Flashcards : Compacité et différentiabilité — 71 cartes

Quelles propriétés doit vérifier une norme sur un espace vectoriel E ?

Quelle formule exprime l'homogénéité d'une norme N ?

Comment est définie la distance associée à une norme sur E ?

Quelle inégalité exprime l'inégalité triangulaire inversée dans un espace vectoriel normé ?

Comment s'exprime la norme $\|x\|_\infty$ sur $\mathbb{K}^n$ ?

Quelle est la formule de la norme $\|x\|_1$ sur $\mathbb{K}^n$ ?

Comment se définit la norme $\|x\|_p$ pour $p\geq1$ sur $\mathbb{K}^n$ ?

Quelle est la définition de la norme uniforme pour une fonction bornée $f:X\to\mathbb{K}$ ?

Qu'est-ce qu'un produit scalaire réel sur E ?

Quelle est la formule de la norme associée à un produit scalaire réel ?

Quelle inégalité relie le produit scalaire et les normes associées ?

Quelles sont les propriétés d'un produit scalaire hermitien ?

Quelle est la norme associée à un produit scalaire hermitien ?

Comment se définit le produit scalaire euclidien sur $\mathbb{R}^n$ ?

Quelle norme est associée au produit scalaire euclidien sur $\mathbb{R}^n$ ?

Qu'est-ce qu'une boule ouverte de centre a et rayon r>0 ?

Comment se définit une boule fermée de centre a et rayon r>0 ?

Quelle condition caractérise une partie bornée A de E ?

Que signifie qu'une partie est contenue dans une boule centrée en zéro ?

Qu'impose la réunion finie de parties bornées ?

Qu'impose l'intersection, finie ou infinie, de parties bornées ?

Qu'impose la définition d'une suite convergente vers ℓ dans E ?

Quelle propriété unique a la limite d'une suite convergente dans un espace vectoriel normé ?

Quelle propriété de bornitude a toute suite convergente dans un espace vectoriel normé ?

Qu'impose la définition d'une suite de Cauchy ?

Qu'impose la continuité d'une application f en un point a ?

Qu'est-ce qu'une application lipschitzienne ?

Qu'impose la définition d'une partie ouverte U dans E ?

Quand une partie V de E est-elle dite fermée ?

Quelle condition caractérise une partie fermée V par rapport aux suites convergentes ?

Que garantit la continuité d'une fonction f:E→F sur les ouverts et fermés ?

Qu'est-ce qu'une partie compacte K de E ?

Quels segments dans R sont compacts ?

Les boules ouvertes de E sont-elles compactes ?

L'espace E est-il compact ?

Qu'est-ce qu'une partie compacte dans un espace E ?

Que devient l'image directe d'une partie compacte par une application continue ?

L'image réciproque d'une partie compacte est-elle toujours compacte ?

Qu'est-ce qui différencie la compacité en dimension infinie et finie ?

Une partie fermée et bornée est-elle toujours compacte en dimension infinie ?

Quelle propriété a toute partie fermée contenue dans une partie compacte ?

Qu'imposent les constantes c et C pour deux normes équivalentes ?

Que partagent deux normes équivalentes sur un espace vectoriel ?

Quelle propriété des normes vaut sur un espace vectoriel de dimension finie ?

Pourquoi les normes $\|\cdot\|_\infty$ et $\|\cdot\|_1$ ne sont-elles pas équivalentes sur $C([0,1],\mathbb{R})$ ?

Qu'est-ce qu'un point adhérent à un ensemble A ?

Quelle condition caractérise un point adhérent via une suite dans A ?

Quand une fonction f admet-elle une limite ℓ en un point adhérent a ?

Quelle condition caractérise la limite de f en a via les suites ?

Qu'est-ce que la i-ème dérivée partielle de f en a ?

Quelle est la formule de la i-ème dérivée partielle de f en a ?

Qu'est-ce que la matrice jacobienne Jf(a) ?

Quelle est la forme de $J_f(x,y)$ pour $f(x,y)=(x+y,xy)$ ?

Quelle est la valeur du jacobien de $f(x,y)=(x+y,xy)$ ?

Comment se définit la dérivée directionnelle de f en a suivant v ?

Quand dit-on que f est différentiable au sens de Gâteaux en a ?

Qu'est-ce qu'une fonction différentiable en un point a ?

Quelle propriété suit de la différentiabilité de f en a ?

Que vaut la dérivée directionnelle partielle de f en a selon v ?

Quelle propriété a une norme sur E en 0 ?

Quelle matrice représente la différentielle df(a) pour f:ℝⁿ→ℝᵖ ?

Que vaut la différentielle de f+λg en a si f et g sont différentiables ?

Quelle est la différentielle de la composée g∘f en a ?

Qu'est-ce que la norme d'une application linéaire L ?

Quelle condition exprime le théorème des accroissements finis pour f différentiable ?

Quelle inégalité relie $\|f(b)-f(a)\|_F$ à la dérivée de f ?

Que garantit la continuité des dérivées partielles de f en a ?

Comment s'exprime la différentielle $df(a)(h)$ en fonction des dérivées partielles ?

Qu'est-ce qu'une fonction de classe C1 sur un ouvert U ?

Qu'impose la continuité de l'application dérivée $df$ pour une fonction de classe C1 ?

Qu'est-ce qu'être de classe C1 pour une fonction $f:U\to \mathbb{R}^p$ sur un ouvert $U\subset \mathbb{R}^n$ ?