QCM : Compacité et différentiabilité — 57 questions

Explication

L’homogénéité exige que la multiplication d’un vecteur par un scalaire multiplie sa norme par la valeur absolue de ce scalaire. L’égalité avec $\lambda$ sans valeur absolue ne convient pas lorsque le scalaire est négatif.

Explication

La distance associée à une norme mesure la norme du vecteur différence $x-y$. La quantité $\|x\|$ mesure plutôt la distance d’un vecteur à l’origine, et non la comparaison complète de deux vecteurs.

Explication

La norme infinie est le maximum des valeurs absolues des coordonnées, donc elle vaut ici $\max\{2,3,1\}$. La somme des valeurs absolues correspond à la norme $\|x\|_1$, tandis que la troisième expression correspond à la norme euclidienne.

Explication

La norme issue d’un produit scalaire est la racine carrée du produit scalaire du vecteur avec lui-même. L’expression faisant intervenir un second vecteur $y$ ne définit pas une norme de $x$.

Explication

L’inégalité de Cauchy-Schwarz contrôle la valeur absolue du produit scalaire par le produit des normes. L’inégalité triangulaire concerne plutôt la norme d’une somme, ce qui ne correspond pas à la relation demandée.

Explication

Dans le cas réel, l’échange des variables conserve directement la valeur du produit, alors que le cas complexe introduit la conjugaison. La bilinéarité et l’absence de conjugaison ne décrivent donc pas correctement le produit hermitien.

Explication

La boule ouverte rassemble les vecteurs dont la distance au centre $a$ est strictement inférieure à $r$. L’inégalité large décrit la boule fermée, qui contient aussi les points de la frontière.

Explication

La boule fermée autorise les points situés à une distance égale au rayon, d’où la condition $\|x-a\|\leq r$. La condition stricte décrit la boule ouverte, qui exclut sa frontière.

Explication

Une partie est bornée lorsqu’un même rayon $R$ majore la norme de chacun de ses éléments, ce qui revient à l’inclusion dans une boule centrée en zéro. Une borne inférieure ou l’absence de vecteur nul ne fournit pas une borne supérieure.

Explication

La convergence exige que, pour chaque précision positive, tous les termes d’indice suffisamment grand soient à distance au plus $\varepsilon$ de $\ell$. La dernière formulation inverse la condition sur les indices et ne décrit donc pas le comportement asymptotique de la suite.

Explication

Dans un espace vectoriel normé, une suite convergente a une limite unique et ses termes restent dans une partie bornée. Une suite convergente ne peut donc pas être non bornée ni admettre plusieurs limites.

Explication

Une suite de Cauchy possède des termes arbitrairement proches les uns des autres lorsque leurs indices sont suffisamment grands. La convergence de chaque terme vers zéro est une condition différente et n’est pas requise.

Explication

La continuité en $a$ signifie que la proximité de $x$ et de $a$ entraîne la proximité de leurs images. La convergence, en revanche, porte directement sur la distance entre les termes d’une suite et sa limite.

Explication

Une partie est ouverte lorsque chaque point possède une boule de rayon positif entièrement contenue dans cette partie. La propriété de stabilité par limites de suites caractérise plutôt les parties fermées.

Explication

Une partie fermée contient la limite de toute suite convergente dont les termes lui appartiennent. Une suite d’éléments de cette partie n’est pas forcément convergente, et la bornitude ne suffit pas à garantir une limite.

Explication

La continuité conserve la fermeture par image réciproque : la préimage d’un fermé est fermée. Elle ne garantit pas que cette préimage soit compacte ou bornée.

Explication

Les segments fermés de $\mathbb{R}$ sont compacts, alors que les boules ouvertes et l’espace normé entier ne le sont pas. Être fermé ne suffit pas à être compact lorsque la partie n’est pas bornée.

Explication

La compacité exige l’existence, pour chaque suite dans $K$, d’une sous-suite convergente dont la limite appartient encore à $K$. Elle n’impose pas que la suite entière converge.

Explication

La continuité transforme une partie compacte par image directe en partie compacte. En revanche, la préimage d’un compact ne bénéficie pas de cette conclusion sans hypothèse supplémentaire.

Explication

Le critère fermé et borné caractérise la compacité en dimension finie, mais il échoue en dimension infinie. Une partie fermée et bornée peut alors manquer de sous-suites convergentes dans la partie.

Explication

L’équivalence requiert deux constantes positives et deux inégalités qui encadrent chaque norme par l’autre. Une seule majoration ne garantit pas cette relation réciproque entre les normes.

Explication

Des normes équivalentes définissent les mêmes suites convergentes et les mêmes fonctions continues, ainsi que plusieurs propriétés topologiques. Elles ne donnent toutefois pas nécessairement la même valeur numérique pour une distance.

Explication

En dimension finie, toute norme sur un même espace vectoriel est équivalente à toute autre norme. La présence d’une base orthonormée ou une comparaison des volumes n’est pas la condition déterminante.

Explication

L’adhérence signifie que chaque boule $B(a,r)$ avec $r>0$ possède au moins un point commun avec $A$. Cette condition est plus faible que l’appartenance à l’intérieur de l’ensemble.

Explication

L’adhérence équivaut à l’existence d’une suite dans $A$ convergeant vers le point considéré. Il n’est pas nécessaire que toutes les suites de $A$ aient cette limite.

Explication

La définition de la limite exige que $a$ soit adhérent à $A$, mais autorise $a\notin A$. La continuité en $a$, en revanche, suppose que la fonction soit définie en ce point.

Explication

La limite est caractérisée par le comportement de l’image de toute suite de points de $A$ qui converge vers $a$. L’existence d’une seule suite ne suffit pas à établir la limite.

Explication

La matrice jacobienne rassemble les dérivées partielles des composantes, avec une ligne associée à chaque composante et une colonne à chaque variable. Elle ne correspond pas à une matrice de dérivées directionnelles choisies.

Explication

La dérivée directionnelle étudie les variations de la fonction le long de la droite $a+tv$ lorsque $t$ tend vers zéro. Le quotient doit donc être divisé par le paramètre scalaire $t$.

Explication

La différentiabilité de Gâteaux exige l’existence de la dérivée directionnelle dans chaque direction et la linéarité de l’application qui associe cette dérivée à $v$. L’existence de dérivées partielles continues est une condition différente et plus spécifique.

Explication

La différentiabilité signifie que $f(a+h)-f(a)$ est approximé par une application linéaire, avec un reste dont le rapport à $\|h\|_E$ tend vers zéro. L’existence de dérivées directionnelles ne garantit pas à elle seule cette approximation linéaire uniforme.

Explication

La différentiabilité entraîne la continuité en $a$ et la différentiabilité de Gâteaux, avec $\frac{\partial f}{\partial v}(a)=df(a)(v)$. En revanche, la différentiabilité de Gâteaux seule n’impose pas la continuité.

Explication

Dans les bases canoniques, la représentation matricielle de la différentielle $df(a)$ est précisément la matrice jacobienne $J_f(a)$. La matrice hessienne concerne les dérivées secondes et ne décrit pas directement la différentielle.

Explication

La règle de la chaîne compose la différentielle de $f$ en $a$ avec celle de $g$ en $f(a)$. Les autres formules échangent les points d’évaluation ou remplacent la composition par une addition.

Explication

La norme opératorielle est la constante optimale, c’est-à-dire la plus petite constante qui contrôle toutes les valeurs de $L$. Une constante plus grande peut aussi satisfaire l’inégalité, mais elle ne constitue pas la norme de $L$.

Explication

L’égalité exacte des accroissements finis s’applique à une fonction à valeurs réelles différentiable sur le segment considéré. Pour une fonction vectorielle, on dispose plutôt d’une inégalité portant sur les normes.

Explication

La variation vectorielle est majorée par le supremum des normes différentielles sur l’intervalle, multiplié par la longueur $\|b-a\|_E$. Une égalité avec une différentielle en un point précis n’est pas garantie pour les fonctions à valeurs vectorielles.

Explication

La continuité en $a$ de toutes les dérivées partielles permet de construire la différentielle selon la formule indiquée. Les dérivées secondes ne sont pas nécessaires, et les coefficients $h_i$ sont indispensables dans l’application linéaire.

Explication

Une fonction est de classe $C^1$ si elle est différentiable et si sa différentielle dépend continûment du point. Être différentiable partout ne suffit donc pas, tandis que l’existence de dérivées secondes n’est pas requise par cette définition.

Explication

Sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$, être de classe $C^1$ équivaut à l’existence et à la continuité sur $U$ de toutes les dérivées partielles. La seule existence de dérivées directionnelles ou de la différentielle ne fournit pas cette régularité.

Explication

Une courbe paramétrée est l’application continue qui associe un point à chaque paramètre, alors que son support est l’ensemble des points obtenus. Confondre ces notions revient à identifier une application avec son image géométrique.

Explication

La fermeture exige que les deux extrémités du paramétrage correspondent au même point, c’est-à-dire $\gamma(a)=\gamma(b)$. Le fait d’être définie sur un intervalle fermé ne suffit pas à rendre une courbe fermée.

Explication

Le vecteur $\gamma'(t)$ est le vecteur vitesse et sa norme mesure la vitesse au paramètre $t$. La position est donnée par $\gamma(t)$, tandis que la longueur totale nécessite une intégrale.

Explication

La régularité d’un paramètre dépend de la non-annulation du vecteur dérivé : $\gamma'(t)\neq0$. Une vitesse égale à zéro caractérise un paramètre singulier, tandis qu’une vitesse unitaire est une condition plus forte appelée normalité.

Explication

Une variation de paramètre de $4\pi$ correspond à deux périodes complètes des fonctions sinus et cosinus, donc à deux parcours du cercle. L’intervalle $[0,2\pi]$ ne produit qu’un seul parcours.

Explication

L’étude commence par les asymptotes et les variations de $x$ et $y$, puis examine les singularités, les tangentes et les intersections avec les axes avant le tracé. Commencer directement par le support ne permet pas d’exploiter les informations analytiques nécessaires.

Explication

La longueur s’obtient en intégrant la vitesse, soit $\ell(\gamma)=\int_I\|\gamma'(t)\|\,dt$. Intégrer la norme de la position ou le carré de la vitesse ne fournit pas la longueur géométrique.

Explication

La vitesse de ce paramétrage a une norme constante égale à $R$, et l’intégration sur un intervalle de longueur $2\pi$ donne $2\pi R$. L’expression $\pi R^2$ représente l’aire du disque, pas la longueur de sa circonférence.

Explication

Pour une courbe régulière, la vitesse est non nulle et son intégrale cumulée augmente strictement avec le paramètre. Cette fonction scalaire mesure la distance parcourue depuis $t_0$, contrairement à la position vectorielle.

Explication

L’intégrale curviligne évalue la fonction sur les points $\gamma(t)$ et pondère cette valeur par l’élément de longueur $\|\gamma'(t)\|\,dt$. Omettre ce facteur revient à intégrer par rapport au paramètre plutôt que le long de la courbe.

Explication

Le vecteur tangent unitaire s’obtient en normalisant le vecteur dérivé $\gamma'(t)$. La dérivée seconde décrit l’évolution de la tangente et ne définit pas directement le vecteur tangent unitaire.

Explication

Les relations sont $T'=\kappa\|\gamma'\|N$ et $N'=-\kappa\|\gamma'\|T$, ce qui fixe à la fois les directions et le signe de la seconde formule. Le signe de $N'$ n’est donc pas positif et sa dérivée n’est pas généralement nulle.

Explication

Le rayon de courbure est défini par $\frac{1}{|\kappa|}$, donc ici $\frac{1}{0{,}25}=4$. Le signe éventuel de la courbure ne changerait pas ce rayon, car sa valeur absolue intervient.

Explication

La birégularité exige l’indépendance linéaire de $\gamma'(t)$ et $\gamma''(t)$, condition plus forte que la simple régularité. La régularité impose notamment que $\gamma'(t)$ soit non nul, et la colinéarité contredit la birégularité.

Explication

Le normal est la direction normalisée de la variation de la tangente, soit $N=\frac{T'}{\|T'\|}$, puis le binormal est défini par $B=T\wedge N$. Le produit vectoriel construit donc le binormal à partir de deux vecteurs déjà déterminés.

Explication

La formule spatiale comporte une composante tangentielle négative et une composante binormale positive : $N'=-\kappa\|\gamma'\|T+\tau\|\gamma'\|B$. Les autres expressions échangent les rôles de la courbure et de la torsion ou modifient les signes.

Explication

La fonction $\tau$ est appelée la torsion et intervient dans les composantes spatiales des dérivées de $N$ et de $B$. La courbure est notée $\kappa$, tandis que le rayon de courbure est lié à $1/|\kappa|$.