Composition et bijection des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Définition et condition de composition
2. Propriétés de la composition
3. Calculer une composée
4. Domaine de la fonction composée
5. Conditions de domaine et applications
6. Bijection et application réciproque

📖 1. Définition et condition de composition

🔑 Notions clés & Définitions

• Composition de fonctions : La composée de f puis g est la fonction définie par $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ : on applique d’abord f, puis g au résultat.

📝 Points essentiels

📌 Si f:E→F et g:F→G, alors g∘f:E→G existe parce que l’ensemble d’arrivée de f correspond à l’ensemble de départ de g.

💡 Astuce mémo

Deux machines en série : la sortie de f entre dans g.

📖 2. Propriétés de la composition

★ À maîtriser

📌 La composition n’est pas commutative en général : f∘g peut être différent de g∘f.

📌 Si f et g sont bijectives, alors g∘f est bijective et sa réciproque est $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$ ; l’ordre des fonctions est inversé.

Compléments

📐 Formule - La composition est associative : $(h\circ g)\circ f=h\circ(g\circ f)$.

📐 Formule - Pour l’identité id définie par id(x)=x, on a $f\circ id=id\circ f=f$.

💡 Astuce mémo