Flashcards : Composition et bijection des fonctions (38 cartes)

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1Question

Comment s’écrit la composée de fonctions de f puis g ?

Réponse

(g∘f)(x)=g(f(x))(g\circ f)(x)=g(f(x))

2Question

Dans quel ordre applique-t-on f et g dans la composée de fonctions de f puis g ?

Réponse

On applique d’abord f, puis g au résultat.

3Question

Quelle condition permet à g∘f d’exister lorsque f:E→F et g:F→G ?

Réponse

L’ensemble d’arrivée de f correspond à l’ensemble de départ de g.

4Question

Quel est l’ensemble de départ et d’arrivée de g∘f lorsque f:E→F et g:F→G ?

Réponse

De E vers G.

5Question

Que peut-on dire de l’ordre de composition de deux fonctions en général ?

Réponse

La composition n’est pas commutative en général.

6Question

Quand ff et gg sont bijectives, quelle est la réciproque de g∘fg\circ f ?

Réponse

(g∘f)−1=f−1∘g−1(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}

7Question

Quand ff et gg sont bijectives, quelle propriété possède g∘fg\circ f ?

Réponse

g∘fg\circ f est bijective.

8Question

Comment calcule-t-on (g∘f)(x) (g\circ f)(x) avant de simplifier ?

Réponse

On écrit g(f(x))g(f(x)) et on remplace chaque xx de gg par f(x)f(x).

9Question

Que désigne le domaine de définition DfD_f d’une fonction ff ?

Réponse

L’ensemble des valeurs de xx pour lesquelles f(x)f(x) existe.

10Question

Quelle est la formule du domaine de g∘fg\circ f ?

Réponse

D(g∘f)={x∈Df∣f(x)∈Dg}D(g\circ f)=\{x\in D_f\mid f(x)\in D_g\}

11Question

Quelles étapes permettent de déterminer le domaine de g∘fg\circ f ?

Réponse

Trouver DfD_f, traduire f(x)∈Dgf(x)\in D_g en condition sur xx, puis intersecter les conditions obtenues.

12Question

Quelle condition permet à √(f(x)) d’exister ?

Réponse

f(x)≥0.

13Question

Quelle condition permet à 1/f(x) d’exister ?

Réponse

f(x)≠0.

14Question

Quelle condition permet à ln(f(x)) d’exister ?

Réponse

f(x)>0.

15Question

Quand une application de E vers F est-elle bijective ?

Réponse

Chaque élément de F est l’image d’un unique élément de E.

16Question

Pour une bijection f, quelle équivalence lie f(x), y et f⁻¹(y) ?

Réponse

f(x)=y⟺x=f−1(y)f(x)=y\Longleftrightarrow x=f^{-1}(y)

17Question

Pour une bijection f, que vaut la composée f−1∘ff^{-1}\circ f ?

Réponse

id⁡\operatorname{id}

18Question

Quelle égalité exprime l’associativité de la composition des fonctions ?

Réponse

(h∘g)∘f=h∘(g∘f)(h\circ g)\circ f=h\circ(g\circ f)

19Question

Que vaut la composition de ff avec l’identité id(x)=xid(x)=x, dans les deux ordres ?

Réponse

f∘id=id∘f=ff\circ id=id\circ f=f

20Question

Pour f(x)=2x+1f(x)=2x+1 et g(x)=x2g(x)=x^2, que vaut (g∘f)(x) (g\circ f)(x) ?

Réponse

4x2+4x+14x^2+4x+1

21Question

Pour f(x)=2x+1f(x)=2x+1 et g(x)=x2g(x)=x^2, que vaut (f∘g)(x) (f\circ g)(x) ?

Réponse

2x2+12x^2+1

22Question

Pour f(x)=x+2f(x)=x+2 et g(x)=3x−1g(x)=3x-1, que vaut (g∘f)(5) (g\circ f)(5) ?

Réponse

2020

23Question

Pour f(x)=x2f(x)=x^2 et g(x)=3x+5g(x)=3x+5, que vaut (g∘f)(x) (g\circ f)(x) ?

Réponse

3x2+53x^2+5

24Question

Pour f(x)=x2f(x)=x^2 et g(x)=3x+5g(x)=3x+5, que vaut (f∘g)(x) (f\circ g)(x) développé ?

Réponse

9x2+30x+259x^2+30x+25

25Question

Quel est le domaine de définition de f(x)=2x+1f(x)=2x+1 ?

Réponse

R\mathbb{R}

26Question

Quel est le domaine de définition de f(x)=xf(x)=\sqrt{x} ?

Réponse

[0,+∞[[0,+\infty[

27Question

Quel est le domaine de définition de f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x} ?

Réponse

R∖{0}\mathbb{R}\setminus\{0\}

28Question

Quel est le domaine de définition de f(x)=ln⁡(x)f(x)=\ln(x) ?

Réponse

]0,+∞[]0,+\infty[

29Question

Si g est un polynôme, quel est le domaine de g∘f ?

Réponse

Df.

30Question

Pour f(x)=x−3 et g(x)=√x, quel est D(g∘f) ?

Réponse

[3,+∞[.

31Question

Pour f(x)=x−3 et g(x)=√x, quel est D(f∘g) ?

Réponse

[0,+∞[.

32Question

Pour f(x)=ln(x) et g(x)=√(x−2), quel est D(g∘f) ?

Réponse

[e²,+∞[.

33Question

Pour f(x)=ln(x) et g(x)=√(x−2), quelle est l’expression de g∘f ?

Réponse

(g∘f)(x)=√(ln(x)−2).

34Question

Quelle implication caractérise l’injectivité de f ?

Réponse

f(x1)=f(x2)⇒x1=x2f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2

35Question

Quelle condition caractérise la surjectivité d’une application ?

Réponse

Tout élément de son ensemble d’arrivée possède au moins un antécédent.

36Question

Quelle première étape permet de calculer la réciproque de f ?

Réponse

Poser y=f(x)y=f(x).

37Question

Quelle est la réciproque de f(x)=2x+1f(x)=2x+1 sur R\mathbb{R} ?

Réponse

f−1(x)=x−12f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}

38Question

Pourquoi f(x)=x2f(x)=x^2 n’est-elle pas bijective sur R\mathbb{R} ?

Réponse

4 possède deux antécédents : 2 et −2.

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 13 questions sur Composition et bijection des fonctions.

1. On définit f(x)=x+3f(x)=x+3 et g(x)=2x−1g(x)=2x-1. Quelle expression donne la composée g∘fg\circ f ?

2. Une fonction f:E→Ff:E\to F a pour ensemble d’arrivée F=RF=\mathbb{R}, et une fonction g:D→Gg:D\to G a pour ensemble de départ D=R∖{0}D=\mathbb{R}\setminus\{0\}. La composée g∘fg\circ f est-elle garantie d’exister par la condition sur les ensembles ?

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