Fiche de révision : Composition et bijection des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Définition et condition de composition
2. Propriétés de la composition
3. Calculer une composée
4. Domaine de la fonction composée
5. Conditions de domaine et applications
6. Bijection et application réciproque

📖 1. Définition et condition de composition

🔑 Notions clés & Définitions

• Composition de fonctions : La composée de f puis g est la fonction définie par $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ : on applique d’abord f, puis g au résultat.

📝 Points essentiels

📌 Si f:E→F et g:F→G, alors g∘f:E→G existe parce que l’ensemble d’arrivée de f correspond à l’ensemble de départ de g.

💡 Astuce mémo

Deux machines en série : la sortie de f entre dans g.

📖 2. Propriétés de la composition

★ À maîtriser

📌 La composition n’est pas commutative en général : f∘g peut être différent de g∘f.

📌 Si f et g sont bijectives, alors g∘f est bijective et sa réciproque est $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$ ; l’ordre des fonctions est inversé.

Compléments

📐 Formule - La composition est associative : $(h\circ g)\circ f=h\circ(g\circ f)$.

📐 Formule - Pour l’identité id définie par id(x)=x, on a $f\circ id=id\circ f=f$.

💡 Astuce mémo

On lit g ∘ f de droite à gauche, mais l’ordre s’inverse pour la réciproque.

📖 3. Calculer une composée

★ À maîtriser

• Pour calculer (g∘f)(x), on écrit g(f(x)), on remplace chaque x de g par f(x), puis on simplifie sans modifier l’expression de f.

Compléments

• Pour f(x)=2x+1 et g(x)=x², on obtient (g∘f)(x)=(2x+1)²=4x²+4x+1, tandis que (f∘g)(x)=2x²+1.

• Pour f(x)=x+2 et g(x)=3x−1, le calcul de (g∘f)(5) donne f(5)=7, puis g(7)=20.

• Pour f(x)=x² et g(x)=3x+5, on a (g∘f)(x)=3x²+5 et (f∘g)(x)=(3x+5)²=9x²+30x+25.

💡 Astuce mémo

Écrire g(f(x)), remplacer l’entrée de g, puis simplifier.

📖 4. Domaine de la fonction composée

🔑 Notions clés & Définitions

• Domaine de définition : L’ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) existe.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le domaine de la composée est $D(g\circ f)=\{x\in D_f\mid f(x)\in D_g\}$.

• Pour déterminer le domaine de g∘f, on trouve Df, on traduit f(x)∈Dg en condition sur x, puis on prend l’intersection des conditions obtenues.

Compléments

• Les domaines usuels sont Df=R pour f(x)=2x+1, [0,+∞[ pour f(x)=√x, R{0} pour f(x)=1/x et ]0,+∞[ pour f(x)=ln(x).

📖 5. Conditions de domaine et applications

★ À maîtriser

📌 Pour que √(f(x)) existe, il faut f(x)≥0 ; pour que 1/f(x) existe, il faut f(x)≠0 ; pour que ln(f(x)) existe, il faut f(x)>0.

Compléments

📌 Si g est un polynôme, Dg=R et le domaine de g∘f est Df.

• Pour f(x)=x−3 et g(x)=√x, D(g∘f)=[3,+∞[ tandis que D(f∘g)=[0,+∞[.

• Pour f(x)=ln(x) et g(x)=√(x−2), la condition ln(x)≥2 donne D(g∘f)=[e²,+∞[ et (g∘f)(x)=√(ln(x)−2).

📖 6. Bijection et application réciproque

🔑 Notions clés & Définitions

• Bijection : Une application f:E→F est bijective si chaque élément de F est l’image d’un unique élément de E ; elle est alors à la fois injective et surjective.
• Application réciproque : Si f est bijective, sa réciproque f⁻¹:F→E vérifie f(x)=y si et seulement si x=f⁻¹(y), ainsi que f⁻¹∘f=id et f∘f⁻¹=id.
• Injectivité : Une application f est injective si $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$.
• Surjectivité : Une application est surjective si tout élément de son ensemble d’arrivée possède au moins un antécédent.

📝 Points essentiels

• Pour trouver f⁻¹, on pose y=f(x), on isole x en fonction de y, puis on échange les rôles de x et y pour écrire f⁻¹(x).

• Pour f(x)=2x+1 sur R, f est bijective et sa réciproque est f⁻¹(x)=(x−1)/2.

• La fonction f(x)=x² n’est pas bijective sur R, car 4 possède deux antécédents, 2 et −2.

💡 Astuce mémo

Injective : aucun antécédent en double ; surjective : aucun élément d’arrivée oublié.