Fiche de révision : Équations différentielles

📋 Plan du Cours

1. Équations linéaires du premier ordre
2. Résolution du premier ordre
3. Second ordre homogène
4. Second ordre avec second membre
5. Variation des constantes
6. Équations à variables séparées
7. Changement de variable
8. Équation de Bernoulli

📖 1. Équations linéaires du premier ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation linéaire du premier ordre : s’écrit $y'(x)+a(x)y(x)=b(x)$, où a et b sont continues sur un intervalle I.
• Solution générale : La solution générale contient toutes les solutions possibles d’une équation différentielle et comporte une constante d’intégration déterminée éventuellement par des conditions initiales.

📝 Points essentiels

📌 L’équation homogène associée à $y'(x)+a(x)y(x)=b(x)$ s’obtient en posant $b(x)=0$, tandis que l’équation complète conserve le second membre b(x).

💡 Astuce mémo

Homogène : second membre nul ; complète : second membre présent

📖 2. Résolution du premier ordre

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une primitive A de a, la solution générale de l’équation homogène est $y(x)=Ce^{-A(x)}$.

📌 Pour tout $x^*\in I$ et tout $y^*\in\mathbb{R}$, l’équation linéaire du premier ordre admet une unique solution vérifiant $y(x^*)=y^*$.

Compléments

• La variation de la constante cherche une solution particulière sous la forme $y_p(x)=K(x)e^{-A(x)}$, puis détermine K en la substituant dans l’équation.

💡 Astuce mémo

Homogène → particulière → solution générale

📖 3. Second ordre homogène

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation linéaire du second ordre : s’écrit $ay''+by'+cy=d(x)$, avec a, b et c réels, $a\neq0$, et d continue sur I.

📝 Points essentiels

• L’ensemble des solutions de l’équation homogène $ay''+by'+cy=0$ est un espace vectoriel de dimension 2.

📌 L’équation caractéristique associée à $ay''+by'+cy=0$ est $ar^2+br+c=0$, dont le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si $\Delta>0$, les solutions sont $Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}$ avec deux racines réelles distinctes ; si $\Delta=0$, elles sont $Ae^{r_0x}+Bxe^{r_0x}$ ; si $\Delta<0$, elles sont $Ae^{\lambda x}\cos(\omega x)+Be^{\lambda x}\sin(\omega x)$.

💡 Astuce mémo

Δ : deux racines, racine double, racines complexes

📖 4. Second ordre avec second membre

★ À maîtriser

• La solution générale d’une équation complète du second ordre est la somme de la solution générale homogène et d’une solution particulière.

• Pour un second membre $e^{\alpha x}P(x)$, on cherche une solution particulière $e^{\alpha x}x^mQ(x)$, où Q a le même degré que P et m vaut 0, 1 ou 2 selon que α n’est pas racine, racine simple ou racine double de l’équation caractéristique.

• Pour un second membre $e^{\alpha x}(P_1(x)\cos(\beta x)+P_2(x)\sin(\beta x))$, on cherche une solution particulière de la forme $e^{\alpha x}(Q_1(x)\cos(\beta x)+Q_2(x)\sin(\beta x))$, multipliée par x si $\alpha+i\beta$ est une racine caractéristique.

Compléments

📌 Pour chaque $x_0\in I$ et chaque couple $(y_0,y_1)\in\mathbb{R}^2$, l’équation complète du second ordre admet une unique solution vérifiant $y(x_0)=y_0$ et $y'(x_0)=y_1$.

💡 Astuce mémo

Résonance de la caractéristique → multiplication de l’ansatz par x

📖 5. Variation des constantes

★ À maîtriser

• La variation des constantes du second ordre cherche une solution particulière sous la forme $y_p=C_1(x)y_1(x)+C_2(x)y_2(x)$, où y₁ et y₂ forment une base des solutions homogènes.

Compléments

• Le système de variation des constantes est un système de Cramer car le Wronskien de la base $(y_1,y_2)$ est non nul sur I.

💡 Astuce mémo

Système → primitives → solution particulière

📖 6. Équations à variables séparées

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation à variables séparées : est à variables séparées lorsqu’elle s’écrit $\frac{dy}{dx}=f(y)g(x)$.

★ À maîtriser

• Si F et G sont des primitives de f et g, la séparation des variables conduit à $F(y(x))=G(x)+C$, puis on isole y lorsque F possède une réciproque.

Compléments

• La solution générale de $y'=\frac{1+y^2}{3}$ est $y(x)=\sqrt{3}\tan\left(\frac{x+C}{\sqrt{3}}\right)$.

💡 Astuce mémo

Séparer → intégrer → isoler y

📖 7. Changement de variable

★ À maîtriser

• Pour l’équation d’Euler $ax^2y''+bxy'+cy=f(x)$ sur $\mathbb{R}_+$, le changement $x=e^t$ et $z(t)=y(x)$ la transforme en une équation différentielle à coefficients constants.

Compléments

• L’équation $x^2y''+xy'+y=0$ devient $z''+z=0$ après le changement $x=e^t$, puis sa solution générale est $y(x)=C_1\cos(\ln x)+C_2\sin(\ln x)$.

💡 Astuce mémo

Euler : x = e^t ; Bernoulli : z = y^{1−α}

📖 8. Équation de Bernoulli

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation de Bernoulli : s’écrit $y'+a(x)y=b(x)y^\alpha$, où a et b sont continues et $\alpha\neq0{,}1$.

★ À maîtriser

• Sur un intervalle où y ne s’annule pas, le changement $z=\frac{1}{y^{\alpha-1}}$ transforme l’équation de Bernoulli en une équation linéaire du premier ordre en z.

Compléments

• Pour $xy'+y=y^2\ln(x)$ sur $\mathbb{R}_+$, le changement $z=1/y$ donne l’équation linéaire $z'-\frac{z}{x}=-\frac{\ln(x)}{x}$.

💡 Astuce mémo

Changement z = y^{1−α} → équation linéaire

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant