∥·∥∞ et ∥·∥1 ne sont pas équivalentes, car il existe une suite (fn)n∈N telle que ∥fn∥1 = 1 et ∥fn∥∞ = n.

💡 Astuce mémo

Dimension finie → normes équivalentes → mêmes propriétés topologiques

📖 8. Limites et dérivées partielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Point adhérent : Un point a ∈ E est adhérent à A si toute boule B(a,r), avec r > 0, rencontre A.
• Limite : Une fonction f:A→F admet la limite ℓ en un point adhérent a à A si, pour tout ε>0, il existe η>0 tel que x∈A et ∥x−a∥E≤η impliquent ∥f(x)−ℓ∥F≤ε.
• Dérivée partielle : La i-ème dérivée partielle de f:U→F en a∈U est la dérivée en ai de l’application partielle obtenue en faisant varier uniquement la i-ème coordonnée.

★ À maîtriser

📌 Un point a est adhérent à A si et seulement s’il existe une suite d’éléments de A qui converge vers a.

📌 La limite de f en a est ℓ si et seulement si, pour toute suite (xn)n∈N d’éléments de A convergeant vers a, la suite (f(xn))n∈N converge vers ℓ.

Compléments

📐 Formule — La i-ème dérivée partielle vérifie $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)=\lim_{x_i\to a_i}\frac{f(a_1,\ldots,x_i,\ldots,a_n)-f(a)}{x_i-a_i}$.

💡 Astuce mémo

Dérivées partielles continues séparément ≠ continuité de la fonction

📖 9. Dérivées directionnelles et jacobienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice jacobienne : La matrice jacobienne Jf(a) regroupe les dérivées partielles des applications composantes de f:U→Rp, avec une ligne par composante et une colonne par variable.
• Dérivée directionnelle : La dérivée de f en a suivant v est la limite $\frac{\partial f}{\partial v}(a)=\lim_{t\to0}\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}$ lorsqu’elle existe.
• Différentiabilité de Gâteaux : f est différentiable au sens de Gâteaux en a si ses dérivées directionnelles existent pour tout v∈E et si l’application v↦∂f/∂v(a) est linéaire.

📝 Points essentiels

• Pour f(x,y)=(x+y,xy), on a $J_f(x,y)=\begin{pmatrix}1&1\y&x\end{pmatrix}$ et le jacobien vaut x−y.

💡 Astuce mémo

La jacobienne aligne les dérivées des composantes en lignes et directions en colonnes

📖 10. Différentiabilité et différentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Différentielle : Une fonction f:U→F est différentiable en a s’il existe une application linéaire L:E→F telle que $\lim_{h\to0}\frac{\|f(a+h)-f(a)-L(h)\|_F}{\|h\|_E}=0$; cette application unique est notée df(a).

★ À maîtriser

• Si f est différentiable en a, alors f est continue en a et différentiable au sens de Gâteaux en a, avec $\frac{\partial f}{\partial v}(a)=df(a)(v)$ pour tout v∈E.

• Si f:Rn→Rp est différentiable en a, la matrice de df(a) dans les bases canoniques est la matrice jacobienne Jf(a).

• Si f est différentiable en a et g est différentiable en f(a), alors g∘f est différentiable en a et d(g∘f)(a)=dg(f(a))∘df(a).

Compléments

• Une norme est continue sur E mais n’est pas différentiable en 0.

📌 Si f et g sont différentiables en a, alors f+λg est différentiable en a et d(f+λg)(a)=df(a)+λdg(a).

💡 Astuce mémo

Différentiabilité → continuité et dérivabilité directionnelle

📖 11. Accroissements finis

🔑 Notions clés & Définitions

• Norme d’une application linéaire : Pour L∈L(E,F), la norme ∥L∥ est la plus petite constante M telle que, pour tout x∈E, $\|L(x)\|_F\leq M\|x\|_E$.

📝 Points essentiels

• Pour une fonction réelle différentiable sur un segment [a,b] contenu dans U, il existe c∈]a,b[ tel que f(b)−f(a)=df(c)(b−a).

• Pour f:U→F à valeurs vectorielles, continue sur [a,b] et différentiable sur ]a,b[, on a $\|f(b)-f(a)\|_F\leq\sup_{c\in]a,b[}\|df(c)\|\,\|b-a\|_E$.

• Si toutes les dérivées partielles de f:U→Rp existent sur U et sont continues en a, alors f est différentiable en a et $df(a)(h)=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)h_i$.

💡 Astuce mémo

Valeurs réelles : égalité ; valeurs vectorielles : inégalité

📖 12. Différentiabilité et dérivées partielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de classe C1 : Une fonction f:U→F est de classe C1 sur U si elle est différentiable sur U et si l’application $df:U\to L(E,F)$ est continue sur U.

📝 Points essentiels

📌 Pour une fonction f:U→R^p définie sur un ouvert U⊂R^n, être de classe C1 équivaut à avoir toutes ses dérivées partielles définies et continues sur U.

💡 Astuce mémo

Dérivées partielles continues en a → différentiabilité en a

📖 13. Définitions des courbes paramétrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe paramétrée : Une courbe paramétrée est une application continue γ:I→R^n, où I est un intervalle de R.
• Courbe fermée : Une courbe paramétrée γ est fermée lorsque I=[a,b] et γ(a)=γ(b).
• Vecteur vitesse : Pour une courbe paramétrée dérivable γ, γ′(t) est le vecteur vitesse en t et $\|\gamma'(t)\|$ est la vitesse.
• Courbe simple : Une courbe est simple si chacun de ses points possède un unique paramètre, sauf les points γ(a) et γ(b) dans le cas d’une courbe fermée.

📝 Points essentiels

📌 Un paramètre t est régulier lorsque γ′(t)≠0 et singulier lorsque γ′(t)=0; une courbe est régulière lorsque cette non-annulation vaut pour tout t.

💡 Astuce mémo

Courbe paramétrée γ ≠ support géométrique γ(I)

📖 14. Exemples et représentation plane

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote oblique : Une courbe plane admet une asymptote oblique y=cx+d lorsque x(t) et y(t) tendent vers ±∞, $c=\lim_{t\to a}\frac{y(t)}{x(t)}$ et $d=\lim_{t\to a}(y(t)-cx(t))$.

★ À maîtriser

• Le cercle de centre (0,0) et de rayon R>0 est paramétré par γ(t)=(R cos(t),R sin(t)) pour t∈[0,2π], et il est parcouru une fois dans le sens direct.

• Pour représenter une courbe plane dérivable, on détermine successivement les asymptotes, les variations de x et y, les points singuliers et tangentes particulières, les limites des tangentes aux points singuliers, les intersections avec les axes, puis on trace le support.

Compléments

• Une droite passant par M de vecteur directeur v est le support de γ(t)=M+tv, tandis que le segment reliant A à B est le support de γ(t)=A+t(B−A) pour t∈[0,1].

💡 Astuce mémo

Asymptotes → variations → singularités → intersections → tracé

📖 15. Longueur et intégrales curvilignes

🔑 Notions clés & Définitions

• Abscisse curviligne : Pour une courbe régulière γ et un point t0, l’abscisse curviligne est la fonction $\ell_0(t)=\int_{t_0}^{t}\|\gamma'(u)\|\,du$, qui est strictement croissante.
• Courbe normale : Une courbe paramétrée est normale, ou paramétrée par l’abscisse curviligne, lorsque $\|\gamma'(t)\|=1$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La longueur d’une courbe paramétrée γ:I→R^n de classe C1 est $\ell(\gamma)=\int_I\|\gamma'(t)\|\,dt$.

• Le cercle de rayon R paramétré sur [0,2π] a pour longueur $\ell(\gamma)=2\pi R$.

📐 Formule — L’intégrale curviligne d’une fonction continue f sur une courbe γ:[a,b]→R^n est $\int_\gamma f=\int_a^b f(\gamma(t))\|\gamma'(t)\|\,dt$.

💡 Astuce mémo

Vitesse intégrée → longueur parcourue

📖 16. Repère de Frenet plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère de Frenet plan : Pour une courbe plane régulière de classe C2, le repère de Frenet est $R(t)=(\gamma(t);T(t),N(t))$ avec $T(t)=\frac{\gamma'(t)}{\|\gamma'(t)\|}$ et N(t) le vecteur unitaire obtenu par rotation d’angle π/2 de T(t).
• Courbure : La fonction κ des formules de Frenet est appelée courbure de la courbe, et $1/|\kappa|$ est appelé rayon de courbure.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les formules de Frenet d’une courbe plane régulière sont $T'=\kappa\|\gamma'\|N$ et $N'=-\kappa\|\gamma'\|T$, où κ est la courbure.

💡 Astuce mémo

T-N : tangent puis normal

📖 17. Repère de Frenet spatial

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe birégulière : Une courbe gauche de classe C2 est birégulière lorsque γ′(t) et γ′′(t) sont linéairement indépendants.
• Repère de Frenet spatial : Pour une courbe gauche birégulière, le repère de Frenet est $R(t)=(\gamma(t);T(t),N(t),B(t))$ avec $T=\frac{\gamma'}{\|\gamma'\|}$, $N=\frac{T'}{\|T'\|}$ et $B=T\wedge N$.
• Torsion : Dans les formules de Frenet d’une courbe gauche birégulière, la fonction τ est appelée torsion de la courbe.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une courbe gauche birégulière de classe C3, les formules de Frenet sont $T'=\kappa\|\gamma'\|N$, $N'=-\kappa\|\gamma'\|T+\tau\|\gamma'\|B$ et $B'=-\tau\|\gamma'\|N$.

Compléments

📐 Formule — Pour x=(x1,x2,x3) et y=(y1,y2,y3), leur produit vectoriel est $x\wedge y=(x_2y_3-x_3y_2,x_3y_1-x_1y_3,x_1y_2-x_2y_1)$.

💡 Astuce mémo

T-N-B : tangent, normal, binormal

📊 Tableaux de synthèse

Compacité selon la dimension

Types de régularité des courbes