QCM : Suites géométriques et remboursements (11 questions)

Question 1

1. Quelle est la composition d’une annuité versée par un emprunteur pour rembourser une dette ?

Le capital emprunté et les intérêts futurs non dus

Une part du capital emprunté et les intérêts dus

Le montant emprunté initial et les pénalités de retard

Une part des intérêts dus et les frais de fonctionnement

Explication

Une annuité est un versement annuel qui comprend une part du capital emprunté et les intérêts dus. La réponse « seul capital » oublie les intérêts, « seuls intérêts » oublie le capital et les deux autres propositions confondent les composantes de l’annuité avec d’autres montants.

Answer

Une part du capital emprunté et les intérêts dus

Question 2

2. Deux emprunts sont remboursés par des versements annuels : le montant du premier reste identique chaque année, tandis que celui du second augmente d’une année à l’autre. Comment qualifier ces deux séries d’annuités ?

La première est variable et la seconde est constante

La première est constante et la seconde est mensuelle

Les deux sont constantes puisque les versements sont annuels

La première est constante et la seconde est variable

Explication

Une annuité constante garde le même montant d’une année à l’autre, tandis qu’une annuité variable change. La proposition qui inverse les termes confond leurs définitions, celle qui s’appuie sur la fréquence confond périodicité et montant, et la dernière confond variation et fréquence mensuelle.

Answer

La première est constante et la seconde est variable

Question 3

3. Une suite commence par 7, puis chaque terme suivant s’obtient en multipliant le précédent par 0,8. Quelle caractéristique définit cette suite ?

C’est une suite arithmétique de raison 0,8

C’est une suite géométrique de premier terme 0,8

C’est une suite arithmétique de premier terme 7

C’est une suite géométrique de raison 0,8

Explication

Une suite est géométrique lorsque chaque terme, à partir du deuxième, est obtenu en multipliant le précédent par une constante, ici 0,8. La suite arithmétique repose sur une addition constante; les autres propositions attribuent à tort le rôle de raison ou de premier terme.

Answer

C’est une suite géométrique de raison 0,8

Question 4

4. La production d’un atelier augmente de 8 % chaque mois. Quel coefficient multiplicateur faut-il utiliser pour représenter cette évolution mensuelle ?

0,08

0,92

1,08

9

Explication

Pour une hausse de 8 %, le coefficient multiplicateur est $q=1+\frac{8}{100}=1,08$ . La valeur 0,08 correspond au taux seul, 0,92 traduit une baisse de 8 %, et 9 traite 8 % comme une quantité entière.

Answer

$$u_{n+1}=0,85u_n$$

Answer

$$u_6=12\times 0,5^5$$

Answer

$$u_4=800\times 0,9^3$$

Answer

$$S=3\times\frac{2^8-1}{2-1}$$

Answer

Repérer $$n=12$$, $$u_1=150$$ et $$q=1,04$$, puis appliquer la formule de somme géométrique.

Answer

Environ 251 558 €

Answer

Elle vaut environ 5,23 MPa et reste supérieure au seuil.

Question 5

5. Une quantité vaut 240 au mois 1 et diminue de 15 % chaque mois. Quelle relation permet de calculer le terme du mois suivant à partir du terme courant ?

u_{n+1}=1,15u_n

u_{n+1}=u_n-15

u_{n+1}=0,15u_n

u_{n+1}=0,85u_n

Explication

Une baisse de 15 % correspond au coefficient multiplicateur $1-\frac{15}{100}=0,85$ , donc le terme suivant est $0,85u_n$ . Le coefficient 0,15 omet la part restante, 1,15 modélise une hausse, et soustraire 15 confond un pourcentage avec une quantité fixe.

Question 6

6. Une suite géométrique a pour premier terme $u_1=12$ et pour raison $q=0,5$ . Quelle expression donne son terme de rang $6$ ?

u_6=12\times 5^{0,5}

u_6=12+5\times 0,5

u_6=12\times 0,5^5

u_6=12\times 0,5^6

Explication

Le terme de rang $n$ s’obtient par $u_n=u_1q^{n-1}$ ; pour le rang 6, l’exposant est donc 5. L’exposant 6 oublie le décalage, l’expression additive ne décrit pas une suite géométrique et $5^{0,5}$ inverse la place du rang et de la raison.

Question 7

7. Une colonie compte 800 ruches la première année et diminue de 10 % chaque année. En prenant la première année comme rang 1, quelle expression donne le nombre de ruches au rang 4 ?

u_4=800\times 0,9^4

u_4=800\times 1,1^3

u_4=800\times 0,9^3

u_4=800\times 0,1^3

Explication

Une diminution annuelle de 10 % correspond à une raison de $0,9$ , et le terme de rang 4 utilise l’exposant $4-1=3$ . La raison $0,1$ confond taux de diminution et facteur multiplicatif, l’exposant 4 décale le rang et $1,1$ modélise une augmentation.

Question 8

8. Pour additionner les 8 premiers termes d’une suite géométrique de premier terme $u_1=3$ et de raison $q=2$ , quelle expression convient ?

S=3\times\frac{2^8-1}{2-1}

S=3\times(2^8-1)(2-1)

S=3\times\frac{2^7-1}{2-1}

S=3\times\frac{2-1}{2^8-1}

Explication

Pour $q\ne1$ , la somme des $n$ termes est $S=u_1\times\frac{q^n-1}{q-1}$ ; ici, $u_1=3$ , $q=2$ et $n=8$ . L’inversion de la fraction change la formule, l’exposant 7 compte un terme de moins et la multiplication par $q-1$ remplace à tort la division.

Question 9

9. Une technicienne doit calculer la somme des 12 premiers versements d’une suite géométrique dont le premier versement est de 150 € et la raison est $1,04$ . Quelle démarche doit-elle suivre ?

Repérer

n=12

, calculer

u_{12}

, puis prendre ce terme pour la somme.

Repérer

n=12

,

u_1=150

et l’écart annuel, puis appliquer une formule arithmétique.

Repérer

n=12

,

u_1=150

et

q=1,04

, puis additionner les deux extrêmes.

Repérer

n=12

,

u_1=150

et

q=1,04

, puis appliquer la formule de somme géométrique.

Explication

Le calcul d’une somme géométrique consiste à identifier le nombre de termes, le premier terme et la raison, puis à appliquer la formule de somme correspondante. Additionner les extrêmes ne suffit pas pour une suite géométrique, le dernier terme n’est pas la somme, et une formule arithmétique repose sur un écart constant.

Question 10

10. Pour financer son équipement, une entreprise emprunte sur 10 ans et verse une première annuité de 20 000 €, chaque annuité augmentant de 5 % par rapport à la précédente. Quel est le montant total remboursé, arrondi à l’euro ?

Environ 290 000 €

Environ 167 000 €

Environ 31 026 €

Environ 251 558 €

Explication

Les annuités forment une suite géométrique de premier terme 20 000 € et de raison 1,05 ; la somme des dix versements est d’environ 251 558 €. Additionner chaque année 5 % du premier versement ne tient pas compte de l’augmentation composée, tandis que 31 026 € correspond approximativement à la dixième annuité et que la baisse de 5 % donne une somme plus faible.

Question 11

11. La contrainte à la rupture d’un ruban est de 8,5 MPa au premier mois et diminue de 2 % chaque mois. Après 24 mois, que conclut-on en la comparant au seuil de mise hors d’usage de 5 MPa ?

Elle vaut environ 5,23 MPa et reste supérieure au seuil.

Elle vaut environ 13,7 MPa et reste supérieure au seuil.

Elle vaut environ 5,23 MPa et passe sous le seuil.

Elle vaut environ 4,42 MPa et passe sous le seuil.

Explication

Une diminution de 2 % par mois se modélise par une évolution géométrique, et la contrainte après 24 mois est d’environ 5,23 MPa, donc supérieure à 5 MPa. La valeur de 4,42 MPa résulte d’une baisse linéaire, 13,7 MPa d’une hausse, et 5,23 MPa ne passe pas sous le seuil.

QCM : Suites géométriques et remboursements (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la composition d’une annuité versée par un emprunteur pour rembourser une dette ?

2. Deux emprunts sont remboursés par des versements annuels : le montant du premier reste identique chaque année, tandis que celui du second augmente d’une année à l’autre. Comment qualifier ces deux séries d’annuités ?

3. Une suite commence par 7, puis chaque terme suivant s’obtient en multipliant le précédent par 0,8. Quelle caractéristique définit cette suite ?

4. La production d’un atelier augmente de 8 % chaque mois. Quel coefficient multiplicateur faut-il utiliser pour représenter cette évolution mensuelle ?

5. Une quantité vaut 240 au mois 1 et diminue de 15 % chaque mois. Quelle relation permet de calculer le terme du mois suivant à partir du terme courant ?

6. Une suite géométrique a pour premier terme $u_1=12$ et pour raison $q=0,5$ . Quelle expression donne son terme de rang $6$ ?

7. Une colonie compte 800 ruches la première année et diminue de 10 % chaque année. En prenant la première année comme rang 1, quelle expression donne le nombre de ruches au rang 4 ?

8. Pour additionner les 8 premiers termes d’une suite géométrique de premier terme $u_1=3$ et de raison $q=2$ , quelle expression convient ?

9. Une technicienne doit calculer la somme des 12 premiers versements d’une suite géométrique dont le premier versement est de 150 € et la raison est $1,04$ . Quelle démarche doit-elle suivre ?

10. Pour financer son équipement, une entreprise emprunte sur 10 ans et verse une première annuité de 20 000 €, chaque annuité augmentant de 5 % par rapport à la précédente. Quel est le montant total remboursé, arrondi à l’euro ?

11. La contrainte à la rupture d’un ruban est de 8,5 MPa au premier mois et diminue de 2 % chaque mois. Après 24 mois, que conclut-on en la comparant au seuil de mise hors d’usage de 5 MPa ?

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Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la composition d’une annuité versée par un emprunteur pour rembourser une dette ?

2. Deux emprunts sont remboursés par des versements annuels : le montant du premier reste identique chaque année, tandis que celui du second augmente d’une année à l’autre. Comment qualifier ces deux séries d’annuités ?

3. Une suite commence par 7, puis chaque terme suivant s’obtient en multipliant le précédent par 0,8. Quelle caractéristique définit cette suite ?

4. La production d’un atelier augmente de 8 % chaque mois. Quel coefficient multiplicateur faut-il utiliser pour représenter cette évolution mensuelle ?

5. Une quantité vaut 240 au mois 1 et diminue de 15 % chaque mois. Quelle relation permet de calculer le terme du mois suivant à partir du terme courant ?

6. Une suite géométrique a pour premier terme u1=12u_1=12u1​=12 et pour raison q=0,5q=0,5q=0,5. Quelle expression donne son terme de rang 666 ?

7. Une colonie compte 800 ruches la première année et diminue de 10 % chaque année. En prenant la première année comme rang 1, quelle expression donne le nombre de ruches au rang 4 ?

8. Pour additionner les 8 premiers termes d’une suite géométrique de premier terme u1=3u_1=3u1​=3 et de raison q=2q=2q=2, quelle expression convient ?

9. Une technicienne doit calculer la somme des 12 premiers versements d’une suite géométrique dont le premier versement est de 150 € et la raison est 1,041,041,04. Quelle démarche doit-elle suivre ?

10. Pour financer son équipement, une entreprise emprunte sur 10 ans et verse une première annuité de 20 000 €, chaque annuité augmentant de 5 % par rapport à la précédente. Quel est le montant total remboursé, arrondi à l’euro ?

11. La contrainte à la rupture d’un ruban est de 8,5 MPa au premier mois et diminue de 2 % chaque mois. Après 24 mois, que conclut-on en la comparant au seuil de mise hors d’usage de 5 MPa ?

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6. Une suite géométrique a pour premier terme $u_1=12$ et pour raison $q=0,5$ . Quelle expression donne son terme de rang $6$ ?

8. Pour additionner les 8 premiers termes d’une suite géométrique de premier terme $u_1=3$ et de raison $q=2$ , quelle expression convient ?

9. Une technicienne doit calculer la somme des 12 premiers versements d’une suite géométrique dont le premier versement est de 150 € et la raison est $1,04$ . Quelle démarche doit-elle suivre ?