QCM : Équations différentielles — 20 questions

Question 1

1. Laquelle des expressions caractérise une équation différentielle linéaire du premier ordre sur un intervalle $I$ ?

y''(x)+a(x)y(x)=b(x)

, avec

a

et

b

continues sur

I

y'(x)+a(x)y(x)=b(x)

, avec

a

et

b

continues sur

I

y'(x)+a(x)y(x)=b(x)^2

, avec

a

et

b

continues sur

I

y'(x)+a(x)y(x)^2=b(x)

, avec

a

et

b

continues sur

I

Explication

Une équation linéaire du premier ordre contient la dérivée première et une puissance unitaire de $y$ , sous la forme indiquée. La présence de $y(x)^2$ rendrait l’équation non linéaire, tandis qu’une dérivée seconde changerait son ordre.

Answer

$$y'(x)+a(x)y(x)=b(x)$$, avec $$a$$ et $$b$$ continues sur $$I$$

Question 2

2. Comment obtient-on l’équation homogène associée à $y'(x)+a(x)y(x)=b(x)$ ?

En remplaçant

a(x)

par

0

dans le coefficient de

y

En imposant que la solution vérifie

y(x)=0

pour tout

x

En remplaçant

b(x)

par

0

dans le second membre

En supprimant le terme

a(x)y(x)

du membre de gauche

Explication

L’équation homogène associée s’obtient en posant le second membre égal à zéro, ce qui donne $y'(x)+a(x)y(x)=0$ . L’équation complète conserve au contraire le terme $b(x)$ .

Answer

En remplaçant $$b(x)$$ par $$0$$ dans le second membre

Question 3

3. Que représente la constante d’intégration dans la solution générale d’une équation différentielle ?

Elle fixe automatiquement la valeur de la solution en chaque point de l’intervalle

Elle remplace le second membre afin de transformer l’équation en équation homogène

Elle permet de regrouper toutes les solutions possibles avant d’imposer une condition initiale

Elle impose une valeur nulle à la solution dès que l’équation est linéaire

Explication

La solution générale contient une constante d’intégration qui paramètre l’ensemble des solutions possibles. Une condition initiale peut ensuite déterminer cette constante, mais elle ne fixe pas automatiquement toutes les valeurs avant cette étape.

Answer

Elle permet de regrouper toutes les solutions possibles avant d’imposer une condition initiale

Question 4

4. Si $A$ est une primitive de $a$ , quelle est la forme générale d’une solution de l’équation homogène $y'(x)+a(x)y(x)=0$ ?

y(x)=A(x)e^{-C}

y(x)=Ce^{-A(x)}

y(x)=C-A(x)e^{x}

y(x)=Ce^{A(x)}

Explication

La résolution de l’équation homogène par facteur intégrant conduit à $y(x)=Ce^{-A(x)}$ , où $C$ est une constante. Le signe négatif dans l’exponentielle distingue cette expression de la forme avec $e^{A(x)}$ .

Answer

$$y(x)=Ce^{-A(x)}$$

Question 5

5. Quelle propriété d’existence et d’unicité s’applique à l’équation linéaire du premier ordre pour une donnée $y(x^)=y^$ ?

Une solution unique exige deux données,

y(x^*)

et

y'(x^*)

Pour tout

x^*\in I

et tout

y^*\in\mathbb{R}

, une unique solution vérifie cette donnée

Pour tout

x^*\in I

, plusieurs solutions peuvent vérifier une même valeur

y^*

Une solution existe lorsque

y^*=0

, mais son unicité dépend de la valeur de

x^*

Explication

Le théorème garantit, pour chaque point initial et chaque valeur initiale, l’existence d’une unique solution. La donnée de $y'(x^*)$ n’est pas requise pour une équation du premier ordre, contrairement au cas du second ordre.

Answer

Pour tout $$x^*\in I$$ et tout $$y^*\in\mathbb{R}$$, une unique solution vérifie cette donnée

Question 6

6. Quelle forme définit une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants ?

ay''+by'+cy=0

, avec

a,b,c\in\mathbb{R}

et

a\neq0

a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=d(x)

, avec des coefficients variables

ay'+by+c=0

, avec

a,b,c\in\mathbb{R}

et

a\neq0

ay''+by'+cy=d(x)

, avec

a,b,c\in\mathbb{R}

et

a=0

Explication

Une équation homogène du second ordre à coefficients constants s’écrit $ay''+by'+cy=0$ , avec des coefficients réels et $a\neq0$ . Un second membre non nul correspond à l’équation complète, tandis que l’annulation de $a$ détruirait le caractère du second ordre.

Answer

$$ay''+by'+cy=0$$, avec $$a,b,c\in\mathbb{R}$$ et $$a\neq0$$

Question 7

7. Quelle est la dimension de l’espace vectoriel des solutions d’une équation homogène linéaire du second ordre ?

Elle est égale à

0

Elle est égale à

2

Elle dépend du second membre de l’équation

Elle est égale à

1

Explication

L’espace des solutions de l’équation homogène du second ordre est de dimension $2$ , ce qui correspond à deux constantes indépendantes dans la solution générale. La dimension $1$ caractérise plutôt l’espace des solutions homogènes d’une équation linéaire du premier ordre.

Answer

Elle est égale à $$2$$

Question 8

8. Pour $ay''+by'+cy=0$ , quelle équation caractéristique et quel discriminant faut-il utiliser ?

ar^2+br+c=0

et

\Delta=b^2+4ac

a r^2+b r-c=0

et

\Delta=b^2+4ac

ar+b+c=0

et

\Delta=b^2-4ac

ar^2+br+c=0

et

\Delta=b^2-4ac

Explication

L’équation caractéristique remplace les dérivées par les puissances de $r$ et devient $ar^2+br+c=0$ , dont le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$ . Une équation caractéristique du premier degré ne convient pas à une équation différentielle du second ordre.

Answer

$$ar^2+br+c=0$$ et $$\Delta=b^2-4ac$$

Question 9

9. Dans quel cas la solution générale contient-elle le facteur $x$ sous la forme $Bxe^{r_0x}$ ?

Lorsque le discriminant est négatif et que les racines sont complexes conjuguées

Lorsque le discriminant est nul et que l’équation caractéristique possède une racine double

r_0

Lorsque le coefficient du terme

y''

est nul et que l’équation devient du premier ordre

Lorsque le discriminant est positif et que les deux racines réelles sont distinctes

Explication

Une racine double, correspondant à $\Delta=0$ , fournit les deux solutions indépendantes $e^{r_0x}$ et $xe^{r_0x}$ . Avec deux racines réelles distinctes, les solutions sont plutôt des combinaisons de $e^{r_1x}$ et $e^{r_2x}$ sans facteur $x$ .

Answer

Lorsque le discriminant est nul et que l’équation caractéristique possède une racine double $$r_0$$

Question 10

10. Comment construit-on la solution générale d’une équation différentielle linéaire complète du second ordre ?

En remplaçant le second membre par une constante d’intégration

En additionnant la solution générale homogène et une solution particulière

En multipliant la solution homogène par une solution particulière

En conservant uniquement les solutions associées au second membre nul

Explication

La solution de l’équation complète s’obtient en ajoutant une solution particulière à la solution générale de l’équation homogène. L’équation homogène ne correspond qu’au cas où le second membre est nul.

Answer

En additionnant la solution générale homogène et une solution particulière

Question 11

11. Pour un second membre de la forme $e^{\alpha x}P(x)$ , quelle forme faut-il essayer pour une solution particulière lorsque $\alpha$ est une racine double de l’équation caractéristique ?

x^2Q(x)

e^{\alpha x}Q(x)

e^{\alpha x}x^2Q(x)

e^{\alpha x}xQ(x)

Explication

Une racine double impose le facteur $x^2$ dans l’expression cherchée, qui devient $e^{\alpha x}x^2Q(x)$ . Le facteur $x$ correspond à une racine simple, tandis qu’aucun facteur supplémentaire ne correspond à une valeur de $\alpha$ qui n’est pas racine.

Answer

$$e^{\alpha x}x^2Q(x)$$

Question 12

12. Pour un second membre oscillant associé à $\alpha+i\beta$ , quelle modification est requise si ce nombre complexe est une racine de l’équation caractéristique ?

Multiplier la forme d’essai par

x^2

dans tous les cas

Remplacer les sinus par des exponentielles réelles

Multiplier la forme d’essai par

x

Supprimer les polynômes devant le sinus et le cosinus

Explication

Lorsque $\alpha+i\beta$ est une racine caractéristique, il y a résonance complexe et la forme d’essai doit être multipliée par $x$ . En l’absence de cette racine, ce facteur supplémentaire n’est pas requis.

Answer

Multiplier la forme d’essai par $$x$$

Question 13

13. Dans la variation des constantes, quelle forme prend une solution particulière du second ordre lorsque $y_1$ et $y_2$ forment une base des solutions homogènes ?

y_p=C_1(x)y_1'(x)+C_2(x)y_2'(x)

y_p=y_1'(x)+y_2'(x)

y_p=C_1(x)y_1(x)+C_2(x)y_2(x)

y_p=C_1y_1+C_2y_2

avec deux constantes fixes

Explication

La méthode cherche une solution particulière comme combinaison linéaire des deux solutions homogènes, avec des coefficients dépendant de $x$ . Des coefficients constants décriraient plutôt une combinaison appartenant à la solution homogène.

Answer

$$y_p=C_1(x)y_1(x)+C_2(x)y_2(x)$$

Question 14

14. Pourquoi le système utilisé dans la variation des constantes est-il un système de Cramer ?

Parce que le Wronskien de la base est non nul sur l’intervalle

Parce que les deux solutions homogènes sont nécessairement polynomiales

Parce que les coefficients de la solution particulière sont indépendants de

x

Parce que le second membre est une fonction constante

Explication

Le Wronskien non nul garantit que le déterminant du système associé est non nul, ce qui en fait un système de Cramer et assure son unicité. Un déterminant nul empêcherait cette conclusion.

Answer

Parce que le Wronskien de la base est non nul sur l’intervalle

Question 15

15. Quelle propriété caractérise une équation différentielle du premier ordre à variables séparées ?

Elle impose que

y

soit une fonction polynomiale de

x

Elle contient une dérivée seconde multipliée par une fonction de

x

Elle s’écrit sous la forme

y'+a(x)y=b(x)

Elle s’écrit sous la forme

\frac{dy}{dx}=f(y)g(x)

Explication

Une équation à variables séparées factorise les dépendances en $y$ et en $x$ sous la forme $f(y)g(x)$ . Une équation linéaire générale peut avoir une autre structure et n’est pas nécessairement séparable.

Answer

Elle s’écrit sous la forme $$\frac{dy}{dx}=f(y)g(x)$$

Question 16

16. Après séparation des variables, quelle relation obtient-on lorsque $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et $g$ ?

F(y(x))=G(x)+C

F'(y(x))=G'(x)+C

y(x)=F(x)+G(y)+C

F(y(x))G(x)=C

Explication

L’intégration après séparation conduit à $F(y(x))=G(x)+C$ , puis on isole $y$ si $F$ possède une fonction réciproque. Le produit des primitives ne résulte pas de cette intégration.

Answer

$$F(y(x))=G(x)+C$$

Question 17

17. Quel changement de variable transforme l’équation d’Euler $ax^2y''+bxy'+cy=f(x)$ sur $\mathbb{R}_+$ en une équation différentielle à coefficients constants ?

Poser

t=y'

et définir

z(x)=t

Poser

t=\ln(y)

et définir

z(x)=t

Poser

x=t^2

et définir

z(t)=y(t)

Poser

x=e^t

et définir

z(t)=y(x)

Explication

Le changement $x=e^t$ , accompagné de $z(t)=y(x)$ , convertit les puissances de $x$ en coefficients constants en fonction de $t$ . La séparation des variables ne modifie pas la variable indépendante et ne produit donc pas cette transformation.

Answer

Poser $$x=e^t$$ et définir $$z(t)=y(x)$$

Question 18

18. Après le changement $x=e^t$ , quelle est la solution générale de l’équation $x^2y''+xy'+y=0$ ?

y(x)=C_1\cos(x)+C_2\sin(x)

y(x)=C_1\cos(\ln x)+C_2\sin(\ln x)

y(x)=C_1\ln(x)+C_2x

y(x)=C_1e^x+C_2e^{-x}

Explication

Le changement donne $z''+z=0$ , dont la solution est $z(t)=C_1\cos(t)+C_2\sin(t)$ ; comme $t=\ln x$ , on obtient la forme indiquée. La variable $t$ n’apparaît donc pas dans la solution finale en fonction de $x$ .

Answer

$$y(x)=C_1\cos(\ln x)+C_2\sin(\ln x)$$

Question 19

19. Quelle condition caractérise une équation de Bernoulli écrite sous la forme $y'+a(x)y=b(x)y^\alpha$ ?

Les fonctions

a

et

b

sont continues et

\alpha\neq0,1

.

La fonction

b

est discontinue et

\alpha=0

.

Les fonctions

a

et

b

sont dérivables et

\alpha=1

.

Les fonctions

a

et

b

sont constantes et

\alpha=1

.

Explication

Une équation de Bernoulli possède cette forme avec $a$ et $b$ continues et un exposant $\alpha$ distinct de $0$ et de $1$ . Lorsque $\alpha=1$ , l’équation devient linéaire, ce qui ne correspond pas au cas de Bernoulli considéré ici.

Answer

Les fonctions $$a$$ et $$b$$ sont continues et $$\alpha\neq0,1$$.

Question 20

20. Sur un intervalle où une solution de Bernoulli ne s’annule pas, quel changement transforme l’équation en une équation linéaire du premier ordre ?

Poser

z=\frac{1}{y^\alpha}

Poser

z=y^{\alpha-1}

Poser

z=\ln|y|

Poser

z=\frac{1}{y^{\alpha-1}}

Explication

Le changement $z=\frac{1}{y^{\alpha-1}}$ linéarise l’équation de Bernoulli sur un intervalle où $y$ ne s’annule pas. La condition de non-annulation est nécessaire pour que cette expression soit définie, contrairement à une transformation applicable à toute solution.

Answer

Poser $$z=\frac{1}{y^{\alpha-1}}$$

QCM : Équations différentielles — 20 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des expressions caractérise une équation différentielle linéaire du premier ordre sur un intervalle $I$ ?

2. Comment obtient-on l’équation homogène associée à $y'(x)+a(x)y(x)=b(x)$ ?

3. Que représente la constante d’intégration dans la solution générale d’une équation différentielle ?

4. Si $A$ est une primitive de $a$ , quelle est la forme générale d’une solution de l’équation homogène $y'(x)+a(x)y(x)=0$ ?

5. Quelle propriété d’existence et d’unicité s’applique à l’équation linéaire du premier ordre pour une donnée $y(x^)=y^$ ?

6. Quelle forme définit une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants ?

7. Quelle est la dimension de l’espace vectoriel des solutions d’une équation homogène linéaire du second ordre ?

8. Pour $ay''+by'+cy=0$ , quelle équation caractéristique et quel discriminant faut-il utiliser ?

9. Dans quel cas la solution générale contient-elle le facteur $x$ sous la forme $Bxe^{r_0x}$ ?

10. Comment construit-on la solution générale d’une équation différentielle linéaire complète du second ordre ?

11. Pour un second membre de la forme $e^{\alpha x}P(x)$ , quelle forme faut-il essayer pour une solution particulière lorsque $\alpha$ est une racine double de l’équation caractéristique ?

12. Pour un second membre oscillant associé à $\alpha+i\beta$ , quelle modification est requise si ce nombre complexe est une racine de l’équation caractéristique ?

13. Dans la variation des constantes, quelle forme prend une solution particulière du second ordre lorsque $y_1$ et $y_2$ forment une base des solutions homogènes ?

14. Pourquoi le système utilisé dans la variation des constantes est-il un système de Cramer ?

15. Quelle propriété caractérise une équation différentielle du premier ordre à variables séparées ?

16. Après séparation des variables, quelle relation obtient-on lorsque $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et $g$ ?

17. Quel changement de variable transforme l’équation d’Euler $ax^2y''+bxy'+cy=f(x)$ sur $\mathbb{R}_+$ en une équation différentielle à coefficients constants ?

18. Après le changement $x=e^t$ , quelle est la solution générale de l’équation $x^2y''+xy'+y=0$ ?

19. Quelle condition caractérise une équation de Bernoulli écrite sous la forme $y'+a(x)y=b(x)y^\alpha$ ?

20. Sur un intervalle où une solution de Bernoulli ne s’annule pas, quel changement transforme l’équation en une équation linéaire du premier ordre ?

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QCM : Équations différentielles — 20 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des expressions caractérise une équation différentielle linéaire du premier ordre sur un intervalle III ?

2. Comment obtient-on l’équation homogène associée à y′(x)+a(x)y(x)=b(x)y'(x)+a(x)y(x)=b(x)y′(x)+a(x)y(x)=b(x) ?

3. Que représente la constante d’intégration dans la solution générale d’une équation différentielle ?

4. Si AAA est une primitive de aaa, quelle est la forme générale d’une solution de l’équation homogène y′(x)+a(x)y(x)=0y'(x)+a(x)y(x)=0y′(x)+a(x)y(x)=0 ?

5. Quelle propriété d’existence et d’unicité s’applique à l’équation linéaire du premier ordre pour une donnée y(x∗)=y∗y(x^*)=y^*y(x∗)=y∗ ?

6. Quelle forme définit une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants ?

7. Quelle est la dimension de l’espace vectoriel des solutions d’une équation homogène linéaire du second ordre ?

8. Pour ay′′+by′+cy=0ay''+by'+cy=0ay′′+by′+cy=0, quelle équation caractéristique et quel discriminant faut-il utiliser ?

9. Dans quel cas la solution générale contient-elle le facteur xxx sous la forme Bxer0xBxe^{r_0x}Bxer0​x ?

10. Comment construit-on la solution générale d’une équation différentielle linéaire complète du second ordre ?

11. Pour un second membre de la forme eαxP(x)e^{\alpha x}P(x)eαxP(x), quelle forme faut-il essayer pour une solution particulière lorsque α\alphaα est une racine double de l’équation caractéristique ?

12. Pour un second membre oscillant associé à α+iβ\alpha+i\betaα+iβ, quelle modification est requise si ce nombre complexe est une racine de l’équation caractéristique ?

13. Dans la variation des constantes, quelle forme prend une solution particulière du second ordre lorsque y1y_1y1​ et y2y_2y2​ forment une base des solutions homogènes ?

14. Pourquoi le système utilisé dans la variation des constantes est-il un système de Cramer ?

15. Quelle propriété caractérise une équation différentielle du premier ordre à variables séparées ?

16. Après séparation des variables, quelle relation obtient-on lorsque FFF et GGG sont des primitives de fff et ggg ?

17. Quel changement de variable transforme l’équation d’Euler ax2y′′+bxy′+cy=f(x)ax^2y''+bxy'+cy=f(x)ax2y′′+bxy′+cy=f(x) sur R+\mathbb{R}_+R+​ en une équation différentielle à coefficients constants ?

18. Après le changement x=etx=e^tx=et, quelle est la solution générale de l’équation x2y′′+xy′+y=0x^2y''+xy'+y=0x2y′′+xy′+y=0 ?

19. Quelle condition caractérise une équation de Bernoulli écrite sous la forme y′+a(x)y=b(x)yαy'+a(x)y=b(x)y^\alphay′+a(x)y=b(x)yα ?

20. Sur un intervalle où une solution de Bernoulli ne s’annule pas, quel changement transforme l’équation en une équation linéaire du premier ordre ?

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1. Laquelle des expressions caractérise une équation différentielle linéaire du premier ordre sur un intervalle $I$ ?

2. Comment obtient-on l’équation homogène associée à $y'(x)+a(x)y(x)=b(x)$ ?

4. Si $A$ est une primitive de $a$ , quelle est la forme générale d’une solution de l’équation homogène $y'(x)+a(x)y(x)=0$ ?

5. Quelle propriété d’existence et d’unicité s’applique à l’équation linéaire du premier ordre pour une donnée $y(x^)=y^$ ?

8. Pour $ay''+by'+cy=0$ , quelle équation caractéristique et quel discriminant faut-il utiliser ?

9. Dans quel cas la solution générale contient-elle le facteur $x$ sous la forme $Bxe^{r_0x}$ ?

11. Pour un second membre de la forme $e^{\alpha x}P(x)$ , quelle forme faut-il essayer pour une solution particulière lorsque $\alpha$ est une racine double de l’équation caractéristique ?

12. Pour un second membre oscillant associé à $\alpha+i\beta$ , quelle modification est requise si ce nombre complexe est une racine de l’équation caractéristique ?

13. Dans la variation des constantes, quelle forme prend une solution particulière du second ordre lorsque $y_1$ et $y_2$ forment une base des solutions homogènes ?

16. Après séparation des variables, quelle relation obtient-on lorsque $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et $g$ ?

17. Quel changement de variable transforme l’équation d’Euler $ax^2y''+bxy'+cy=f(x)$ sur $\mathbb{R}_+$ en une équation différentielle à coefficients constants ?

18. Après le changement $x=e^t$ , quelle est la solution générale de l’équation $x^2y''+xy'+y=0$ ?

19. Quelle condition caractérise une équation de Bernoulli écrite sous la forme $y'+a(x)y=b(x)y^\alpha$ ?