Fiche de révision : Suites géométriques et remboursements

📋 Plan du Cours

1. Annuités et remboursement d’emprunt
2. Évolution en suite géométrique
3. Terme général d’une suite géométrique
4. Somme des termes géométriques
5. Applications aux évolutions réelles

📖 1. Annuités et remboursement d’emprunt

🔑 Notions clés & Définitions

• Annuité : Somme versée chaque année par un emprunteur pour rembourser une dette ; elle comprend une part du capital emprunté et les intérêts dus.

★ À maîtriser

• Dans l’exemple Alpha-Usinage, l’emprunt finance cinq machines à commande numérique, dure 10 ans et commence par une annuité de 20 000 € qui augmente de 5 % chaque année.

Compléments

📐 Formule - Dans le tableur de l’exemple, la formule à saisir pour calculer l’annuité suivante est $=B2*1{,}05$.

📌 Les annuités d’un emprunt peuvent être variables ou constantes d’une année à l’autre.

📖 2. Évolution en suite géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Suite dont chaque terme, à partir du deuxième, s’obtient en multipliant le terme précédent par une constante appelée raison.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour une évolution de taux constant, la raison est le coefficient multiplicateur : une hausse de p % donne $q=1+\frac{p}{100}$ et une baisse de p % donne $q=1-\frac{p}{100}$.

📐 Formule - Dans une suite géométrique de premier terme $u_1$ et de raison $q$, les termes vérifient $u_{n+1}=q u_n$.

💡 Astuce mémo

Hausse de 5 % → multiplication par 1,05 ; baisse de 10 % → multiplication par 0,90.

📖 3. Terme général d’une suite géométrique

★ À maîtriser

📐 Formule - Le terme de rang n d’une suite géométrique de premier terme $u_1$ et de raison $q$ est $u_n=u_1q^{n-1}$.

Compléments

• Pour les ruches de Lucien, la diminution annuelle de 10 % donne une suite de premier terme 500 et de raison 0,9 ; ainsi, $u_2=450$ et $u_3=405$.

• Pour la contrainte à la rupture des rubans, la diminution mensuelle de 2 % donne une suite de premier terme 8,5 MPa et de raison 0,98.

📖 4. Somme des termes géométriques

★ À maîtriser

📐 Formule - La somme des n termes d’une suite géométrique de premier terme $u_1$ et de raison $q\ne1$ est $S=u_1\times\frac{q^n-1}{q-1}$.

Compléments

• Pour calculer la somme des termes d’une suite géométrique, on repère le nombre de termes, le premier terme et la raison, puis on applique la formule de somme.

📖 5. Applications aux évolutions réelles

★ À maîtriser

• Pour l’emprunt d’Alpha-Usinage, la somme des 10 annuités de premier terme 20 000 € et de raison 1,05 est d’environ 251 558 €.

• Après 24 mois, une contrainte à la rupture initiale de 8,5 MPa diminuée de 2 % par mois vaut environ 5,23 MPa, donc reste supérieure au seuil de mise hors d’usage de 5 MPa.

Compléments

• Avec 500 ruches en 2015 et une baisse annuelle de 10 %, le modèle donne environ 157 ruches en 2026, en arrondissant à l’unité.