QCM : Composition et bijection des fonctions (13 questions)

Question 1

1. On définit $f(x)=x+3$ et $g(x)=2x-1$ . Quelle expression donne la composée $g\circ f$ ?

2x-1

(x+3)(2x-1)

(2x-1)+3

2(x+3)-1

Explication

Dans $g\circ f$ , on calcule d’abord $f(x)=x+3$ , puis on évalue g au résultat, d’où $g(f(x))=2(x+3)-1$ . L’expression $(2x-1)+3$ inverse l’ordre, $2x-1$ omet l’application de f et le produit confond composition et multiplication.

Answer

$$2(x+3)-1$$

Question 2

2. Une fonction $f:E\to F$ a pour ensemble d’arrivée $F=\mathbb{R}$ , et une fonction $g:D\to G$ a pour ensemble de départ $D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ . La composée $g\circ f$ est-elle garantie d’exister par la condition sur les ensembles ?

Oui, car

E=D

Oui, car

F=G

Non, car

F\ne D

Non, car

E\ne G

Explication

La composée $g\circ f$ est garantie lorsque l’ensemble d’arrivée de f correspond à l’ensemble de départ de g; ici $\mathbb{R}\ne\mathbb{R}\setminus\{0\}$ . L’égalité $E=D$ compare deux ensembles de départ, $F=G$ compare deux ensembles d’arrivée, et $E\ne G$ n’est pas la condition de composition.

Answer

Non, car $$F\ne D$$

Question 3

3. Pour $f(x)=2x+1$ et $g(x)=x^2$ , quelle conclusion découle du calcul des deux compositions ?

g\circ f=f\circ g

, car les fonctions sont associatives

g\circ f\ne f\circ g

, car leurs expressions diffèrent

g\circ f=f\circ g

, car les deux fonctions sont définies sur

\mathbb{R}

g\circ f\ne f\circ g

, car l’une des compositions n’est pas définie sur

\mathbb{R}

Explication

On obtient $(g\circ f)(x)=(2x+1)^2$ tandis que $(f\circ g)(x)=2x^2+1$ : l’ordre des fonctions peut donc changer le résultat. La commutativité est supposée à tort dans l’égalité, l’associativité concerne le regroupement de trois fonctions, et les deux compositions sont bien définies sur $\mathbb{R}$ .

Answer

$$g\circ f\ne f\circ g$$, car leurs expressions diffèrent

Question 4

4. Deux fonctions bijectives f et g sont composées sous la forme $g\circ f$ . Quelle expression donne la réciproque de cette composée ?

f\circ g

g^{-1}\circ f^{-1}

g\circ f

f^{-1}\circ g^{-1}

Explication

La réciproque d’une composée de fonctions bijectives s’obtient en prenant les réciproques et en inversant l’ordre : $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$ . $g^{-1}\circ f^{-1}$ conserve l’ordre initial, tandis que $f\circ g$ et $g\circ f$ ne prennent pas les réciproques.

Answer

$$f^{-1}\circ g^{-1}$$

Question 5

5. On pose $f(x)=3x-2$ et $g(x)=x^2+1$ . Quelle expression obtient-on pour $(g\circ f)(x)$ en appliquant la méthode de composition ?

(3x-2)^2+1

3(x^2+1)-2

(3x-2)+x^2+1

(3x)^2-2+1

Explication

Pour calculer $(g\circ f)(x)$ , on écrit $g(f(x))$ et on remplace chaque occurrence de la variable dans g par $f(x)=3x-2$ . L’expression $3(x^2+1)-2$ inverse l’ordre de composition, tandis que les autres choix altèrent ou additionnent les expressions au lieu de substituer.

Answer

$$ (3x-2)^2+1 $$

Question 6

6. Si $f(x)=x+4$ et $g(x)=2x-3$ , quelle est la valeur de $(g\circ f)(2)$ ?

13

7

9

1

Explication

On calcule d’abord $f(2)=6$ , puis $g(6)=2\times6-3=9$ . Le résultat 1 vient de l’évaluation directe de g en 2, 7 correspond à l’ordre inversé, et 13 omet le terme constant négatif.

Answer

L’ensemble des valeurs de x pour lesquelles $$h(x)$$ existe

Answer

$$x\in D_f$$ et $$f(x)\in D_g$$

Answer

Trouver $$D_f$$, imposer $$f(x)\in D_g$$, puis prendre l’intersection

Answer

$$f(x)\geq 0$$, $$g(x)\neq 0$$ et $$h(x)>0$$

Answer

$$\mathbb{R}\setminus\{2\}$$

Answer

La bijectivité, qui réunit injectivité et surjectivité

Answer

$$f^{-1}:F\to E$$ et $$f^{-1}(b)=a$$

Question 7

7. Une fonction est définie par $h(x)=\sqrt{x-1}$ . Que désigne le domaine de définition de h ?

L’ensemble des valeurs de x pour lesquelles

h(x)

existe

L’ensemble des valeurs de x pour lesquelles

h(x)=0

L’ensemble des valeurs de x pour lesquelles

h(x)

est positive

L’ensemble des valeurs obtenues comme résultats de

h(x)

Explication

Le domaine de définition rassemble les valeurs de x pour lesquelles l’expression de la fonction existe. Les valeurs de sortie décrivent l’image, tandis que les deux autres choix désignent des conditions particulières sur les résultats de h.

Question 8

8. Pour $f(x)=x-1$ et $g(u)=\sqrt{u}$ , quelle condition caractérise le domaine de $g\circ f$ ?

x\in D_f

et

f(x)\in D_g

x\in D_f

et

f(x)\in D_f

f(x)\in D_f

et

x\in D_g

x\in D_g

et

f(x)\in D_g

Explication

Le domaine de $g\circ f$ contient les x qui appartiennent à $D_f$ et dont l’image $f(x)$ appartient à $D_g$ . Les autres conditions confondent le domaine de la fonction intérieure avec celui de la fonction extérieure ou omettent l’une des deux restrictions.

Question 9

9. On considère $f(x)=x+2$ et $g(u)=\sqrt{u}$ . Quelle démarche détermine correctement le domaine de $g\circ f$ ?

Trouver

D_f

, imposer

f(x)\in D_g

, puis prendre l’intersection

Imposer

f(x)\in D_f

, puis prendre l’intersection avec

D_g

Trouver

D_g

, imposer

x\in D_f

, puis prendre l’union

Trouver

D_f

, imposer

x\in D_g

, puis prendre l’union

Explication

Il faut d’abord déterminer où f existe, puis traduire la condition $f(x)\in D_g$ en une condition sur x et retenir les valeurs qui satisfont les deux conditions, donc leur intersection. Prendre l’union accepte des valeurs qui ne respectent qu’une seule condition, et les autres choix appliquent la restriction au mauvais argument.

Question 10

10. Pour déterminer le domaine d’une expression contenant simultanément $\sqrt{f(x)}$ , $\frac{1}{g(x)}$ et $\ln(h(x))$ , quelles conditions faut-il imposer aux expressions concernées ?

f(x)\geq 0

,

g(x)\neq 0

et

h(x)>0

f(x)\geq 0

,

g(x)=0

et

h(x)>0

f(x)\geq 0

,

g(x)\neq 0

et

h(x)\geq 0

f(x)>0

,

g(x)\neq 0

et

h(x)\geq 0

Explication

La racine carrée exige un radicande positif ou nul, le dénominateur doit être non nul et l’argument du logarithme doit être strictement positif. L’option avec $f(x)>0$ exclut à tort zéro sous la racine, celle avec $g(x)=0$ autorise une division par zéro, et celle avec $h(x)\geq 0$ admet à tort un argument nul pour le logarithme.

Question 11

11. Soit $f(x)=\frac{1}{x-2}$ et soit $g$ un polynôme. Quel est le domaine de $g\circ f$ ?

\mathbb{R}\setminus\{0\}

\mathbb{R}\setminus\{2\}

\mathbb{R}

[2,+\infty[

Explication

Un polynôme est défini sur $\mathbb{R}$ , donc la composition conserve ici le domaine de $f$ , soit $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ . Prendre $\mathbb{R}$ oublie le dénominateur nul, tandis que les exclusions de zéro ou la demi-droite ne découlent pas de la règle pour un polynôme.

Question 12

12. Une application $f:E\to F$ associe à chaque élément de $F$ exactement un antécédent dans $E$ . Quelle propriété cela caractérise-t-il ?

La surjectivité, qui garantit au moins un antécédent

L’identité, qui laisse chaque élément inchangé

L’injectivité, qui empêche deux antécédents d’avoir la même image

La bijectivité, qui réunit injectivité et surjectivité

Explication

La bijectivité signifie que chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède exactement un antécédent : elle combine existence et unicité, donc surjectivité et injectivité. La surjectivité garantit seulement l’existence, l’injectivité porte sur l’unicité des images, et l’identité est une application particulière.

Question 13

13. Une application bijective $f:E\to F$ envoie $a\in E$ sur $b\in F$ . Que peut-on affirmer au sujet de sa réciproque ?

f^{-1}:F\to E

et

f^{-1}(b)=a

f^{-1}:F\to E

et

f^{-1}(a)=b

f^{-1}:E\to F

et

f^{-1}(a)=b

f^{-1}:E\to F

et

f^{-1}(b)=a

Explication

La réciproque échange les ensembles de départ et d’arrivée et défait l’action de $f$ : puisque $f(a)=b$ , on a $f^{-1}(b)=a$ . Les réponses qui gardent le sens $E\to F$ inversent le type de la réciproque, et celle qui donne $f^{-1}(a)=b$ n’inverse pas la relation.

QCM : Composition et bijection des fonctions (13 questions)

Questions et réponses du QCM

1. On définit $f(x)=x+3$ et $g(x)=2x-1$ . Quelle expression donne la composée $g\circ f$ ?

2. Une fonction $f:E\to F$ a pour ensemble d’arrivée $F=\mathbb{R}$ , et une fonction $g:D\to G$ a pour ensemble de départ $D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ . La composée $g\circ f$ est-elle garantie d’exister par la condition sur les ensembles ?

3. Pour $f(x)=2x+1$ et $g(x)=x^2$ , quelle conclusion découle du calcul des deux compositions ?

4. Deux fonctions bijectives f et g sont composées sous la forme $g\circ f$ . Quelle expression donne la réciproque de cette composée ?

5. On pose $f(x)=3x-2$ et $g(x)=x^2+1$ . Quelle expression obtient-on pour $(g\circ f)(x)$ en appliquant la méthode de composition ?

6. Si $f(x)=x+4$ et $g(x)=2x-3$ , quelle est la valeur de $(g\circ f)(2)$ ?

7. Une fonction est définie par $h(x)=\sqrt{x-1}$ . Que désigne le domaine de définition de h ?

8. Pour $f(x)=x-1$ et $g(u)=\sqrt{u}$ , quelle condition caractérise le domaine de $g\circ f$ ?

9. On considère $f(x)=x+2$ et $g(u)=\sqrt{u}$ . Quelle démarche détermine correctement le domaine de $g\circ f$ ?

10. Pour déterminer le domaine d’une expression contenant simultanément $\sqrt{f(x)}$ , $\frac{1}{g(x)}$ et $\ln(h(x))$ , quelles conditions faut-il imposer aux expressions concernées ?

11. Soit $f(x)=\frac{1}{x-2}$ et soit $g$ un polynôme. Quel est le domaine de $g\circ f$ ?

12. Une application $f:E\to F$ associe à chaque élément de $F$ exactement un antécédent dans $E$ . Quelle propriété cela caractérise-t-il ?

13. Une application bijective $f:E\to F$ envoie $a\in E$ sur $b\in F$ . Que peut-on affirmer au sujet de sa réciproque ?

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QCM : Composition et bijection des fonctions (13 questions)

Questions et réponses du QCM

1. On définit f(x)=x+3f(x)=x+3f(x)=x+3 et g(x)=2x−1g(x)=2x-1g(x)=2x−1. Quelle expression donne la composée g∘fg\circ fg∘f ?

2. Une fonction f:E→Ff:E\to Ff:E→F a pour ensemble d’arrivée F=RF=\mathbb{R}F=R, et une fonction g:D→Gg:D\to Gg:D→G a pour ensemble de départ D=R∖{0}D=\mathbb{R}\setminus\{0\}D=R∖{0}. La composée g∘fg\circ fg∘f est-elle garantie d’exister par la condition sur les ensembles ?

3. Pour f(x)=2x+1f(x)=2x+1f(x)=2x+1 et g(x)=x2g(x)=x^2g(x)=x2, quelle conclusion découle du calcul des deux compositions ?

4. Deux fonctions bijectives f et g sont composées sous la forme g∘fg\circ fg∘f. Quelle expression donne la réciproque de cette composée ?

5. On pose f(x)=3x−2f(x)=3x-2f(x)=3x−2 et g(x)=x2+1g(x)=x^2+1g(x)=x2+1. Quelle expression obtient-on pour (g∘f)(x) (g\circ f)(x) (g∘f)(x) en appliquant la méthode de composition ?

6. Si f(x)=x+4f(x)=x+4f(x)=x+4 et g(x)=2x−3g(x)=2x-3g(x)=2x−3, quelle est la valeur de (g∘f)(2) (g\circ f)(2) (g∘f)(2) ?

7. Une fonction est définie par h(x)=x−1h(x)=\sqrt{x-1}h(x)=x−1​. Que désigne le domaine de définition de h ?

8. Pour f(x)=x−1f(x)=x-1f(x)=x−1 et g(u)=ug(u)=\sqrt{u}g(u)=u​, quelle condition caractérise le domaine de g∘fg\circ fg∘f ?

9. On considère f(x)=x+2f(x)=x+2f(x)=x+2 et g(u)=ug(u)=\sqrt{u}g(u)=u​. Quelle démarche détermine correctement le domaine de g∘fg\circ fg∘f ?

10. Pour déterminer le domaine d’une expression contenant simultanément f(x)\sqrt{f(x)}f(x)​, 1g(x)\frac{1}{g(x)}g(x)1​ et ln⁡(h(x))\ln(h(x))ln(h(x)), quelles conditions faut-il imposer aux expressions concernées ?

11. Soit f(x)=1x−2f(x)=\frac{1}{x-2}f(x)=x−21​ et soit ggg un polynôme. Quel est le domaine de g∘fg\circ fg∘f ?

12. Une application f:E→Ff:E\to Ff:E→F associe à chaque élément de FFF exactement un antécédent dans EEE. Quelle propriété cela caractérise-t-il ?

13. Une application bijective f:E→Ff:E\to Ff:E→F envoie a∈Ea\in Ea∈E sur b∈Fb\in Fb∈F. Que peut-on affirmer au sujet de sa réciproque ?

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1. On définit $f(x)=x+3$ et $g(x)=2x-1$ . Quelle expression donne la composée $g\circ f$ ?

2. Une fonction $f:E\to F$ a pour ensemble d’arrivée $F=\mathbb{R}$ , et une fonction $g:D\to G$ a pour ensemble de départ $D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ . La composée $g\circ f$ est-elle garantie d’exister par la condition sur les ensembles ?

3. Pour $f(x)=2x+1$ et $g(x)=x^2$ , quelle conclusion découle du calcul des deux compositions ?

4. Deux fonctions bijectives f et g sont composées sous la forme $g\circ f$ . Quelle expression donne la réciproque de cette composée ?

5. On pose $f(x)=3x-2$ et $g(x)=x^2+1$ . Quelle expression obtient-on pour $(g\circ f)(x)$ en appliquant la méthode de composition ?

6. Si $f(x)=x+4$ et $g(x)=2x-3$ , quelle est la valeur de $(g\circ f)(2)$ ?

7. Une fonction est définie par $h(x)=\sqrt{x-1}$ . Que désigne le domaine de définition de h ?

8. Pour $f(x)=x-1$ et $g(u)=\sqrt{u}$ , quelle condition caractérise le domaine de $g\circ f$ ?

9. On considère $f(x)=x+2$ et $g(u)=\sqrt{u}$ . Quelle démarche détermine correctement le domaine de $g\circ f$ ?

10. Pour déterminer le domaine d’une expression contenant simultanément $\sqrt{f(x)}$ , $\frac{1}{g(x)}$ et $\ln(h(x))$ , quelles conditions faut-il imposer aux expressions concernées ?

11. Soit $f(x)=\frac{1}{x-2}$ et soit $g$ un polynôme. Quel est le domaine de $g\circ f$ ?

12. Une application $f:E\to F$ associe à chaque élément de $F$ exactement un antécédent dans $E$ . Quelle propriété cela caractérise-t-il ?

13. Une application bijective $f:E\to F$ envoie $a\in E$ sur $b\in F$ . Que peut-on affirmer au sujet de sa réciproque ?