Compacité et différentiabilité

Extrait de la fiche de révision

Plan du Cours

  1. Normes et distances
  2. Produits scalaires et normes associées
  3. Boules et parties bornées
  4. Suites et continuité
  5. Ouverts, fermés et compacts
  6. Parties compactes
  7. Équivalence des normes
  8. Limites et dérivées partielles
  9. Dérivées directionnelles et jacobienne
  10. Différentiabilité et différentielle
  11. Accroissements finis
  12. Différentiabilité et dérivées partielles
  13. Définitions des courbes paramétrées
  14. Exemples et représentation plane
  15. Longueur et intégrales curvilignes
  16. Repère de Frenet plan
  17. Repère de Frenet spatial

1. Normes et distances

Notions clés & Définitions

  • Norme : Application N:E→R vérifiant la positivité, la séparation, l’homogénéité N(λx)=∣λ∣N(x)N(\lambda x)=|\lambda|N(x) et l’inégalité triangulaire N(x+y)≤N(x)+N(y)N(x+y)\leq N(x)+N(y).
  • Distance associée : Application définie par d(x,y)=∥x−y∥d(x,y)=\|x-y\|.
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Aperçu du QCM

1. Laquelle des propriétés caractérise l’homogénéité d’une norme sur un espace vectoriel ?

2. Si une norme définit une distance entre deux vecteurs xx et yy, quelle expression faut-il utiliser ?

3. Pour le vecteur x=(2,−3,1)x=(2,-3,1), quelle expression donne sa norme infinie ?

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Aperçu des flashcards

Quelles propriétés doit vérifier une norme sur un espace vectoriel E ?

La positivité, la séparation, l'homogénéité et l'inégalité triangulaire.

Quelle formule exprime l'homogénéité d'une norme N ?

N(λx)=∣λ∣N(x)N(\lambda x)=|\lambda|N(x).

Comment est définie la distance associée à une norme sur E ?

Par d(x,y)=∥x−y∥d(x,y)=\|x-y\|.

Quelle inégalité exprime l'inégalité triangulaire inversée dans un espace vectoriel normé ?

∣∥x∥−∥y∥∣≤∥x−y∥\left|\|x\|-\|y\|\right|\leq\|x-y\|.

Comment s'exprime la norme ∥x∥∞\|x\|_\infty sur Kn\mathbb{K}^n ?

∥x∥∞=max⁡{∣x1∣,…,∣xn∣}\|x\|_\infty=\max\{|x_1|,\ldots,|x_n|\}.

Quelle est la formule de la norme ∥x∥1\|x\|_1 sur Kn\mathbb{K}^n ?

∥x∥1=∣x1∣+⋯+∣xn∣\|x\|_1=|x_1|+\cdots+|x_n|.

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Questions fréquentes

Que contient la fiche de révision sur Compacité et différentiabilité ?

La fiche de révision couvre les notions essentielles de Compacité et différentiabilité. Elle est structurée par thématiques pour faciliter l'apprentissage et la mémorisation, avec des définitions clés, des explications et des synthèses.

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Combien de questions contient le QCM sur Compacité et différentiabilité ?

Le QCM contient 57 questions à choix multiples avec corrections détaillées et explications pour chaque réponse. Idéal pour tester tes connaissances et identifier tes lacunes.

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Comment réviser Compacité et différentiabilité avec les flashcards ?

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